2022版高考数学一轮复习核心素养测评七十七坐标系理北师大版.doc

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1、核心素养测评七十七 坐标系1.(10分)将圆x2+y2=1上每一点的横坐标保持不变,纵坐标变为原来的2倍,得到曲线C.(1)求曲线C的标准方程.(2)设直线l:2x+y-2=0与C的交点为P1,P2,以坐标原点为极点,x轴正半轴为极轴建立极坐标系,求过线段P1P2的中点且与直线l垂直的直线的极坐标方程.【解析】(1)设(x1,y1)为圆上的点,在变换下变为曲线C上的点(x,y),依题意,得由+=1,得x2+=1,即曲线C的标准方程为x2+=1.(2)由解得或不妨设P1(1,0),P2(0,2),那么线段P1P2的中点坐标为,所求直线的斜率为k=,于是所求直线的方程为y-1=,化为极坐标方程,并

2、整理得2cos -4sin =-3,故所求直线的极坐标方程为=.2.(10分)(2022洛阳模拟)圆O1和圆O2的极坐标方程分别为=2,2-2cos=2.(1)将圆O1和圆O2的极坐标方程化为直角坐标方程.(2)求经过两圆交点的直线的极坐标方程.【解析】(1)由=2知2=4,由坐标变换公式,得x2+y2=4.因为2-2cos=2,所以2-2=2.由坐标变换公式,得x2+y2-2x-2y-2=0.(2)将两圆的直角坐标方程相减,得经过两圆交点的直线方程为x+y=1.化为极坐标方程为cos +sin =1,即sin=.3.(10分)(2022全国卷)在直角坐标系xOy中,曲线C1的方程为y=k+2

3、.以坐标原点为极点,x轴正半轴为极轴建立极坐标系,曲线C2的极坐标方程为2+2cos-3=0.(1)求C2的直角坐标方程.(2)假设C1与C2有且仅有三个公共点,求C1的方程.【解析】(1)由x=cos ,y=sin ,x2+y2=2得C2的直角坐标方程为(x+1)2+y2=4.(2)由(1)知C2是圆心为A(-1,0),半径为2的圆.由题设知,C1是过点B(0,2)且关于y轴对称的两条射线.记y轴右边的射线为l1,y轴左边的射线为l2.由于点B在圆C2的外面,故C1与C2有且仅有三个公共点等价于l1与C2只有一个公共点且l2与C2有两个公共点,或l2与C2只有一个公共点且l1与C2有两个公共

4、点.当l1与C2只有一个公共点时,A到l1所在直线的距离为2,所以=2,故k=-或k=0.经检验,当k=0时,l1与C2没有公共点;当k=-时,l1与C2只有一个公共点,l2与C2有两个公共点.当l2与C2只有一个公共点时,A到l2所在直线的距离为2,所以=2,故k=0或k=.经检验,当k=0时,l1与C2没有公共点;当k=时,l2与C2没有公共点.综上可得,k=-,C1的方程为:y=-|x|+2.4.(10分)曲线C的极坐标方程为2-2cos+-2=0.以极点为平面直角坐标系的原点,极轴为x轴的正半轴,建立平面直角坐标系xOy.(1)假设直线l过原点,且被曲线C截得的弦长最小,求直线l的直角坐标方程.(2)假设M是曲线C上的动点,且点M的直角坐标为(x,y),求x+y的最大值.【解析】(1)2-2cos-2=0,即2-2cos +2sin -2=0,将代入上式,得曲线C的直角坐标方程为(x-1)2+(y+1)2=4,圆心C(1,-1),假设直线l被曲线C截得的弦长最小,那么直线l与OC垂直,即klkOC=-1,kOC=-1,因而kl=1,故直线l的直角坐标方程为y=x.(2)因为M是曲线C上的动点,因而利用圆的参数方程可设(为参数),那么x+y=2sin +2cos =2sin,当sin=1时,x+y取得最大值2.- 3 -