55构造三角形解题方法.doc

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1、 高考数学母题规划,助你考入清华北大！杨培明(电话:13965261699)数学丛书,给您一个智慧的人生！高考数学母题 母题(一-55):构造三角形解题方法(755) 0123 构造三角形解题方法 母题(-55): (人教版必修5习题1.2.B组第2题(P66)已知ABC的三边分别为a,b,c,设p=(a+b+c),r对ABC的内切圆半径,则r=.解析:设ABC的内切圆分别与三边BC、CA、AB相切于D、E、F,AE=AF=x,BF=BD=y,CD=CE=z,则y+z=a,x+y=b,z+x=cAE=AF=x=(b+c-a)=p-a;由cosA=2cos2-1=cos=,sin=tan=r=A

2、Etan=(p-a)=.点评:三角形是我们熟知的几何图形,它蕴含着正弦定理、余弦定理、面积公式等性质定理.如果在解决一些问题时,能根据题目条件,构造出合适的三角形,然后借助三角形自身的性质和结论,不仅可以使问题的解决简捷巧妙,还可以开阔我们的视野. 子题(1):(2008年全国高考试题)设ABC的内角A,B,C所对的边长分别为a,b,c,且acosB=3,bsinA=4.()求边长a;()若ABC的面积S=10,求ABC的周长l.解析:如图,作CDAB于D,则BD=acosB=3,CD=bsinA=4;()在RtBCD中,a=BC=5;()由S=ABCD=2AB=10AB=5AD=2AC=2周

3、长l=5+5+2=10+2. 注:本题的解法为作者给出,优于“标准答案”给出的几种解法;它揭示了问题的本质和命题手法,同时也告诉我们:在解三角形问题时,可以根据已知条件,在原三角形的基础上,作三角形巧解问题. 子题(2):(1978年全国高考试题)己知、为锐角,且3sin2+2sin2=1,3sin2-2sin2=0,求证:+2=.解析:由3sin2-2sin2=0,联想作ABC,使BC=2,AC=3,A=2,B=2;由2sin2+2sin2=13cos2+2cos2=3,由射影定理知,AB=3AB=AC2+4=+2=. 注:联想正弦定理,构造三角形是本题解法的关键;类比联想正弦定理、余弦定理

4、、射影定理、三角形面积公式以及通过赋予数量的边或角的几何意义是构造三角形解决问题的关键. 子题(3):(2007年全国高中数学联赛辽宁初赛试题)设0、满足cos2+cos2+cos2+2coscoscos=1.求证:|+|.解析:由已知得(cos+coscos)2=(1-cos2)(1-cos2)=sin2sin2cos+coscos=sinsin.故cos=-(coscos-sinsin)=-cos(+)=cos(-)+=.故、是一个锐角三角形的三内角.令x=sin,y=sin,z=sin,则x、y、z可构成某一个三角形的三边长.于是,|+|= 0124 母题(一-55):构造三角形解题方法

5、(755) |+|=|.由于|x-y|z,|y-z|x,|z-x|y,则|=. 注:由三个角的和等于,联想构造三角形是本题解法的关键;构造三角形解题方法具有广泛的应用空间. 子题系列:1.(1997年全国高中数学联赛上海初赛试题)ABC中,已知BC=4,AC=3,cos(AB)=,则ABC的面积为_.2.(2013年全国高中数学联赛天津预赛试题)在ABC中,bc=b2-a2,且B-A=800,则内角C等于 (用度数作答).3.(2012年全国高中数学联合竞赛湖北预赛试题)已知3sin2+2sin2=1,3(sin+cos)2-2(sin+cos)2=1,则cos2(+)= .4.(1989年全

6、苏联数学奥林匹克试题)已知x、y、z为正数,且xyz(x+y+z)=1,求(x+y)(y+z)的最小值.5.(第二十四届国际数学奥林匹克(IMO)试题)设a,b,c是三角形的三边长,求证:a2b(a-b)+b2c(b-c)+c2a(c-a)0.6.(第五届国际数学奥林匹克(IMO)试题)计算:cos-cos+cos. 子题详解:1.解:在BC上取点D,使得AD=BD=xCD=4-x,由(4-x)2=9+x2-6xcos(AB)x=2cosC=sinC=S=.2.解:在AC上取点D,使得AD=AB=c,由bc=b2-a2a2=b(b-c)CB2=CACDABCBDCA=CBDB=A+ABD=A+

7、(1800-A)=900+A;又由B-A=800A=200,B=1000C=600.3.解:由3sin2+2sin2=13cos2+2cos2=3;由3(sin+cos)2-2(sin+cos)2=13sin2=2sin2=.作ABC,使AB=3,AC=2,B=2,C=2,则3=3cos2+2cos2=ABcosB+ACcosC=BCBC=ABA=C=2,由A+B+C=2+4=+2=cos2(+)=cos(+)=-sin,又由3sin2=2sin23sin2=2sin(-)3sin2=2cossin=cos2(+)=-.4.解:令a=y+z,b=z+x,c=x+y,则a,b,c可构成ABC的三

8、边,SABC=1;又因SABC=casinB=(x+y)(y+z)sinB=1(x+y)(y+z)=2,当且仅当B=900时.5.解:令a=y+z,b=z+x,c=x+y,则a2b(a-b)+b2c(b-c)+c2a(c-a)0xy3+yz3+zx3xyz(x+y+z);由柯西不等式:(xy3+yz3+zx3)(x+y+z)(x+y+z)2=xyz(x+y+z)2xy3+yz3+zx3xyz(x+y+z).6.解:构造一个角POQ=,如图:在OP边上取点A,使OA=1,在OQ边上取点B,使AB=1,则BAP=,以AB为腰作等腰ABC,则QBC=,又以BC为腰作等腰BCD,则ODC=CBQ=OCD=-=OC=OD;OC=OA+AC=1+2cos;OD=OB+BD=2cos+2cos1+2cos=2cos+2cos原式=.