三角函数题“正解”后的反思.doc

《三角函数题“正解”后的反思.doc》由会员分享，可在线阅读，更多相关《三角函数题“正解”后的反思.doc（7页珍藏版）》请在得力文库 - 分享文档赚钱的网站上搜索。

1、1说明说明：此文是课题研究方案中计划要写的论文之一，现已发表在浙江师范大学主办的中学教研（数学）2010 年第 9 期上。本文以三角函数一章的题目为例，引导学生如何进行解题后的反思，同时为如何培养学生批判性思维做了一个很好的示范。 三角函数题三角函数题“正确解法正确解法”后的反思后的反思江苏省睢宁县城北中学（江苏省睢宁县城北中学（221200）武瑞雪）武瑞雪(电话：电话：15852133202 Email:)“数学题的解后反思数学题的解后反思”是指在解决了数学问题之后，不是解完是指在解决了数学问题之后，不是解完了事，而是对题目条件的再思考、再分析，从中发现不足甚至错误，了事，而是对题目条件的再

2、思考、再分析，从中发现不足甚至错误，或归纳解题规律。数学家波利亚曾说过：或归纳解题规律。数学家波利亚曾说过：“没有任何一道题是可以没有任何一道题是可以解决得十全十美的，总剩下些工作要做，经过充分的探讨，总会有解决得十全十美的，总剩下些工作要做，经过充分的探讨，总会有点滴发现，总能改进这个解答，而且在任何情况下，我们总能提高点滴发现，总能改进这个解答，而且在任何情况下，我们总能提高自己对这个解答的理解水平自己对这个解答的理解水平” 。这里所说的剩下些工作，就是解题后。这里所说的剩下些工作，就是解题后的反思。本文以三角函数一章的题目为例，从以下几个方面阐述如的反思。本文以三角函数一章的题目为例，从

3、以下几个方面阐述如何进行解题后的反思。何进行解题后的反思。一、反思解法好坏一、反思解法好坏解完一道题后，通过反思解法，可加深对题目条件的本质的领悟，有利于培养思维的深刻性，提高解题能力和解题速度。例已知两点 A（cos80sin80,B(cos20sin20,求 A、B 两点间的距离。解解：由两点间的距离公式得 AB=2200200)20sin80(sin)20cos80(cos=)20sin80sin20cos80(cos2)20sin20(cos)80sin80(cos000002020202=1。060cos211反思反思：通过解题后的调查知，95以上的同学采用上述解法，即用两点间的距离

4、公式和三角函数恒等式去求解，平均答题时间为10 分钟。但反思一下，由圆的参数方程（为参数） ，知点 cos sin x yA、B 都在单位圆上，且AOB=8060结合圆 O 的图形易得AB=1，答题时间不足 1 分钟（图形不画，只需想像） 。产生上述“慢解”的原因是学生平时练习时，过于机械，没有对解法进行认真选择，出现了思维定势。二、反思解法规律二、反思解法规律解题后，反思解法中有无规律可循，从特殊题目的解法引申出一般题目的解法。例求 cos400(tan100+1)的值。3解解：cos400(tan100+1)3=cos400()110cos10sin300 =cos400（）00010co

5、s10cos10sin3=2cos400（）00010cos10cos2110sin23=2cos400（）00010cos)3010sin(3=00010cos40sin40cos2=110cos80sin00 反思反思：题目中既有正弦，又有正切，常用方法是“切”化“弦” 。在化简中出现了sin100+cos100,应考虑用 asinbcos=3sin(来进行化简。22ba 经过如此反思，学生就可掌握此类题的实质，以后再遇到“改头换面”的题，就可熟练解决了。如求:sin400(tan100);.3 000010cos1)10tan31 (80sin50sin2(答案： ， 三、反思有无多解（

6、一题多解）三、反思有无多解（一题多解）很多题目有多种解法，解完一道题后，应反思是否还有另法，以求最简捷的解法，使思维向更高层次发展，培养思维的发散性和灵活性。例求函数 f(=的最大值和最小值。2cos1sin 解解：设 y=,则 sinycos=12y,2cos1sin sin(12y,其中为辅助角。21ysin(，又sin(， 2121yy，解得y 2121yy 344函数 f(=的最大值和最小值分别为和 0。2cos1sin 34反思反思：此题从函数 f(=的结构特征，可得 f(可看成2cos1sin 点（cos,sin与点 P（2，1）的连线的斜率，又cos2+sin2=1,点（cos,

7、sin在圆 x2+y2=1 上，而 22+12=51，点（2，1）在圆 x2+y2=1 外，故当过点（2，1）的直线与圆 x2+y2=1 相切时，f(取得最大（小）值，如图所示。设圆的切线为 yk(x，则=1， 2112kk解得 k=或 k=0 34f(取得最大值和最小值分别为和 0。34四、反思同类题目四、反思同类题目解题后，反思与该题同类的习题（即变式题） ，进行对比，找出解答此类题目的技巧和方法，从而达到举一反三，触类旁通的目的。例已知 tan=,求；。 sin3cos5cos2sin4 22cos52sin41解解：tan=,cos,=. sin3cos5cos2sin4 10tan3

8、52tan4 =22cos52sin41257 1tan52tan41cossincos52sin41222222 反思反思：已知 tan的值，解关于 sin,cos的齐次式化简、求值问题，常常转化为关于 tan的函数式求解。下面各题，虽已知式子yxOP(2,1)25或所求式子表达式不同，但其实质相同，通过这样的反思训练，解决此类题的能力可得到极大提高。变式已知 tan=,求；+cos2。 sincos5cos3sin422cossin41变式已知,求 sincos.2sincoscossin 变式已知,求。2cos1sin 1sincos 备注：备注：由，可得2cos1sin ，进而可得 t

9、an的值,又22tan112tan2sin2cos2cos2sin2sin2cos2cos2sin222 2=此题得以解决。1sincos , 12tan2tan12cos2sin2sin2cos2sin2cos2sin2cos222 五、反思题目结论五、反思题目结论当解决一个问题后，常常会出现几种情况或几个结论，这对解题者而言，不是解题过程的终结，相反，它为解题者提供了一个进行反思的空间：这些情形或结论中有没有多余的解？例已知函数 f(x)=sin(x+(,是 R 上的偶函数，其图象关于点 M（对称，且在区间0，上是单调函数，求)0 ,43 2和的值。分析分析：函数 f(x)是 R 上的偶函

10、数，f(x)=f(x)，即 sin(x+=sin(x+，sincosxcossinx=sincosxcossinx,此式对任6意实数 x 都成立，且，cos=0，又，=。2函数 f(x)图象关于点 M（对称，)0 ,43f(x)=f(+x)，取 x=0，得 f()=f()，43 43 43 43即 f()=0，43sin(+=0，cos(=0,又,43 2 43=k,kN,43 2=,kN.) 12(32k反思反思：面对的无数个值，必须反思其存在的合理性。事实上，当 k=0 时，=，f(x)=sin(x+=cos(x)在区间0，32 32 2 32 2上是单调减函数；当 k=1 时，=2，f(

11、x)=sin(2x+=cos(2x)在区间0，上2 2是单调减函数；当 k2 时，f(x)=sin(x=cos(x)在区间0，上310 2不再是单调函数。综上所述，得=或=2。32这样，学生在反思的基础上，思维不断得到发展。六、反思条件与结论联系六、反思条件与结论联系例已知：sin(2=3sin,+k,kZ,+n,nZ,2 2求证：tan(tan.证明证明：sin(2=3sin,sin(+sin(,7sin(cos+cos(sinsin(coscos(sin)2sin(cos=4cos(sin,+k,kZ,+n,nZ,2 2tan(tan.反思反思：部分同学拿到题目后无从下手。仔细分析该题，已

12、知条件等式中的两个角为 2与，所要求证的等式中的两个角为与。故应设法将已知等式中的两个角 2，向所要求证的等式中的两个角，转化（即设法将已知与未知挂上钩）：2=(+，=(，然后以与为基本角，用两角和与差的正弦公式展开，再向正切转化即可证得。总之，在数学解题后，经常进行以上的反思，有利于学生加深总之，在数学解题后，经常进行以上的反思，有利于学生加深对基础知识和方法的掌握，有利于培养学生思维的深刻性、批判性、对基础知识和方法的掌握，有利于培养学生思维的深刻性、批判性、创造性、周密性和严谨性，有利于提高学生发现问题、分析问题和创造性、周密性和严谨性，有利于提高学生发现问题、分析问题和解决问题的能力，有利于培养学生的创新意识和科学的思维品质。解决问题的能力，有利于培养学生的创新意识和科学的思维品质。学生应将反思做为一种习惯。不断地反思，才会不断地进步，才能学生应将反思做为一种习惯。不断地反思，才会不断地进步，才能提高学习效率。提高学习效率。