商空间及其应用 - 高等代数厦门大学精品课程.doc

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1、1商空间及其应用商空间及其应用刘用麟（武夷学院 数学系，福建 武夷山 354300）摘摘 要：要：研究了商空间的性质，给出了有关商空间第一、第二同构定理和同态基本定理，作为应用，证明了线性代数中的两个著名维数公式是它们的直接推论.关键词：关键词：线性代数, 商空间, 同构定理, 维数公式中图分类号中图分类号: O151.2 MR (2000): 15A03Quotient Spaces and Applications LIU Yonglin（Mathematics Department of Wuyi University, Wuyishan, Fujian 354300）Abstract:

2、 This paper investigates the properties of quotient spaces and obtains the first, second isomorphism theorems and homomorphism fundamental theorem. As the applications, we prove that two famous dimensional formulas in linear algebras are their corollaries.Key words：Linear algebra, quotient space, is

3、omorphism theorem, dimensional formula1. 商空间的概念商空间的概念在近世代数，群理论中有商群的概念，环理论中有商环的概念. 类似地，在线性空间理论中我们可以有商空间的概念.设 W 是数域 P 上线性空间 V 的子空间，利用 W，可在 V 的向量向定义一个二元关系： 当且仅当 W命题命题 1.1 是 V 的一个同余关系.证明：证明：V，有0W，所以；,V，若，则0W，于是（）W，即W，因此；,V，若且，则，W，于是（）（）W，这样，因此是一个等价关系.,W，若，则，W，于是（） （）（）（）W，于是. 因此是一个同余关系.令xV | x表示向量所在的等价类

4、，容易证明W|W . 这些等价类我们可称为子空向 W 的陪售，由于线性空间 中的向量关于加法满足交换律，故不必区分左、右陪集.下面考虑商集 VWV ，在 VW 中定义两个运算，VW，P：k，.kk由命题 1.1，容易证明这两个运算均是良好定义的. 根据线性空间的定义，容易验证 VW关于这两个运算构成数域 P 上的一个线性空间.定义定义 1.2 如上定义的线性空间称为 V 关于 W 的商线性空间，简称商空间.命题命题 1.3 设 V 是维线性空间，W 是它的 维子空间，则商空间 VW 的维为 .nrnr - 基金项目：基金项目：福建省自然科学基金资助项目(2006J0394) 作者简介：作者简介

5、：刘用麟，男，教授，博士，研究方向：逻辑代数、计算智能的数学基础2电话：电话：13850909615，E-mail: 证明：证明：设，是 W 的基，将它扩充成 V 的一个基：1r，r，1r，1n下证，是 VW 的一个基.1rn 设0nnk，则，于是W，11rrk011nnrrkknnrrkk11 这样可设,nnrrkk11rnkk11 即 .rnkk11011nnrrkk由于，线性无关，可得，即，线性无关.1n01nrkk1rn VW，设，则nnrrrrllll1111 W.)(11nnrrllrrll11 于是.nnrrll11nnrrll11 因此我们证明了 dim（VW） .nr2.2.

6、 同构定理同构定理定义定义 2.1 设 V 与 V是数域 P 上两个线性空间，f：VV是一个映射，若满足：（1），V，有 f（）f（）f（） ，（2）P，V，有 f（）f（）.kkk则称 f 是线性空间 V 到 V的一个同态映射.命题命题 2.2 设 f 是线性空间 V 到 V的同态映射，则（1）f（0）0，（2）f（）f（） ，（3）f（）. niiik1 niiifk1)(证明：证明：易证.命题命题 2.3 设 f 是线性空间 V 到 V的同态映射，W 是 V 的子空间，则 f（W） f（）|W 是 V的子空间. 特别地，Im f f（V）是 V的子空间，称为 f 的像.证明：证明：根据子

7、空间判定方法易证.命题命题 2.4 设 f 是线性空间 V 到 V的同态映射，W是 V的子空间，则 f -1（W ）V | f（）W 是 V 的子空间. 特别地，ker f V | f（）0是 V 的子空间，称为 f 的核.证明：证明：根据子空间判定方法易证.定理定理 2.5（第一同构定理） 设 f 是线性空间 V 到 V的满同态，W是 V的子空间，则Vf -1（W ） VW.证明：证明：令：Vf -1（W ）V W ，这里f -1（W ）f（）W.按通常的代数方法，可证是一个同构映射.推论推论 2.6（同态基本定理） 设 V 是一个线性空间，则 V 的任一商空间都是 V 的同态象. 反之，若

8、 Vf（V）是 V 的同态象，则 VV ker f.证明：证明：前半部分只需验证映射：是一个满同态，后半部分是第一同构定理的直接推论.定理定理 2.7（第二同构定理） 设 W1、W2是线性空间 V 的两个子空间，则3（W1W2）W2 W1（W1W2）.证明：证明：令：W1（W1W2） W2，这里W2. 按通常的代数方法，可证是一个满同态. 又可证 kerW1W2，由同态基本定理，W1（W1W2）（W1W2） W2.3.3. 若干应用若干应用应用线性空间的第二同构定理，我们可得线性代数中的一个著名维数公式.定理定理 3.1 设 W1，W2是有限维线性空间 V 的两个子空间，则dim（W1W2）d

9、imW1dimW2dim（W1W2）.证明：证明：由定理 2.7， （W1W2）W2W1（W1W2） ，于是 dim（W1W2） W2）dim（W1（W1W2） ）. 由命题 1.3 知 dim（W1W2）dim W2dimW1dim（W1W2）.应用线性空间的同态基本定理，我们可得线性代数中的另一个著名的维数公式.定理定理 3.2 设 f 是数域 P 上线性空间 V 到 V的同态映射，dimVn，则dim ker fdim Im f n .证明：证明：由推论 2.6，Im f Vkerf，于是 dim Im fdim（Vker f）.由命题 1.3，可得dim Im f ndim ker f

10、.注：注：定理 3.1 与 3.2 用传统的方法（参见一些高等代数、线性代数教材）来证明则比较繁杂，在这里我们看到，它们本质上是第一、二同构定理的直接推论.定理 3.2 有两个有用的推论：推论推论 3.3 设 V 是数域 P 上有限维线性空间，、 是 V 上的自同态（线性变换） ，则dim Im（）dim Im（）dim（Im（）ker（） ）.证明：证明：将 限制在子空间 Im（）上，知 | Im（）是 Im（）到 V 的一个同态映射， 由定理 3.2，dim（ker（）Im（） ）dim Im（）dim Im（）.推论推论 3.4 设 A, B 是数域 P 上 mn, nm 矩阵，则r（A

11、B） r（B）dim（R（B）N（A） ） r（A）dim（R（AT）N（BT） ）这里 R(B)X | BYX，YPS，N(A)X | AX0，XPn是 Pn的子空间，r（A）为A 的秩.证明证明：将 A 限制在子空间 R(B)上，则 A 可看成 R(B)到 R(A)的一个同态映射，其像为R(AB)，核为 R(B)N(A)，于是由定理 3.2，dim（R（B）N（A） ）dim R（AB）dim R（B）.由于 dim R（AB）r（AB） ，dim R（B）r（B） ，故有：r（AB）r（B）dim（R（B）N（A） ）.（*）因为 r（AB）r（AB）T）r（BT AT） ，r（A）r（

12、AT） ，将 BT AT应用到（*）式，可得：r（AB）r（A）dim（R（AT）N（BT） ）.利用推论 3.3 和 3.4，可证明一些著名不等式.例例 1 证明 Sylvester 不等式r（A）r（B）nr（AB）min r（A） ，r（B），其中 A 为 n 列，B 为 n 行.4证明：证明：由推论 3.4，有 r（AB）r（B）dim（R（B）N（A） ）. 因为 nr（A）dim N(A)dim（R（B）N（A） ）0，所以r（AB）r（B）dim（R（B）N（A） ）r（B）（nr（A） ）r（A）r（B）n.又由推论 3.4，显然有 r（AB）r（B） ，r（AB）r（A）.例

13、例 2 证明 Frobenius 不等式r（ABC）r（AB）r（BC）r（B）.证明：证明：由推论 3.4，r（ABC）r（BC）dim（R（BC）N（A） ） ，r（AB）r（B）dim（R（B）N（A） ） ，两式相减得：r（ABC）r（AB）r（BC）r（B）dim（R（B）N（A） ）dim（R（BC）N（A） ）.因为 R（BC） R（B） ，所以 dim（R（B）N（A） ）dim（R（BC）N（A） ）0，因此r（ABC）r（AB）r（BC）r（B）.例例 3 设 ， 都是数域 P 上 n 维线性空间 V 上的线性变换，证明dim ker（）dim ker（）dim ker（）

14、.证明：证明：由定理 3.2 及推论 3.3，dim Im（）dim Im（）dim（Im（）ker（） ） ，dim Im（）dim ker（）n，dim Im（）dim ker（）n.于是，有dim ker（）dim ker（）dim（Im（）ker（） ）.dim ker（）dim ker（）.例例 4 设 是数域 P 上 n 维线性空间 V 上的线性变换，证明dim Im（2）dim Im（）当且仅当 Im（） ker（）V.证明证明：由推论 3.3，dim Im（2）dim Im（）dim（Im（）ker（） ） ，于是 dim Im（2）dim Im（）当且仅当 dim（Im（）ker（） ）0, 当且仅当 Im（）ker（）0. 又由定理 3.2，dim Im（）dim ker（）n，故可得 dim Im（2）dim Im（）当且仅当 Im（） ker（）V.参考文献：参考文献：1. 吴品三. 近世代数M. 北京：人民教育出版社，1979.2. 北京大学数学系几何与代数教研室代数小组编. 高等代数（第三版） M. 北京：高等教育出版社，2003.3. 张小红，蔡秉衡等. 高等代数专题研究选编M. 西安：陕西科技出版社，1992.