离散数学试卷与答案.doc

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1、. .一、单项选择题(本大题共15小题，每题1分，共15分)在每题列出的四个选项中只有一个选项是符合题目要求的，请将正确选项前的字母填在题后的括号内。1.一个连通的无向图G，如果它的所有结点的度数都是偶数，那么它具有一条( )A.汉密尔顿回路 B.欧拉回路C.汉密尔顿通路 D.初级回路2.设G是连通简单平面图，G中有11个顶点5个面，那么G中的边是( )A.10 B.12 C.16 D.143.在布尔代数L中，表达式(ab)(abc)(bc)的等价式是( )A.b(ac)B.(ab)(ab)C.(ab)(abc)(bc)D.(bc)(ac)4.设i是虚数，是复数乘法运算，那么G=是群，以下是G

2、的子群是( )A. B.-1, C.i, D.-i,5.设Z为整数集，A为集合，A的幂集为P(A),+、-、/为数的加、减、除运算，为集合的交运算，以下系统中是代数系统的有( )A.Z，+，/ B.Z，/C.Z，-，/ D.P(A)，6.以下各代数系统中不含有零元素的是( )A.Q，*Q是全体有理数集，*是数的乘法运算B.Mn(R),*,Mn(R)是全体n阶实矩阵集合，*是矩阵乘法运算C.Z，Z是整数集，定义为xxy=xy,x,yZD.Z，+，Z是整数集，+是数的加法运算7.设A=1,2,3，A上二元关系R的关系图如下：R具有的性质是A.自反性B.对称性C.传递性D.反自反性8.设A=a,b,

3、c，A上二元关系R=a,a，b,b,a,c，那么关系R的对称闭包S(R)是( )A.RIA B.R C.Rc,a D.RIA9.设X=a,b,c,Ix是X上恒等关系，要使Ixa,b，b,c，c,a，b,aR为X上的等价关系，R应取( )A.c,a，a,c B.c,b，b,aC.c,a，b,a D.a,c，c,b10.以下式子正确的选项是( )A. B. C. D.11.设解释R如下：论域D为实数集，a=0,f(x,y)=x-y,A(x,y):xy.以下公式在R下为真的是( )A.( x)(y)(z)(A(x,y)A(f(x,z),f(y,z)B.(x)A(f(a,x),a)C.(x)(y)A(

4、f(x,y),x)D.(x)(y)(A(x,y)A(f(x,a),a)12.设B是不含变元x的公式，谓词公式(x)(A(x)B)等价于( )A.(x)A(x)B B.(x)A(x)BC.A(x)B D.(x)A(x)(x)B13.谓词公式(x)(P(x,y)(z)Q(x,z)(y)R(x,y)中变元x( )A.是自由变元但不是约束变元B.既不是自由变元又不是约束变元C.既是自由变元又是约束变元D.是约束变元但不是自由变元14.假设P：他聪明；Q：他用功；那么“他虽聪明，但不用功，可符号化为( )A.PQ B.PQ C.PQ D.PQ15.以下命题公式中，为永假式的是( )A.p(pqr) B.

5、(pp)pC.(qq)p D.(qp)(pp)二、填空题(每空1分，共20分)16.在一棵根树中，仅有一个结点的入度为_，称为树根，其余结点的入度均为_。17.A=1,2,3,4上二元关系R=2，4，3，3，4，2，R的关系矩阵MR中m24=_,m34=_。18.设s,*是群，那么那么s中除_外，不可能有别的幂等元；假设s,*有零元，那么|s|=_。19.设A为集合，P(A)为A的幂集，那么P(A)，是格，假设x,yP(A),那么x,y最大下界是_，最小上界是_。20.设函数f:XY,如果对X中的任意两个不同的x1和x2，它们的象y1和y2也不同，我们说f是_函数，如果ranf=Y，那么称f是

6、_函数。21.设R为非空集合A上的等价关系，其等价类记为xR。x,yA，假设x,yR，那么xR与yR的关系是_，而假设x,yR，那么xRyR=_。22.使公式(x)(y)(A(x)B(y)(x)A(x)(y)B(y)成立的条件是_不含有y，_不含有x。23.设M(x):x是人，D(s):x是要死的，那么命题“所有的人都是要死的可符号化为(x)_,其中量词(x)的辖域是_。24.假设H1H2Hn是_，那么称H1,H2,Hn是相容的，假设H1H2Hn是_，那么称H1,H2,Hn是不相容的。25.判断一个语句是否为命题，首先要看它是否为，然后再看它是否具有唯一的。三、计算题 (共30分)26.(4分

7、)设有向图G=(V,E)如以下图所示，试用邻接矩阵方法求长度为2的路的总数和回路总数。27.(5)设A=a,b,P(A)是A的幂集，是对称差运算，可以验证是群。设n是正整数，求(a-1ba)na-nbnan28.(6分)设A=1,2,3,4,5,A上偏序关系 R=1，2，3，2，4，1，4，2，4，3，3，5，4，5IA;(1)作出偏序关系R的哈斯图(2)令B=1,2,3,5，求B的最大，最小元，极大、极小元，上界，下确界，下界，下确界。29.(6分)求(PQ)(PQ)的主合取X式并给出所有使命题为真的赋值。30.(5分)设带权无向图G如下，求G的最小生成树T及T的权总和，要求写出解的过程。3

8、1.(4分)求公式(x)F(x,y)(y)G(x,y)(x)H(x)的前束X式。四、证明题 (共20分)32.(6分)设T是非平凡的无向树，T中度数最大的顶点有2个，它们的度数为k(k2),证明T中至少有2k-2片树叶。33.(8分)设A是非空集合，F是所有从A到A的双射函数的集合，是函数复合运算。 证明：F,是群。34.(6分)在个体域D=a1,a2,，an中证明等价式： (x)(A(x)B(x)(x)A(x)(x)B(x)五、应用题(共15分)35.(9分)如果他是计算机系本科生或者是计算机系研究生，那么他一定学过DELPHI语言而且学过C+语言。只要他学过DELPHI语言或者C+语言，那

9、么他就会编程序。因此如果他是计算机系本科生，那么他就会编程序。请用命题逻辑推理方法，证明该推理的有效结论。36.(6分)一次学术会议的理事会共有20个人参加，他们之间有的相互认识但有的相互不认识。但对任意两个人，他们各自认识的人的数目之和不小于20。问能否把这20个人排在圆桌旁，使得任意一个人认识其旁边的两个人?根据是什么?参考答案一、单项选择题(本大题共15小题，每题1分，共15分) 1.B 2.D 3.A 4.A 5.D 6.D 7.D 8.C 9.D 10.B 11.A 12.A 13.C 14.B 15.C二、填空题16.0 117.1 018.单位元 119.xy xy20.入射 满

10、射21.xR=yR22.A(x) B(y)23.(M(x)D(x) M(x)D(x)24.可满足式 永假式(或矛盾式)25.陈述句 真值三、计算题26. M=M2= G中长度为2的路总数为18，长度为2的回路总数为6。27.当n是偶数时，xP(A),xn= 当n是奇数时，xP(A),xn=x 于是：当n是偶数，(a-1ba)na-nbnan =(a-1)nbnan= 当n是奇数时， (a-1ba)na-nbnan =a-1ba(a-1)nbnan =a-1baa-1ba=28.(1)偏序关系R的哈斯图为 (2)B的最大元：无，最小元：无； 极大元：2，5，极小元：1，3 下界：4， 下确界4；

11、 上界：无，上确界：无29.原式(PQ)(PQ)(PQ)(PQ)(PQ)(PQ)(PQ)(PQ)(PQPQ)(PQ)(PQ)(PQ)(PQ)(PQ)(PQ)P(QQ)P(QQ)(PQ)(PQ) 命题为真的赋值是P=1,Q=0和P=1,Q=130.令e1=(v1,v3), e2=(v4,v6) e3=(v2,v5), e4=(v3,v6) e5=(v2,v3), e6=(v1,v2) e7=(v1,v4), e8=(v4,v3) e9=(v3,v5), e10=(v5,v6) 令ai为ei上的权，那么 a1a2a3a4a5=a6=a7=a8a9=a10 取a1的e1T,a2的e2T,a3的e3T

12、,a4的e4T,a5的e5T,即， T的总权和=1+2+3+4+5=1531.原式(x1F(x1,y)y1G(x,y1)x2H(x2) (换名)x1y1(F(x1,y)G(x,y1)x2H(x2) x1y1(F(x1,y1)G(x,y1)x2H(x2) x1y1x2(F(x1,y1)G(x,y1)H(x2) 四、证明题32.设T中有x片树叶，y个分支点。于是T中有x+y个顶点，有x+y-1 条边，由握手定理知T中所有顶点的度数之的=2(x+y-1)。 又树叶的度为1，任一分支点的度大于等于2 且度最大的顶点必是分支点，于是x1+2(y-2)+k+k=x+2y+2K-4 从而2(x+y-1)x+

13、2y+2k-4 x2k-233.从定义出发证明：由于集合A是非空的，故显然从A到A的双射函数总是存在的，如A上恒等函数，因此F非空 (1)f,gF,因为f和g都是A到A的双射函数，故fg也是A到A的双射函数，从而集合F关于运算是封闭的。 (2)f,g,hF,由函数复合运算的结合律有f(gh)=(fg)h故运算是可结合的。 (3)A上的恒等函数IA也是A到A的双射函数即IAF,且fF有IAf=fIA=f,故IA是F，中的幺元 (4)fF,因为f是双射函数，故其逆函数是存在的，也是A到A的双射函数，且有ff-1=f-1f=IA,因此f-1是f的逆元 由此上知F，是群34.证明(x)(A(x)B(x

14、)x(A(x)B(x)(A(a1)B(a1)(A(a2)B(a2)(A(an)B(an)(A(a1)A(a2)A(an)(B(a1)B(a2)(B(an)(A(a1)A(a2)A(an)(B(a1)B(a2)(B(an)(x)A(x)(x)B(x) (x)A(x)(x)B(x)五、应用题35.令p：他是计算机系本科生 q：他是计算机系研究生 r：他学过DELPHI语言 s:他学过C+语言 t:他会编程序 前提：(pq)(rs),(rs)t 结论：pt 证p P(附加前提)pq TI(pq)(rs) P(前提引入)rs TIr TIrs TI(rs)t P(前提引入)t TI36.可以把这20个

15、人排在圆桌旁，使得任一人认识其旁边的两个人。 根据：构造无向简单图G=,其中V=v1,v2,，V20是以20个人为顶点的集合，E中的边是假设任两个人vi和vj相互认识那么在vi与vj之间连一条边。ViV,d(vi)是与vi相互认识的人的数目，由题意知vi,vjV有d(vi)+d(vj)20,于是G中存在汉密尔顿回路。 设C=Vi1Vi2Vi20Vi1是G中一条汉密尔顿回路，按这条回路的顺序按其排座位即符合要求。一、单项选择题本大题共15小题，每题1分，共15分在每题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的括号内。错选、多项选择或未选均无分。1以下是两个命题变元p，q的

16、小项是 AppqBpqCpqDppq2令p：今天下雪了，q：路滑，那么命题“虽然今天下雪了，但是路不滑可符号化为 ApqBpqCpqDpq3以下语句中是命题的只有 A1+1=10Bx+y=10Csinx+siny0Dx mod 3=24以下等值式不正确的选项是 A(x)A(x)AB(x)(BA(x)B(x)A(x)C(x)(A(x)B(x)(x)A(x)(x)B(x)D(x)(y)(A(x)B(y)(x)A(x)(y)B(y)5谓词公式(x)P(x,y)(x)(Q(x,z)(x)(y)R(x,y,z)中量词x的辖域是 A(x)Q(x,z)(x)(y)R(x,y,z)BQ(x,z)(y)R(x,

17、y,z)CQ(x,z)(x)(y)R(x,y,z)DQ(x,z)6设R为实数集，函数f：RR，f(x)=2x，那么f是 A满射函数B入射函数C双射函数D非入射非满射7设A=a,b,c,d，A上的等价关系R=,IA，那么对应于R的A的划分是 Aa,b,c,dBa,b,c,dCa,b,c,dDa,b,c,d8设A=，B=P(P(A)，以下正确的式子是 A,BB,BC,BD,B9设X，Y，Z是集合，一是集合相对补运算，以下等式不正确的选项是 A(X-Y)-Z=X-(YZ)B(X-Y)-Z=(X-Z)-YC(X-Y)-Z=(X-Z)-(Y-Z)D(X-Y)-Z=X-(YZ)10设*是集合A上的二元运算

18、，称Z是A上关于运算*的零元，假设 A有x*Z=Z*x=ZBZA，且有x*Z=Z*x=ZCZA，且有x*Z=Z*x=xDZA，且有x*Z=Z*x=Z11在自然数集N上，以下定义的运算中不可结合的只有 Aa*b=min(a,b)Ba*b=a+bCa*b=GCD(a,b)(a,b的最大公约数)Da*b=a(mod b)12设R为实数集，R+=x|xRx0，*是数的乘法运算，是一个群，那么以下集合关于数的乘法运算构成该群的子群的是 AR+中的有理数BR+中的无理数CR+中的自然数D1，2，313设是环，那么以下正确的选项是 A是交换群B是加法群C对*是可分配的D*对是可分配的14以下各图不是欧拉图的

19、是 15设G是连通平面图，G中有6个顶点8条边，那么G的面的数目是 A2个面B3个面C4个面D5个面第二局部 非选择题共85分二、填空题本大题共10小题，每空1分，共20分请在每题的空格中填上正确答案。错填、不填均无分。16一公式为之充分必要条件是其析取X式之每一析取项中均必同时包含一命题变元及其否认；一公式为之充分必要条件是其合取X式之每一合取项中均必同时包含一命题变元及其否认。17前束X式具有形式(Q1V1)(Q2V2)(QnVn)A，其中Qi(1in)为，A为的谓词公式。18设论域是a,b,c，那么(x)S(x)等价于命题公式；()S(x)等价于命题公式。19设R为A上的关系，那么R的自

20、反闭包r(R)=，对称闭包s(R)=。20某集合A上的二元关系R具有对称性，反对称性，自反性和传递性，此关系R是，其关系矩阵是 。21设是一个偏序集，如果S中的任意两个元素都有和，那么称S关于构成一个格。22设Z是整数集，在Z上定义二元运算*为a*b=a+b+ab，其中+和是数的加法和乘法，那么代数系统的幺元是，零元是。23如下平面图有2个面R1和R2，其中deg(R1)=，deg(R2)=。24无向图G具有一条欧拉回路，当且仅当G是，并且所有结点的度数都是。25在以下图中，结点v2的度数是，结点v5的度数是。三、计算题本大题共6小题，第2627小题每题4分，第28、30小题每题5分，第29、

21、31小题每题6分，共30分264分求出从A=1,2到B=x,y的所有函数，并指出哪些是双射函数，哪些是满射函数。274分如果论域是集合a,b,c，试消去给定公式中的量词：。285分设A=a,b,c ，PA是A的幂集，是集合对称差运算。是群。在群中，找出其幺元。找出任一元素的逆元。求元素x使满足ax=b。296分用等值演算法求公式(pq)(pq)的主合取X式305分画出5个具有5个结点5条边的非同构的无向连通简单图。316分在偏序集中，其中Z=1,2,3,4,6,8,12,14，是Z中的整除关系，求集合D=2,3,4,6的极大元，极小元，最大元，最小元，最小上界和最大下界。四、证明题本大题共3小题，第3233小题每题6分，第34小题8分，共20分326分用等值演算法证明(qs)r)(s(pr)(s(pq)r336分设n阶无向树G=中有m条边，证明m=n-1。348分设P=,1,1,2,1,2,3，是集合P上的包含关系。1证明：是偏序集。2在1的根底上证明是全序集五、应用题(15分359分在谓词逻辑中构造下面推理的证明：每个在学校读书的人都获得知识。所以如果没有人获得知识就没有人在学校读书。个体域：所有人的集合. .word.