2022年湖南省高考数学试卷(文科).docx

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1、2022年湖南省高考数学试卷文科一、选择题每题5分，共50分15分=1+ii为虚数单位，那么复数z=A1+iB1iC1+iD1iA3B4C5D635分设xR，那么“x1“是“x31的A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件45分假设变量x，y满足约束条件，那么z=2xy的最小值为A1B0C1D255分执行如下列图的程序框图，如果输入n=3，那么输出的S=ABCD65分假设双曲线=1的一条渐近线经过点3，4，那么此双曲线的离心率为ABCD75分假设实数a，b满足+=，那么ab的最小值为AB2C2D485分设函数fx=ln1+xln1x，那么fx是A奇函数，且在0，1上是增

2、函数B奇函数，且在0，1上是减函数C偶函数，且在0，1上是增函数D偶函数，且在0，1上是减函数95分A，B，C在圆x2+y2=1上运动，且ABBC，假设点P的坐标为2，0，那么|的最大值为A6B7C8D9105分某工件的三视图如下列图，现将该工件通过切削，加工成一个体积尽可能大的正方体新工件，并使新工件的一个面落在原工件的一个面内，那么原工件材料的利用率为材料利用率=ABCD二、填空题本大题共5小题，每题5分，共25分115分集合U=1，2，3，4，A=1，3，B=1，3，4，那么AUB=125分在直角坐标系xOy中，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，假设曲线C的极坐标方程为=

3、2sin，那么曲线C的直角坐标方程为135分假设直线3x4y+5=0与圆x2+y2=r2r0相交于A，B两点，且AOB=120，O为坐标原点，那么r=145分函数fx=|2x2|b有两个零点，那么实数b的取值范围是155分0，在函数y=2sinx与y=2cosx的图象的交点中，距离最短的两个交点的距离为2，那么=三、解答题1612分某商场举行有奖促销活动，顾客购置一定金额的商品后即可抽奖，抽奖方法是：从装有2个红球A1，A2和1个白球B的甲箱与装有2个红球a1，a2和2个白球b1，b2的乙箱中，各随机摸出1个球，假设摸出的2个球都是红球那么中奖，否那么不中奖用球的标号列出所有可能的摸出结果；有

4、人认为：两个箱子中的红球比白球多，所以中奖的概率大于不中奖的概率，你认为正确吗请说明理由1712分设ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，a=btanA证明：sinB=cosA；假设sinCsinAcosB=，且B为钝角，求A，B，C1812分如图，直三棱柱ABCA1B1C1的底面是边长为2的正三角形，E，F分别是BC，CC1的中点，证明：平面AEF平面B1BCC1；假设直线A1C与平面A1ABB1所成的角为45，求三棱锥FAEC的体积1913分设数列an的前n项和为Sn，a1=1，a2=2，an+2=3SnSn+1+3，nN*，证明an+2=3an；求Sn2013分抛物线C1：x2=

5、4y的焦点F也是椭圆C2：+=1ab0的一个焦点，C1与C2的公共弦的长为2，过点F的直线l与C1相交于A，B两点，与C2相交于C，D两点，且与同向求C2的方程；假设|AC|=|BD|，求直线l的斜率2113分a0，函数fx=aexcosxx0，+，记xn为fx的从小到大的第nnN*个极值点证明：数列fxn是等比数列；假设对一切nN*，xn|fxn|恒成立，求a的取值范围2022年湖南省高考数学试卷文科参考答案与试题解析一、选择题每题5分，共50分15分=1+ii为虚数单位，那么复数z=A1+iB1iC1+iD1i【分析】由条件利用两个复数代数形式的乘除法法那么，求得z的值【解答】解：=1+i

6、i为虚数单位，z=1i，应选：D【点评】此题主要考查两个复数代数形式的乘除法法那么的应用，属于根底题A3B4C5D6【分析】对各数据分层为三个区间，然后根据系统抽样方法从中抽取7人，得到抽取比例为，然后各层按照此比例抽取应选：B【点评】此题考查了茎叶图的认识以及利用系统抽样抽取个体的方法；关键是正确分层，明确抽取比例35分设xR，那么“x1“是“x31的A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件【分析】利用充要条件的判断方法判断选项即可【解答】解：因为xR，“x1“x31，所以“x1“是“x31的充要条件应选：C【点评】此题考查充要条件的判断，根本知识的考查45分假设变量

7、x，y满足约束条件，那么z=2xy的最小值为A1B0C1D2【分析】由约束条件作出可行域，由图得到最优解，求出最优解的坐标，数形结合得答案【解答】解：由约束条件作出可行域如图，由图可知，最优解为A，联立，解得A0，1z=2xy的最小值为201=1应选：A【点评】此题考查了简单的线性规划，考查了数形结合的解题思想方法，是中档题55分执行如下列图的程序框图，如果输入n=3，那么输出的S=ABCD【分析】列出循环过程中S与i的数值，满足判断框的条件即可结束循环【解答】解：判断前i=1，n=3，s=0，第1次循环，S=，i=2，第2次循环，S=，i=3，第3次循环，S=，i=4，此时，in，满足判断框

8、的条件，结束循环，输出结果：S=应选：B【点评】此题考查循环框图的应用，注意判断框的条件的应用，考查计算能力65分假设双曲线=1的一条渐近线经过点3，4，那么此双曲线的离心率为ABCD【分析】利用双曲线的渐近线方程经过的点，得到a、b关系式，然后求出双曲线的离心率即可【解答】解：双曲线=1的一条渐近线经过点3，4，可得3b=4a，即9c2a2=16a2，解得=应选：D【点评】此题考查双曲线的简单性质的应用，根本知识的考查75分假设实数a，b满足+=，那么ab的最小值为AB2C2D4【分析】由+=，可判断a0，b0，然后利用根底不等式即可求解ab的最小值【解答】解：+=，a0，b0，当且仅当b=

9、2a时取等号，解可得，ab，即ab的最小值为2，应选：C【点评】此题主要考查了根本不等式在求解最值中的简单应用，属于根底试题85分设函数fx=ln1+xln1x，那么fx是A奇函数，且在0，1上是增函数B奇函数，且在0，1上是减函数C偶函数，且在0，1上是增函数D偶函数，且在0，1上是减函数【分析】求出好的定义域，判断函数的奇偶性，以及函数的单调性推出结果即可【解答】解：函数fx=ln1+xln1x，函数的定义域为1，1，函数fx=ln1xln1+x=ln1+xln1x=fx，所以函数是奇函数排除C，D，正确结果在A，B，只需判断特殊值的大小，即可推出选项，x=0时，f0=0；x=时，f=ln

10、1+ln1=ln31，显然f0f，函数是增函数，所以B错误，A正确应选：A【点评】此题考查函数的奇偶性以及函数的单调性的判断与应用，考查计算能力95分A，B，C在圆x2+y2=1上运动，且ABBC，假设点P的坐标为2，0，那么|的最大值为A6B7C8D9【分析】由题意，AC为直径，所以|=|2+|B为1，0时，|2+|7，即可得出结论【解答】解：由题意，AC为直径，所以|=|2+|所以B为1，0时，|2+|7所以|的最大值为7另解：设Bcos，sin，|2+|=|22，0+cos2，sin|=|cos6，sin|=，当cos=1时，B为1，0，取得最大值7应选：B【点评】此题考查向量知识的运用

11、，考查学生分析解决问题的能力，比较根底105分某工件的三视图如下列图，现将该工件通过切削，加工成一个体积尽可能大的正方体新工件，并使新工件的一个面落在原工件的一个面内，那么原工件材料的利用率为材料利用率=ABCD【分析】由题意，原材料对应的几何体是圆锥，其内接正方体是加工的新工件，求出它们的体积，正方体的体积与圆锥的体积比为所求【解答】解：由题意，由工件的三视图得到原材料是圆锥，底面是直径为2的圆，母线长为3，所以圆锥的高为2，圆锥是体积为；其内接正方体的棱长为x，那么，解得x=，所以正方体的体积为，所以原工件材料的利用率为：=；应选：A【点评】此题考查了由几何体的三视图得到几何体的体积以及几

12、何体的内接正方体棱长的求法；正确复原几何体以及计算内接正方体的体积是关键，属于中档题二、填空题本大题共5小题，每题5分，共25分115分集合U=1，2，3，4，A=1，3，B=1，3，4，那么AUB=1，2，3【分析】首先求出集合B的补集，然后再与集合A取并集【解答】解：集合U=1，2，3，4，A=1，3，B=1，3，4，所以UB=2，所以AUB=1，2，3故答案为：1，2，3【点评】此题考查了集合的交集、补集、并集的运算；根据定义解答，属于根底题125分在直角坐标系xOy中，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，假设曲线C的极坐标方程为=2sin，那么曲线C的直角坐标方程为x2+

13、y12=1【分析】直接利用极坐标与直角坐标互化，求解即可【解答】解：曲线C的极坐标方程为=2sn，即2=2sn，它的直角坐标方程为：x2+y2=2y，即x2+y12=1故答案为：x2+y12=1【点评】此题考查极坐标与直角坐标方程的互化，根本知识的考查135分假设直线3x4y+5=0与圆x2+y2=r2r0相交于A，B两点，且AOB=120，O为坐标原点，那么r=2【分析】假设直线3x4y+5=0与圆x2+y2=r2r0交于A、B两点，AOB=120，那么AOB为顶角为120的等腰三角形，顶点圆心到直线3x4y+5=0的距离d=r，代入点到直线距离公式，可构造关于r的方程，解方程可得答案【解答

14、】解：假设直线3x4y+5=0与圆x2+y2=r2r0交于A、B两点，O为坐标原点，且AOB=120，那么圆心0，0到直线3x4y+5=0的距离d=rcos=r，即=r，解得r=2，故答案为：2【点评】此题考查的知识点是直线与圆相交的性质，其中分析出圆心0，0到直线3x4y+5=0的距离d=r是解答的关键145分函数fx=|2x2|b有两个零点，那么实数b的取值范围是0b2【分析】由函数fx=|2x2|b有两个零点，可得|2x2|=b有两个零点，从而可得函数y=|2x2|函数y=b的图象有两个交点，结合函数的图象可求b的范围【解答】解：由函数fx=|2x2|b有两个零点，可得|2x2|=b有两

15、个零点，从而可得函数y=|2x2|函数y=b的图象有两个交点，结合函数的图象可得，0b2时符合条件，故答案为：0b2【点评】此题主要考查函数的零点以及数形结合方法，数形结合是数学解题中常用的思想方法，能够变抽象思维为形象思维，有助于把握数学问题的本质155分0，在函数y=2sinx与y=2cosx的图象的交点中，距离最短的两个交点的距离为2，那么=【分析】根据正弦线，余弦线得出交点k1，k2，k1，k2都为整数，两个交点在同一个周期内，距离最近，即可得出方程求解即可【解答】解：函数y=2sinx与y=2cosx的图象的交点，根据三角函数线可得出交点k1，k2，k1，k2都为整数，距离最短的两个

16、交点的距离为2，这两个交点在同一个周期内，12=2+2，=故答案为：【点评】此题考查了三角函数的图象和性质，三角函数线的运用，属于中档题，计算较麻烦三、解答题1612分某商场举行有奖促销活动，顾客购置一定金额的商品后即可抽奖，抽奖方法是：从装有2个红球A1，A2和1个白球B的甲箱与装有2个红球a1，a2和2个白球b1，b2的乙箱中，各随机摸出1个球，假设摸出的2个球都是红球那么中奖，否那么不中奖用球的标号列出所有可能的摸出结果；有人认为：两个箱子中的红球比白球多，所以中奖的概率大于不中奖的概率，你认为正确吗请说明理由【分析】中奖利用枚举法列出所有可能的摸出结果；在中求出摸出的2个球都是红球的结

17、果数，然后利用古典概型概率计算公式求得概率，并说明中奖的概率大于不中奖的概率是错误的【解答】解：所有可能的摸出的结果是：A1，a1，A1，a2，A1，b1，A1，b2，A2，a1，A2，a2，A2，b1，A2，b2，B，a1，B，a2，B，b1，B，b2；不正确理由如下：由知，所有可能的摸出结果共12种，其中摸出的2个球都是红球的结果为：A1，a1，A1，a2，A2，a1，A2，a2，共4种，中奖的概率为不中奖的概率为：1故这种说法不正确【点评】此题考查了古典概型及其概率计算公式，训练了枚举法求根本领件个数，是根底题1712分设ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，a=btanA证明：

18、sinB=cosA；假设sinCsinAcosB=，且B为钝角，求A，B，C【分析】由正弦定理及可得=，由sinA0，即可证明sinB=cosA由两角和的正弦函数公式化简可得sinCsinAcosB=cosAsinB=，由1sinB=cosA，可得sin2B=，结合范围可求B，由sinB=cosA及A的范围可求A，由三角形内角和定理可求C【解答】解：证明：a=btanA=tanA，由正弦定理：，又tanA=，=，sinA0，sinB=cosA得证sinC=sinA+B=sinA+B=sinAcosB+cosAsinB，sinCsinAcosB=cosAsinB=，由1sinB=cosA，sin

19、2B=，0B，sinB=，B为钝角，B=，又cosA=sinB=，A=，C=AB=，综上，A=C=，B=【点评】此题主要考查了正弦定理，三角形内角和定理，两角和的正弦函数公式的应用，属于根底题1812分如图，直三棱柱ABCA1B1C1的底面是边长为2的正三角形，E，F分别是BC，CC1的中点，证明：平面AEF平面B1BCC1；假设直线A1C与平面A1ABB1所成的角为45，求三棱锥FAEC的体积【分析】证明AEBB1，AEBC，BCBB1=B，推出AE平面B1BCC1，利用平面余平米垂直的判定定理证明平面AEF平面B1BCC1；取AB的中点G，说明直线A1C与平面A1ABB1所成的角为45，就

20、是CA1G，求出棱锥的高与底面面积即可求解几何体的体积【解答】证明：几何体是直棱柱，BB1底面ABC，AE底面ABC，AEBB1，直三棱柱ABCA1B1C1的底面是边长为2的正三角形，E分别是BC的中点，AEBC，BCBB1=B，AE平面B1BCC1，AE平面AEF，平面AEF平面B1BCC1；解：取AB的中点G，连结A1G，CG，由可知CG平面A1ABB1，直线A1C与平面A1ABB1所成的角为45，就是CA1G，那么A1G=CG=，AA1=，CF=三棱锥FAEC的体积：=【点评】此题考查几何体的体积的求法，平面与平面垂直的判定定理的应用，考查空间想象能力以及计算能力1913分设数列an的前

21、n项和为Sn，a1=1，a2=2，an+2=3SnSn+1+3，nN*，证明an+2=3an；求Sn【分析】当n2时，通过an+2=3SnSn+1+3与an+1=3Sn1Sn+3作差，然后验证当n=1时命题也成立即可；通过I写出奇数项、偶数项的通项公式，分奇数项的和、偶数项的和计算即可【解答】证明：当n2时，由an+2=3SnSn+1+3，可得an+1=3Sn1Sn+3，两式相减，得an+2an+1=3anan+1，an+2=3an，当n=1时，有a3=3S1S2+3=311+2+3=3，a3=3a1，命题也成立，综上所述：an+2=3an；解：由I可得，其中k是任意正整数，S2k1=a1+a

22、2+a3+a4+a2k3+a2k2+a2k1=3+32+3k1+3k1=+3k1=3k1，S2k=S2k1+a2k=3k1+23k1=，综上所述，Sn=【点评】此题考查求数列的通项及求和，考查分类讨论的思想，注意解题方法的积累，属于中档题2013分抛物线C1：x2=4y的焦点F也是椭圆C2：+=1ab0的一个焦点，C1与C2的公共弦的长为2，过点F的直线l与C1相交于A，B两点，与C2相交于C，D两点，且与同向求C2的方程；假设|AC|=|BD|，求直线l的斜率【分析】通过C1方程可知a2b2=1，通过C1与C2的公共弦的长为2且C1与C2的图象都关于y轴对称可得，计算即得结论；设Ax1，y1

23、，Bx2，y2，Cx3，y3，Dx4，y4，通过=可得x1+x224x1x2=x3+x424x3x4，设直线l方程为y=kx+1，分别联立直线与抛物线、直线与椭圆方程，利用韦达定理计算即可【解答】解：由C1方程可知F0，1，F也是椭圆C2的一个焦点，a2b2=1，又C1与C2的公共弦的长为2，C1与C2的图象都关于y轴对称，易得C1与C2的公共点的坐标为，又a2b2=1，a2=9，b2=8，C2的方程为+=1；如图，设Ax1，y1，Bx2，y2，Cx3，y3，Dx4，y4，与同向，且|AC|=|BD|，=，x1x2=x3x4，x1+x224x1x2=x3+x424x3x4，设直线l的斜率为k，

24、那么l方程：y=kx+1，由，可得x24kx4=0，由韦达定理可得x1+x2=4k，x1x2=4，由，得9+8k2x2+16kx64=0，由韦达定理可得x3+x4=，x3x4=，又x1+x224x1x2=x3+x424x3x4，16k2+1=+，化简得16k2+1=，9+8k22=169，解得k=，即直线l的斜率为【点评】此题是一道直线与圆锥曲线的综合题，考查求椭圆方程以及直线的斜率，涉及到韦达定理等知识，考查计算能力，注意解题方法的积累，属于中档题2113分a0，函数fx=aexcosxx0，+，记xn为fx的从小到大的第nnN*个极值点证明：数列fxn是等比数列；假设对一切nN*，xn|f

25、xn|恒成立，求a的取值范围【分析】求出函数的导数，令导数为0，求得极值点，再由等比数列的定义，即可得证；由n=1可得a的范围，运用数学归纳法证8n4n+3，当a时，验证得|fxn+1|xn+1，即可得到a的范围【解答】证明：函数fx=aexcosx的导数为fx=aexcosxsinx，a0，x0，那么ex1，由fx=0，可得cosx=sinx，即tanx=1，解得x=k+，k=0，1，2，当k为奇数时，fx在k+附近左负右正，当k为偶数时，fx在k+附近左正右负故x=k+，k=0，1，2，均为极值点，xn=n1+=n，fxn=acosn，fxn+1=acosn+，当n为偶数时，fxn+1=e

26、fxn，当n为奇数时，fxn+1=efxn，即有数列fxn是等比数列；解：由于x1|fx1|，那么a，解得a，下面证明8n4n+3当n=1时，87显然成立，假设n=k时，8k4k+3，当n=k+1时，8k+1=88k84k+3=32k+24=4k+1+28k+204k+1+3，即有n=k+1时，不等式成立综上可得8n4n+3nN+，由e8，当a时，由可得|fxn+1|=|e|n|fx1|8n|fx1|=8nfx14n+3x1xn+1，nN+，综上可得a成立【点评】此题考查导数的运用：求极值，主要考查不等式的恒成立问题，同时考查等比数列的通项公式和数学归纳法证明不等式的方法，以及不等式的性质，属于难题