“高等数学（一）”考试大纲.doc

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1、1高等数学高等数学 B考试大纲考试大纲. .适用专业：工科各专业适用专业：工科各专业 总体要求总体要求 考生应按本大纲的要求，了解或理解“高等数学 ”中函数、极限和连续、 一元函数微分学、一元函数积分学、向量代数与空间解析几何、多元函数微 积分学、无穷级数、常微分方程 的基本概念与基本理论；学会、掌握或熟练 掌握上述各部分的基本方法。应注意各部分知识的结构及知识的内在联系； 应具有一定的抽象思维能力、逻辑推理能力、运算能力、空间想象能力；能 运用基本概念、基本理论和基本方法正确地推理证明，准确地计算；能综合 运用所学知识分析并解决简单的实际问题。 本大纲对内容的要求由低到高，对概念和理论分为“

2、了解”和“理解”两个 层次；对方法和运算分为 “会”、 “掌握”和“熟练掌握 ”三个层次。 考考核核内内容容及及要要求求 一一、函函数数、极极限限和和连连续续 （一）函数 （1）理解函数的概念，会求函数的定义域、表达式及函数值；会求分段 函数的定义域、函数值；掌握函数的单调性、奇偶性、有界性和周 期性；会判断所给函数的类别。 （2）了解函数与其反函数之间的关系（定义域、值)(xfy )(1xfy 域、图象）。 （3）理解和掌握函数的四则运算与复合运算，熟练掌握复合函数的复合 过程。 （4）掌握基本初等函数的简单性质及其图象；了解初等函数的概念；会 建立简单实际问题的函数关系式。 （二）极限 （

3、1）理解极限的概念；能根据极限概念分析函数的变化趋势；会求函数 在一点处的左极限与右极限；了解函数在一点处极限存在的充分必 要条件。 （2）了解极限的有关性质；掌握极限的四则运算法则。 （3）理解无穷小量、无穷大量的概念；掌握无穷小量的性质及无穷小量 与无穷大量的关系；会进行无穷小量阶的比较。 （4）熟练掌握用两个重要极限求极限的方法。 （三）连续 （1）理解函数在一点连续与间断的概念，掌握判断简单函数（含分段函 数）在一点的连续性，理解函数在一点连续与极限存在的关系。 （2）会求函数的间断点，了解函数间断点的类型。 （3）掌握在闭区间上连续函数的性质，会运用介值定理推证一些简单命 题。 （4

4、）理解初等函数在其定义区间上连续，并会利用连续性求极限。 二二、一一元元函函数数微微分分学学2（一）导数与微分 （1）理解导数的概念及其几何意义，了解可导性与连续性的关系，会用 定义求函数在一点处的导数。 （2）会求曲线上一点处的切线方程与法线方程。 （3）熟练掌握导数的基本公式、四则运算法则以及复合函数的求导方法。（4）掌握隐函数的求导法、对数求导法；会求由参数方程所确定的函数 的导数。 （5）理解高阶导数的概念，会求简单函数的n 阶导数。 （6）理解函数的微分概念，掌握微分法则，了解可微与可导的关系，会 求函数的一阶微分。 （二）中值定理及导数的应用 （1）了解罗尔定理、拉格朗日中值定理及

5、它们的几何意义；会用罗尔定 理证明方程根的存在性；会用拉格朗日中值定理证明简单的不等式。（2）熟练掌握利用洛必达法则求各种未定型极限的方法。 （3）掌握利用导数判定函数的单调性及求函数的单调增、减区间的方法， 会利用函数的增减性证明简单的不等式。 （4）理解函数极值的概念，掌握求函数的极值和最大（小）值的方法， 并且会解简单的应用问题。 （5）会判定曲线的凹凸性，会求曲线的拐点。 三三、一一元元函函数数积积分分学学 （一）不定积分 （1）理解原函数与不定积分概念及其关系，掌握不定积分性质，了解原 函数存在定理。 （2）熟练掌握不定积分的基本公式。 （3）熟练掌握不定积分第一换元法，掌握第二换元

6、法（限于三角代换与 简单的根式代换）。 （4）熟练掌握不定积分的分部积分法。 （二）定积分 （1）理解定积分的概念与几何意义；掌握定积分的基本性质。 （2）理解变上限积分的概念，掌握对变上限积分求导数的方法。 （3）掌握牛顿 莱布尼茨公式；掌握定积分的换元积分法与分部积分 法。 （4）理解无穷区间广义积分的概念，掌握其计算方法。 （5）掌握直角坐标系下用定积分计算平面图形的面积；会用定积分求沿 直线运动时变力所作的功。 四四、向向量量代代数数与与空空间间解解析析几几何何 （一）向量代数 （1）理解向量的概念，掌握向量的坐标表示法；会求单位向量、方向余 弦、向量在坐标轴上的投影。 （2）掌握向量

7、的线性运算、向量的数量积与向量积的计算方法。 （3）掌握二向量平行、垂直的条件。3（二）平面与直线 （1）会求平面的点法式方程、一般式方程；会判定两平面的垂直、平行。（2）会求点到平面的距离。 （3）了解直线的一般式方程，会求直线的标准式方程、参数式方程；会 判定两直线平行、垂直。 （4）会判定直线与平面间的关系（垂直、平行、直线在平面上）。 （三）简单的二次曲面 了解球面、母线平行于坐标轴的柱面、旋转抛物面、圆锥面和椭球面 的方程及其图形。 五五、多多元元函函数数微微积积分分 （一）多元函数微分学 （1）了解多元函数的概念、二元函数的几何意义及二元函数的极值与连 续概念（对计算不作要求）；会

8、求二元函数的定义域。 （2）理解偏导数概念，了解全微分概念，了解全微分存在的必要条件与 充分条件。 （3）掌握二元函数的一、二阶偏导数计算方法；掌握复合函数一阶偏导 数的计算方法。 （4）会求二元函数的全微分。 （5）掌握由方程 F（x，y，z）=0 所确定的隐函数 z=z（x，y）的一 阶偏导数的计算方法。 （6）会求二元函数的无条件极值。 （二）重积分 （1）理解二重积分的概念及其性质。 （2）掌握二重积分在直角坐标系下的计算方法；会在极坐标下计算二重 积分。 （3）会用二重积分解决简单的应用问题（限于空间封闭曲面所围成的有 界区域的体积、平面薄板质量） 。 （4）了解三重积分的概念及其计

9、算方法。 六六、无无穷穷级级数数 （一）数项级数 （1）理解级数收敛、发散的概念；掌握级数收敛的必要条件；了解级数 的基本性质。 （2）掌握正项级数的比值判别法；会用正项级数的比较判别法。 （3）掌握几何级数、调和级数及P 级数的敛散性。 （4）了解级数绝对收敛与条件收敛的概念，会使用莱布尼茨判别法。 （二）幂级数 （1）了解幂级数的概念。 （2）了解幂级数在其收敛区间内的基本性质（和、差、逐项求导与逐项 积分） 。 （3）掌握求幂级数的收敛半径、收敛区间的方法（不要求讨论端点）。七七、常常微微分分方方程程4（一）一阶微分方程 （1）理解微分方程的定义，理解微分方程的阶、解、通解、初始条件和

10、特解。 （2）掌握可分离变量微分方程的解法。 （3）掌握一阶线性微分方程的解法。 （二）二阶线性微分方程 （1）了解二阶线性微分方程解的结构。 （2）掌握二阶常系数齐次线性微分方程的解法。 （3）会解简单的二阶常系数非齐次线性微分方程。 . .试试卷卷结结构构 试卷总分： 100 分 考试时间： 120 分钟 试卷内容比例： 函数、极限和连续 约 20% 一元函数微分学 约 30% 一元函数积分学 约 20% 多元函数微积分（含向量代数与空间解析几何） 约 20% 无穷级数、常微分方程 约 10% 试卷题型比例： 选择题 约 15% 填空题 约 25% 计算题 约 40% 应用题 约 10% 综合题 约 10% 试题难易比例： 容易题 约 45% 中等难度题 约 45% 较难题 约 10% . .主主要要参参考考书书： 高等数学 (第 2 版) （上、下册）上海交大数学系编著，上海交通大学出版 社。