求函数 的最小值的定理.doc

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1、1求函数求函数的最小值的定理的最小值的定理xbxaxfmncossin)(摘要：摘要：本文对函数，中参数的讨论，由特殊到一般xbxaxfmncossin)()2, 0(xnmba,推导出求其最小值的方法、定理，并对定理加以证明，举例说明应用。关键词：关键词：一类函数，最小值，方法，定理，应用三角函数问题在中学数学课程中占有重要地位，内容比例大，而且三角问题也是一种重要的数学方法。三角函数的最值问题是三角部分的重点，也是一个难点。本文就函数的最小值问题展开讨论、研究。经过反复研究、推导、归纳，终于得xbxaxfmncossin)(出解决问题的方法，形成理论、权且作为定理。函数中，当时，求其最小很

2、简单，不再讨论，但当xbxaxfmncossin)(2 , 1, nm时，求其最小值就相当困难，下面就三种情况提供解决问题的方法定理。3, 3nm一、一、函数，其中的最小值xxxfnncossin)()2, 0(, 3xnNn且定理定理 1 1：函数：函数，其中，其中当且仅当当且仅当时，时，xxxfnncossin)()2, 0(, 3xnNn且4x取得最小值取得最小值。12)21()4(n f证明：设存在正参数，使 2项nsin21sin21)2(sin nnnnnnxxnx)0sin(sin41)()sin21(2222xxnxnnnnn同理：xnnxnnn22cos41)2(cos)co

3、s(sin41)2(2cossin222xxnnxxnnnnnnnnnnxx)2(241cossin22当且仅当 即时取等号。)2, 0( cos21sin21 x xxnxnnxxcossin由 解得)2, 0(1cossincossin22 xxxxx4x此时取得最小，且)(xf12)21()22()22(4cos4sin)4(n nnnnf的最小值为)(xf12)21()4(n f例例 1.求函数，的最小值。xxxf1616cossin)()2, 0(x解：由定理 1 可知，的最小值为)(xf716161616 21)22()22(4cos4sin)4(f例例 2.求函数 的最小值。92

4、9 )1 ()(xxxf) 1 , 0(x解：令 则)2, 0(,sin2ttxtx2cos1原函数化为tttg99cossin)(由定理 1 知，的最小值为)(tg162)22()22(4cos4sin)4(9999g故原函数的最小值为)(xf162二、二、函数，其中的最xbxaxfnncossin)(,baRba且)2, 0(, 3xnNn且小值定理定理 2 2：函数：函数，其中，其中，xbxaxfnncossin)(,baRba且)2, 0(, 3xnNn且当且仅当当且仅当时，时，取得最小值。取得最小值。 1cossincossin2222xxxbxann )(xf证明：设存在正参数，使

5、,3 项2sin2sin2)2(sinnnnnnnnxaxanxa)0sin, 0(sin4)()sin2(222 22xaxanxannnnn同理：xbnnxbnnn222 cos4)2(cosxbnxannnxbxannnnnn222 222 cos4sin4)2()2(cossin)(2(cos4sin4)(222 222 nnnnnxbnxanxf当且仅当 即22 2244cos2sin2nnnnnnbnanxbxa 22 2)(cossinabba xxn 即时取等号。nnnn n ab ab ba xx21222 2)()()()cossin( ab xxn2)cossin(故当时

6、，取得最小值。 1cossincossin2222xxxbxann )(xf例例 3.求函数，的最小值。xxxf44cos2sin3)()2, 0(x解：由， 解得 1cossincos2sin32222xxxx)2, 0(x 53cos52sinxx由定理 2 可知：当时，取得最小值53cos,52sinxx)(xf56 2518 2512)53(2)52(3)(44 minxf例例 4：求函数 的最小值。323 )1 (3)(xxxf4解：由已知有 010xx10x令 则2, 0,cos2ttxtx2sin1原函数化为 且tttg33sincos3)(1)2(, 3)0(gg当时20 t由

7、， 解得 1cossinsincos322tttt)2, 0(t 1010cos10103sintt由定理 2 可知，此时的最小值为)(tg10103)10103()1010(3)(33 mintg又，)0(10103),2(10103gg故原函数的最小值为10103)(minxf三、三、函数，其中，的xbxaxfmncossin)(Rba,)2, 0(, 3, 3.xnmNnm且最小值定理定理 3 3：函数：函数，其中，其中，xbxaxfmncossin)(Rba,)2, 0(, 3, 3.xnmNnm且当且仅当当且仅当时，时，取得最小值。取得最小值。 1cossincossin2222xx

8、xmbxnamn )(xf证明：设存在正参数，使, 项2sin2sin2)2(sinnnnnnnnxaxanxa)0sin, 0(sin4)()sin2(222 22xaxanxannnnn同理：xbmmxbmmm222 cos4)2(cos5mnmnmnxbmxanxf)2()2(cos4sin4)(222 222 当且仅当 即22 2244cos2sin2mnmmnnbmanxbxa nanbmbxaxmmnmn1 )4()4()2(cos)2(sin2122211nanbmbxaxmmm mnn nmn2 )2()2()2(cos)2(sin22 22 222 anbmabanbmxxn

9、nmm mmnn 22222)2()2()2()2(cossin2即时取等号。xmbxnamn22cossin故当时，取得最小值。 1cossincossin2222xxxmbxnamn )(xf例例 5.求函数，的最小值。xxxf34cos2sin3)()2, 0(x解：由，消去得 1cossincos6sin12222xxxxxsin)0(cos02coscos22xxx解得，代入得4117cosxxxcos6sin1228117sinx由定理 3 可知：当时，取得最小值4117cos,8117sinxx)(xf32251717)4117(2)8117(3)(34 minxf6说明说明:(

10、1)定理 1，定理 2 是定理 3 的特殊情况，定理 3 是一般形式，它包括定理 1，定理 2(2)参考定理及定理的证明方法，可以讨论出函数，其中，xbxaxfmncossin)(Rba,的最值情况RxQnm,.(3)此类型函数也可以考虑用导数方法求其最值以上通过对一类函数的最小值求法的讨论，由特殊到一般，得出xbxaxfmncossin)(结论，形成定理，且定理形式简单，易于记忆、应用，实用性强。同时也提供处理问题的一种数学方法参数法。后记：后记：数学新课程理念中的教师观：教师应是一个研究者，数学教学是为了提高学生数学素养，教学应是一种探究式教学，这都要求数学教师应有探索、钻研精神。本文说明，通过选择适当课题，采取合适的研究方法，坚持不懈进行探索、研究，就能得出一定的研究成效。汕头市鮀浦中学教 林如标