体能测试时间安排.doc

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1、2007 高教社杯全国大学生数学建模竞赛 D 题评阅要点说明本要点仅供参考，各赛区评阅组应根据对题目的理解及学生的解答，自主地进行评阅。这个题目的初稿是某高校一位同学提供的，反映了他们学校一次体能测试的实际 情况，题目加工时除对各班学生人数做了一些改动外其他数据均保持原状。 若将该题目抽象为一般的数学模型，会涉及装箱问题及工件在机器上加工的排序 问题等，超出了学生掌握的知识，我们只要求学生针对这个具体问题进行分析和求解 （一般是可行的近似解或启发式解），大致有以下几部分内容。 一问题分析、假设与建模一问题分析、假设与建模 1. 五个测试项目（体重、立定跳远、肺活量、握力和台阶试验）分别记作 i

2、=1,2,3,4,5，各项目仪器一次可测试的学生数量为 ni=3，1，1，2，10，各项目仪器一 次测试的平均时间为i=10，20，20，15，210（秒）。 2. 同一班学生的学号相连，按学号顺序测试每人可节省 5 秒录入时间，故设一个 班集体测试。已知第 j 班（附表中班号）学生人数为 xj，j=1,2,56,可计算 j 班 i 项的 测试时间 tij=xj/ni+ i+5（秒，+为向上取整，5 为一个班测试开始的录入时间）。5 项测试在容量为 150 人的小型场所进行，设每个班进入场所后全部测试完毕方退出， 且忽略测试项目间的转换时间。 3. 根据学校安排的测试时间（8：0012：10

3、与 13：3016：45），设测试时段 的长度（秒）为 Tk=15000 (k 为奇数), 11700 (k 为偶数)，k=1,2,。 4. 问题归结为：将 tij (i=1,2,3,4,5，j=1,2,56) 排入 T1, T2, , TK，使 K 最少，且 全体学生的等待时间尽量少。约束条件：同一 j、不同 i 的 tij不得在相同时刻安排；同 一 i 在相同时刻不得安排两个及两个以上的 tij；同一 j、所有 i 的 tij需安排在同一时段 Tk内；任何时刻在测试场所的总人数不超过 150。 注：j 班学生的等待时间 cj可定义为该班退出与进入测试场所的时刻之差（包括该 班的测试时间，这

4、个时间是常数）,全体学生的等待时间为 xjcj对 j 求和。 要求论文中含有（最好指出）一.4 中的内容，但不一定给严格的数学表达式。 二算法二算法 不要求最优解法，只需给出较好的启发式算法。一个参考算法的步骤如下： 1. 计算一个学生各项测试的平均时间i/ ni=3.3, 20, 20, 7.5, 21，按其大小排列为 i=5,3,2,4,1，i 按此顺序安排；按各班人数从多到少排序，重编班号为 j=1,2,56, 放入集合 R，j 按此顺序安排，每班设进入和退出测试场所时刻 tin和 tout。 2. 安排时段 Tk（初始 k=1）,用数组 S 记录已安排班级各项测试的开始及结束时刻，设

5、当前时刻 t（初始为 0） ，当前测试场所剩余容量 c（初始为 150） ，j 为 R 中的最小 编号（初始为 1） 。 3. 在 R 中按照 j 的顺序寻找容量c 的班，若有，取出最小的 j 和 xj,tij, 在一.4 给出的 约束下以 t 为 tin，按照 i 的顺序尽量向前安排 tij，以全部测试结束时刻为 tout，检查 是否 toutTk，转 4；若没有，找到尚在测试场所中最早退出班的 tout作为新的 t，用 150 减去此时在测试场所中班级人数和作为新的 c , j 取 R 中的最小编号，转 3。 4. 若 toutTk, 将 j 班各项测试的开始及结束时刻记入 S，c 减去

6、xj作为新的 c ,R 中去掉 j，令 R 中大于 j 的最小编号为新的 j，转 3；若 toutTk, 检查 j 是否在 R 中编号最大， 若是，安排时段 Tk+1，转 2；若不是，令 R 中大于 j 的最小编号为新的 j，转 3。 5. 按 2，3，4 执行直至 R 为空，结束。三结果三结果 应用上述算法 4 个时段可将全部测试安排完毕，每个时段全部项目结束后的剩余 时间约为 760 秒（即使将一.2 tij的计算再加 5 秒也可以排下）；全体学生的等待时间 约为 7106秒（包括测试时间），平均每个学生的等待时间约 1 小时。 要求用清晰、直观的图表形式给出（注意要便于使用）： 1）为学

7、校工作人员使用，提供按照时段和测试项目划分的各班测试的开始和结束 时刻，除表格数据外，下面的图（称甘特图）是一种直观的表达形式。 2）为学生使用，提供各班各项测试的开始和结束时刻，特别是进入及退出测试场 所的时刻。 四对学校的建议四对学校的建议 属于进一步的发挥，如：引进测量仪器的数量使一个学生各项测试的时间尽量均 衡；测试场所的人员容量加大对计划的影响（如计算取消容量限制可增加多少学生测 试）；一个班集体测试会导致某些仪器（如台阶试验）能力的浪费，将一个班的学生 分组测试（如各班台阶试验不足 10 人的合并）可能更有效；人数太多的班拆成两个班 可能更便于安排。注：此图仅为例子，非标准答案。图中数字为班的编号，相邻两班用不同高度仅是为了区别。