全国初中数学联合竞赛决赛试题.doc

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1、上海中考网 http:/ E 度社区 http:/2003 年全国初中数学联合竞赛决赛试题一、选择题（每小题 7 分，共 42 分）1、2。A 54 B41 C5 D121217223222、在凸 10 边形的所有内角中，锐角的个数最多是个。A0 B1 C3 D5 3、若函数 ykx(k0)与函数 yx1的图象相交于 A、C 两点，AB 垂直 x 轴于 B，则ABC 的面积为。A1 B2 Ck Dk24、满足等式 x2003 的正整数对的个2003xy2003y2003xyxy数是。A1 B2 C3 D4 5、设ABC 的面积为 1，D 是边 AB 上一点，且 ADAB13。若在边 AC 上取

2、一点 E，使四边形 DECB 的面积为，则的值为。A 43 EAEC 21B C D31 41 516、如图，在平行四边形 ABCD 中，过 A、B、C 三点的圆交 AD 于 E，且与 CD相切，若 AB4，BE5，则 ED 的长为。A3 B4 C D415 516二、填空题（每小题 7 分，共 28 分） 1、抛物线 yaxbxc 与 x 轴交于 A，B 两点，与 y 轴交于点 C。若ABC 是直角三角形，则 ac。2、设 m 是整数，且方程 3x2mx2=0 的两根都大于而小于，则59 73m=_。 3、如图，AA1、BB1分别是EAB、DBC 的平分线，若 AA1BB1AB，则BAC 的

3、度数为。 4、已知正整数 a、b 之差为 120，它们的最小公倍数是其最大公约数的 105 倍，那么 a、b 中较大的数是。 三、 （本题满分 20 分） 在ABC 中，D 为 AB 的中点，分别延长 CA、CB 到点 E、F，使 DEDF；过 E，F 分别作 CA、CB 的垂线，相交于 P，设线段 PA、PB 的中点分别为 M、N。求证：DEMDFN；PAEPBF。BC DAEA DEB1CA1BCEABFPDNM上海中考网 http:/ E 度社区 http:/四、 （本题满分 20 分）已知实数 a、b、c、d 互不相等，且abcd+x，试求 x 的值。a1 b1 c1 d1五、已知：四

4、边形 ABCD 的面积为 32，AB、CD、AC 的长都是整数，且它们的 和为 16。这样的四边形有几个？求这样的四边形边长的平方和的最小值。试题说明：这是 2004 年全国初中数学联赛试题(决赛)试题，今天把它录入进电 脑，希望能够给假期需要研究的老师和学生们提供方便。还将陆续上传我自己 录入电脑的前几年的联赛试题，请关注。 2003 年全国初中数学联赛答案： 第一试 一、1、(D)； 2、(C)；由于任何凸多边形的外角之和都是 360，故外角中钝角的个数不 超过 3 个，即内角中锐角最多不超过 3 个。3、(A)；设 A()，则，故。又因为ABO 与CBOyx,1xy11 22ABOSxy

5、同底等高，因此，21ABCABOSS4、(B)；由已知等式可得(2003)(2003)0xyxy而，所以，。故20030xy20030xy 2003xy又因为 2003 为质数，必有或12003xy 2003 1x y 5、(B)；如图 3，连结 BE，31144ADES 设，则。CExAC1ABESx 。故111,344ADExSx1 3CE EA6、(D)；如图 4，连结 AC、CE。 由 AEBC，知四边形 ABCE 是等腰梯形。故 ACBE5。 又因为 DcAB，DC 与圆相切，所以，BACACDABC。E ED DC CB BA AE ED D C CB BA A上海中考网 http

6、:/ E 度社区 http:/则 ACBCAD5，DCAB4因为，故2DCAD DE216 5DCDEAD二、1、1；设 A。由ABC 是直角三角形可知必异号。12( ,0), (,0)xB x12,x x则120cx xa由射影定理知，即；故2OCAOBO2 12ccxxa1,1acac 2、4；由题设可知，2299320553332077mm 解得。故813342145m4m 3、12；设BAC 的度数为x因，故又，则ABBB2 ,4B BDxCBDxABAACBD。因为AA BABA x41(180)2A ABx故，解得1(180)441802xxx12x4、225；设()，且，其中，与

7、互质。于ba,dmda ndb nm mn是的最小公倍数为。依题意有ba,mnd，即120105mdnd mnd d3()23 5(1) 3 5 7(2)mn d mn 又，据式(2)可得mn105 1m n 35 3m n 21 5m n 15 7m n 根据式(1)，只能取，可求得15 7m n 15d故两个数中较大的数是。225md上海中考网 http:/ E 度社区 http:/第二试 A 卷一、解：设前后两个二位数分别为，yx,10,99x y有；即2()100xyxy222(50)()0xyxyy当224(50)4()4(250099 )0yyyy即，则时，方程有实数解250099

8、0y25y 50250099xyy由于必为完全平方数，而完全平方数的未位数字仅可能为y25000，1，4，5，6，9，故仅可取 25；此时，或y30x20 故所求四位数为 2025 或 3025 二、(1)如图，据题设可知，DMBN，DMBN，DNAM，DNAM 故AMDBND 因为 M、N 分别是 RtAEP 和 RtBFP 斜边的中点， 所以，EMAMDN，FNBNDM 又已知 DEDF，故DEMFDN (2)由上述三角形全等可知EMDFND，则AMEBNF 而AME、BNF 均为等腰三角形，所以，PAEPBF 三、解：由已知有； ； ； 1axb1bxc1cxd1dxa由式解出 1bxa

9、式代入式得 21xacxax将式代入得21 1xaxxaxd即 32(1)(2)10dxadxda xad 由式得，代入式得axad13()(2 )0da xx由已知，故0da320xx若，则由式可得，矛盾。故有0xca 22,2xx B 卷 一、同(A 卷)第一题的解答。P PN N M MF FE ED DC CB BA A上海中考网 http:/ E 度社区 http:/二、如图，分别取 AP、BP 的中点 M、N。连结 EM、DM、FN、DN。由 D 是 AB 的中点，则 DMBN，DMBN，DNAM，DNAM。故AMDBND。 又因为 M、N 分别是 RtAEP、RtBFP 斜边的中

10、点，所以， EMAMDN，FNBNDM。 因为 DEDF，则DEMFDN 故EMDFND，从而，AMEBNF 而AME、BNF 均为等腰三角形，故PAEPBF 三、(1)如图，记 ABa，CDb，AC ，并设ABC 的边 ABl上的高为，ADC 的边 DC 上的高为。则1h2hABCDABCADCSSS四边形1211()()22hah bl ab仅当时等号成立。即在四边形 ABCD 中，当 ACAB，ACCD 时等12hhl号成立。由已知可得64()l ab又由题设，可得16abl264(16)64(8)64lll于是，且这时 ACAB，ACCD8,8lab因此，这样的四边形有如下 4 下：，7, 1ba8;2,6,8labl3,5,8;4,8ablabl它们都是以 AC 为高的梯形或平行四边形。(2)又由 AB，CD，则aa82222228,8(8)BCaADa因此，这样的四边形的边长的平方和为22222(8)1284(4)192aaa故当时，平方和最小，且为 1924 ba (C)卷 一、同(A 卷)第三题的解答。 二、除图的形式不同(如图)外，解答同(B 卷)第二题 三、同(B 卷)第三题解答。P PF FE EN NM MD DC CB BA A1h2hlb ba aD DC CB BA AM MC CN NF FE ED DB BA AP P