最新单级倒立摆的最优控制设计【单级倒立摆】.doc

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1、最新单级倒立摆的最优控制设计【单级倒立摆】单级倒立摆评分：_ SHANGHAI UNIVERSITY课程论文COURSE PAPER 单级倒立摆 学 院 机自学院 专 业 电气工程及其自动化 学 号 12121696 学生姓名 王龙康 课程 现代控制理论 打印日期目 录一、倒立摆的概述3二、单级倒立摆4三、倒立摆状态空间描述5四、使用MATLAB 8（1）状态反馈系统的极点配置 8 （2）状态观测器实现状态反馈极点配置10一、倒立摆的概述：倒立摆控制系统：Inverted Pendulum System （IPS）倒立摆控制系统是一个复杂的、不稳定的、非线性系统，是进行控制理论教学及开展各种控

2、制实验的理想实验平台。对倒立摆系统的研究能有效的反映控制中的许多典型问题：如非线性问题、鲁棒性问题、镇定问题、随动问题以及跟踪问题等。通过对倒立摆的控制，用来检验新的控制方法是否有较强的处理非线性和不稳定性问题的能力。同时，其控制方法在军工、航天、机器人和一般工业过程领域中都有着广泛的用途，如机器人行走过程中的平衡控制、火箭发射中的垂直度控制和卫星飞行中的姿态控制等。倒立摆系统按摆杆数量的不同，可分为一级，二级，三级倒立摆等，多级摆的摆杆之间属于自由连接（即无电动机或其他驱动设备）。现在由中国的大连理工大学李洪兴教授领导的“模糊系统与模糊信息研究中心”暨复杂系统智能控制实验室采用变论域自适应模

3、糊控制成功地实现了四级倒立摆。因此，中国是世界上第一个成功完成四级倒立摆实验的国家。倒立摆的控制问题就是使摆杆尽快地达到一个平衡位置，并且使之没有大的振荡和过大的角度和速度。当摆杆到达期望的位置后，系统能克服随机扰动而保持稳定的位置。 二、单级倒立摆：单级倒立摆如图1所示：长度为l、质量为m的单级倒立摆，用铰链安装在质量为M的小车上。小车受执行电机操纵，在水平方向上施加控制量u，则产生位移z。为简化问题，忽略摆杆质量、执行电机惯性以及摆轴、轮轴、轮与接触面之间的摩擦力和风力。控制的目的是当单级倒立摆出现偏角q以后能通过小车的水平运动使单级倒立摆保持在垂直位置。要求建立该系统的数学模型，用状态反

4、馈配置系统极点，利用全维状态观测器实现状态反馈。 图1 三、倒立摆状态空间描述：设小车相对位移参考坐标系的瞬时位置为x，那么小球摆心瞬时位置为(x+lsinq)。在水平方向，由牛顿第二定律可得dxdM+m(x+lsinq)=udtdt2222在垂直方向，由惯性力矩与重力矩平衡可得dm(x+lsinq)lcosq=mglsinqdt22上述两式可化为(M+m)x+mlqcosq-mlqsinq=u xcosq+lqcosq-lqsinqcosq=gsinq222这两个方程都是非线性方程，为求得解析解，进行线性化处理。当倒立摆在平衡位置附近时，q很小，sinqq，cosq1，忽略qq2项，可得(M

5、+m)x+mlq=ux+lq=gq联立求解，得mg1x=-q+uMM(M+m)g1q=q-uMlMl选取小车位移及其速度、摆角偏离平衡态角度和角速度四个变量为状态变量，即x1=x,x=x,x=q,x=q，可得状态方程和输2134出方程x=xmg1x=x=-x+uMMx=x(M+m)g1x=x=x-uMlMly=x=x12213344331写成矩阵形式为x00x=0x0x12341 mg0-M00(M+m)g0Ml0x010x+Mu 1x010x-Mlxxy=1000xx12341234设M=5kg,m=0.1kg,l=1m,g=9.812，则单级倒立摆系统的状态方程为x0x0=0x0x1234

6、100-0.196200010.01130x00x0.2+u 1x00x-0.21234xxy=1000xx 1234 四、使用MATLAB（1）状态反馈系统的极点配置首先，使用MATLAB，判断系统的能控性矩阵是否为满秩。MATLAB程序截图如下： MATLAB程序执行结果如下： 系统能控，系统的极点为l=0,l=0,l=3.1641,l=-3.16411234可以通过状态反馈来任意配置极点，将极点配置在l=-6,l=-6.5,l=-7,l=-7.5*1234MATLAB程序截图如下： MATLAB程序执行结果截图如下： 因此，求出状态反馈矩阵为K=-1043.0-622.4-2456.8-

7、757.4采用MATLAB/Simulink构造单级倒立摆状态反馈控制系统的仿真模型，截图如下： 首先，在MATLAB的Command Window中输入各个矩阵的值，并且在模型中设置非零初值。运行仿真程序，仿真曲线截图如下： （2）状态观测器实现状态反馈极点配置 使用MATLAB判断系统的能观性。MATLAB程序截图如下： MATLAB程序执行结果截图如下： 结果表明系统能观，可以设计状态观测器。取状态观测器的特征值为l=-20,l=-21,l=-22,l=-231234MATLAB程序截图如下： MATLAB程序执行结果截图如下： 状态观测器矩阵为H=100280-206500-12251

8、00 T采用MATLAB/Simulink构造具有状态观测器的单级倒立摆状态反馈系统的仿真模型，截图如下: 在MATLAB的Command Window中输入各个矩阵的值，并且在11模型中的积分器中设置非零初值，运行仿真程序，仿真曲线截图如下： 12单级倒立摆系统单级倒立摆系统LQR控制器设计与仿真摘要首先介绍了倒立摆系统的工作原理，给出了整体设计方案和工作框图，然后对倒立摆进行了详细的力学分析，建立了数学模型，同时，搭建了控制系统的实物实验平台，完成了倒立摆系统的平衡控制。最后，对此设计方案进行了理论分析和仿真实验，通过改变Q和R的值来观察系统的稳定性。 关键词：倒立摆；建模；控制器；仿真。

9、 AbstractThis paper firstly introduces the working principle of invested pendulum system, and the overall design scheme and working diagram. Then established mathematical models of inverted pendulum system and does detailed mechanics analysis. The inverted pendulum system is constructed to accomplis

10、h the equilipium control. Finally, this design is simulated by the experiments and analysed by theory.We change the value of Q and R to observe the stability of the system .Key words: Inverted pendulum; Modeling; Controller; Simulation1.引言倒立摆系统是一个典型的高阶次、多变量、严重不稳定和强耦合的非线性系统。由于它的行为与火箭飞行以及两足机器人行走有很大的相似

11、性,因而对其研究具有重大的理论和实践意义。由于倒立摆系统本身所具有的上述特点,使它成为人们深入学习、研究和证实各种控制理论有效性的实验系统。线性二次型最优控制设计是在状态空间技术的基础上设计一个最优的动态控制器即LQR控制器。线性二次型最优控制问题其目标函数是属于二次型形式的最优控制。这种控制问题在现代控制理论中占有非常重要的地位，越来越受到控制界的高度重视，这是因为它的最优解具有标准的解析式，它不局限于某种特定物理系统，而且经过人们的多次实验，证明这样可以很容易获得解析解，且可以形成简单的线性状态反馈控制规律，容易构成最优反馈控制，在工程中便于实现，所以广泛应用于实际的工程问题中。本文针对单

12、级倒立摆系统的平衡控制问题进行了研究，首先介绍基于动力学理论建立单级倒立摆的运动方程，经近似处理得到数学模型，设计并实现了基于最优控制理论的线性二次状态调节器( LQR )控制，对倒立摆的摆角和小车的位移进行控制，同时利用Matlab软件中Simulink对倒立摆的运动进行了仿真，并且对所获得的控制结果进行了分析，最后得到了较为满意的结果，验证了该系统的可行性和有效性。2. 倒立摆系统原理简介与建模 图1 一级倒立摆原理图一级倒立摆系统的原理框图如上所示。系统包括计算机、运动控制卡、伺服机构、倒立摆本体和光电码盘几大部分，组成了一个闭环系统。光电码盘1将连杆的角度、角速度信号反馈给伺服驱动器和

13、运动控制卡，摆杆的角度、角速度信号由光电码盘2反馈回控制卡。计算机从运动控制卡中读取实时数据，确定控制决策 ，并由运动控制卡来实现该控制决策，产生相应的控制量，驱动电机转动，带动连杆运动，保持摆杆的平衡。在忽略了空气阻力，各种摩擦之后，可将直线一级倒立摆系统抽象成小车和匀质杆组成的系统，如下图2所示。 图2 直线一级倒立摆系统 其中：M 小车质量 m 摆杆质量 b 小车摩擦系数l 摆杆转动轴心到杆质心的长度 I 摆杆惯量 F 加在小车上的力 x 小车位置 摆杆与垂直向上方向的夹角 摆杆与垂直向下方向的夹角（考虑到摆杆初始位置为竖直向下） 下图是系统中小车和摆杆的受力分析图。其中，N和P为小车与

14、摆杆相互作用力的水平和垂直方向的分量。注意：在实际倒立摆系统中检测和执行装置的正负方向已经完全确定，因而矢量方向定义如图所示，图示方向为矢量正方向。 图3 （a）小车隔离受力图； （b）摆杆隔离受力图 分析小车水平方向所受的合力，可以得到以下方程：&-NM&x=F-bx(1)由摆杆水平方向的受力进行分析可以得到下面等式：N=mddt22(x+lsinq) (2)&cosq-mlq&2sinq &+mlq即：N=mx为了推出系统的第二个运动方程，我们对摆杆垂直方向上的合力进行分析，可以得到下面方程：P-mg=m&sinq-mlq&2cosq 即： P-mg=-mlqddt22(lcosq) (3

15、)力矩平衡方程如下：& -Plsinq-Nlcosq=Iq(4)注意：此方程中力矩的方向，由于q=p+f，cosf=-cosq，sinf=-sinq故等式前面有负号。合并这两个方程，约去P和N，得到第二个运动方程：(I+ml)q&+mglsinq2&cosq=mlx(5)设q=p+f（f是摆杆与垂直向上方向之间的夹角），假设f与1（单位为弧度）相比很小，即f1，则可以进行近似处理：cosq=-1，sinq=-f，dq=0，用来u代表被控对象的输入力F，线性化后两个运动方程如下： dt2&(I+ml)f-mglf=mlx(6) &-mlf=ux+bx(M+m)&2系统状态空间方程为&=AX+Bu

16、X(7) y=CX+Du即：0&x0&x=f&0&f01-(I+ml2 )b2mgl222I(M+m)+Mml0-mlbI(M+m)+MmlI(M+m)+Mml0mgl(M+m)2I(M+m)+Mml2002I+ml)x(0IM+m+Mml2&x()+1f0&fml0I(M+m)+Mml2ux1y=f00001x&0x0+u (8) 0f0&f3. 倒立摆系统LQR控制器设计与仿真最优控制理论主要是依据庞德里亚金的极值原理，通过对性能指标的优化寻找可以使目标极小的控制器。其中线性二次型性能指标因为可以通过求解Riccatti方程得到控制器参数，并且随着计算机技术的进步，求解过程变得越来越简便，

17、因而在线性多变量系统的控制器设计中应用较广。利用线性二次型性能指标设计的控制器称作LQR控制器。前面我们已经得到了直线一级倒立摆系统的比较精确的动力学模型，下面我们针对直线型一级倒立摆系统应用LQR法设计与调节控制器，控制摆杆保持倒立平衡的同时，跟踪小车的位置。实际系统的模型参数如下:M 小车质量 1.096 Kg m 摆杆质量 0.109 Kg b 小车摩擦系数 0 .1N/m/secl 摆杆转动轴心到杆质心的长度 0.2 5m I 摆杆惯量 0.0034 kg*m*m T 采样频率 0.005秒注意：在进行实际系统的MATLAB仿真时，请将采样频率改为实际系统的采样频率。请用户自行检查系统

18、参数是否与实际系统相符，否则请改用实际参数进行实验。由倒立摆系统状态方程：x0&x0=f0&f01-0.18180-0.454502.6727031.18180x0&0x1.18182+u1f00f&4.5455x&0x0+u (9) 0f0&fx1y=f00001应用线性反馈控制器，控制系统结构如图4。图中,R是施加在小车上的阶跃&，f，f&分别代表小车位移、小车速度、摆杆位置和摆输入，四个状态量x，x杆角速度，输出y=xf包括小车位摆杆角度。设计控制器使得当给系统施加一个阶跃输入时，摆杆会置和摆动，然后仍然回到垂直位置，小车可以到达新的指定位置。系统的开环极点可以用Matlab程序求出。开

19、环极点为0，-0.1428，5.5651，-5.6041，可以看出，有一个极点5.5651位于右半S平面，这说明开环系统不稳定。假设全状态反馈可以实现（四个状态量都可测），找出确定反馈控制规律K。用Matlab中的lqr函数，可以得到最优控制器对应的K。lqr函数允许选择两个参数(R和Q)，这两个参数用来平衡输入量和状态量。最简单的情况是假设R=1，Q=C*CT.当然，也可以通过改变Q矩阵中的非调节控制器以得到期望的响应。 图4 控制系统结构4. 结果与仿真分析仿真模型如下图所示： 图5 仿真模型图运行结果如下图所示：(1)Q=1 0 0 0;0 0 0 0;0 0 1 0;0 0 0 0,R

20、=1.33,由MATLAB求得最优状态反馈矩阵为K=-0.8671 -1.7961 16.8606 3.1490 所化小车位移响应曲线和倒立摆摆角响应曲线如图6所示 图6 (2)Q=1 0 0 0;0 0 0 0;0 0 1 0;0 0 0 0,R=0.01,由MATLAB求得最优状态反馈矩阵为K=-10.000 -9.4201 31.5559 6.0023 所化小车位移响应曲线和倒立摆摆角响应曲线如图7所示 图7 (3)Q=0.1 0 0 0;0 0 0 0;0 0 0.1 0;0 0 0 0,R=1.33,由MATLAB求得最优状态反馈矩阵为K=-0.2742 -0.9521 15.325

21、9 2.8138 所化小车位移响应曲线和倒立摆摆角响应曲线如图8所示 图8 (4)Q=0.1 0 0 0;0 0 0 0;0 0 0.1 0;0 0 0 0,R=100,由MATLAB求得最优状态反馈矩阵为K=-0.0316 -0.3603 14.2239 2.5693 所化小车位移响应曲线和倒立摆摆角响应曲线如图9所示 图9由图（6）（7）（8)（9）分析如下：图7与图6相比以及图8与图9相比，当Q不变，R增大时，各相应曲线达到稳态所需的时间变长；图6与图8相比，当R不变，Q增大时，各相应曲线达到稳态所需的时间变短；小结：根据上面得到的数据，利用Matlab软件中Simulink对倒立摆的运

22、动进行仿真。倒立摆摆角和小车位移的仿真结果如图6、图7、图8和图9所示。经过多次仿真试凑，可以使系统能够准确地跟踪阶跃输入信号，摆杆的角度的超调量足够小，稳态误差很小、上升时间与调整时间也比较短。Q和R 矩阵用来平衡系统对输入量和状态量的感应程度，通过调整矩阵Q和 R 来获得满意的响应效果。当R增大时，各相应曲线达到稳态所需的时间变长；Q增大时，各相应曲线达到稳态所需的时间变短； 5总结在单级倒立摆数学模型的基础上，设计了LQR控制器并进行了仿真，证明了设计的控制器的有效性，LQR控制可以比较好地控制住摆杆且响应速度较快、超调量较小。LQR最优控制方法能够使目标函数具有最优解，可以提高闭环系统

23、的相对稳定性或者使不稳定系统得以稳定，系统具有良好的稳定性和鲁棒性，同时分析了加权矩阵Q和 R 对系统性能指标的影响。研究结果表明，使用线性二次型最优控制器(LQR)对单级倒立摆的运动有较好的控制，可以达到最优控制的目的，而且具有较优的稳态特性，适应性较强，因此有进一步研究和推广的必要性。参考文献1 KHALIL SULTAN. Inverted Pendulum-Analysis, Design and ImplementationM. Pakistan：CSIR IIEE，2005.2 王仲民，孙建军，岳宏. 基于 LQR 的倒立摆最优控制系统研究J. 工业仪表与自动化装置，2005（3）

24、：6-9.3 丛爽，张冬军，魏衡华. 单级倒立摆三种控制方法的对比研究J. 系统工程与电子技术，2001，23（11）：47.4 黄丹，周少武，吴新开，等. 基于LQR最优调节器的倒立摆控制系统J. 微计算机信息，2004（20）：37-38.5 蔡寿康，张正方. 最优控制M. 北京：电子工业出版社，1984.6 张晓华. 控制系统数字仿真与CADM. 2版. 北京：机械工业出版社，2005. 程序清单x=1;Y=1;A=0 1 0 0;0 -0.1818 2.6727 0;0 0 0 1;0 -0.4545 31.1818 0; B=0;1.18182;0;4.5455;C=1 0 0 0;

25、0 0 1 0;D=0;0;Q=x 0 0 0;0 0 0 0;0 0 0 y 0;0 0 0 0;M=ctrb(A,B);k1=rank(M);if k1=4disp(系统可控!)elsedisp(系统不可控!)endN=obsv(A,C);k2=rank(N);if k2=4disp(系统可观测!)elsedisp(系统不可观测!)endT=eig(A)R=100;K=lqr(A,B,Q,R) LQR在单级倒立摆系统中的应用一研展一 一 在单级倒立摆 系统 中的应用 中北大学计算机与控制工程学院 高晓勤 沈小林 ， （ ， ， ， ） 【 摘要 】单级倒立摆控制是一个即复杂而又对准确性、快

26、速性要求很高 的非 线性不稳定 系统控制 问题。单级倒立摆数 学模 型的建立对研 究其稳定性具有指 导作用 。针对 多 变量、非线性、强耦合性的倒立摆系统 ，运用牛顿动力 学方法建立其 动力学方程 ，并进行 线性化处 理，得 到状态空间模 型。然后对 该模 型分 别进 行 控制，在 环 境下进行 仿真。实验结果表 明，二次型最优控制具有 良好的响应性能和算法简单等特点，在实际应用 中具有重要意义。 【 关键词 】单 级倒立摆；线性二次型；最优控制； ： ， ， ， ， ， ， ： ； ； ； 引 言 一， （ 们 。为 了得到 控 制理 论 的习惯 设定初始参数为 ： 单 级 倒立 摆 是一

27、种 典型 的 多变 量 、非 线 表达 ，即 为一般控制量 。 性 、强 耦 合 的不 稳定 系 统 ，对它 的研 究可 归 实际应用 结为对 多变量非线 性系统 的研 究，具有一定 的 在这 里，我们参考 了一 些数据。代入数据 ： 理论价 值。从工程应 用上讲 ，卫星的姿态 控 得状态方程 各矩 阵为： 制 、机 器人 的关节运动控制 和起重机械 的稳 钩 装置 等都和倒 立摆模 型有相似之 处 。所 以， ： 】 对倒立 摆系统 的控 制研究具有 重要的工程背 景 ： ： 和实际意义 。 其中 代表 小车位置 的权重 ，而 。 是摆杆 单级倒 立摆 系统的数学模型 角度 的权重 ，输入的

28、权重 是 。 一级倒立摆 的数 学模 型 现在 改变 的权值 ，本 次将通过 改变 小车 利 用 牛顿一 欧拉分 析方法来 对直 线型倒 立 位置状态变量 的权值观察变化 。即： 摆系统进 行数 学建模 。 为 简 化 系统 ，我 们 在建 模 时忽 略 了空 气 阻力和 各种摩擦 ，并认为摆杆为 刚体 。在忽 略 了空气 阻力和各种摩 擦之后 ，可 将单级倒立 摆 系 统抽 象成 小 车与摆杆 构成 系统 ，如 图 所 倒立摆的二次型 最优控制 不 。 线 性 二 次型 是指 系 统 的状态 方 程是 线性 】 的，指 标 函数 是状 态 变量 和 控制 变 量 的二次 对 比仿真结果如 图

29、 、图 所示 。 卦 型。 找一状态反 馈控 制律： （ ） 一 一 （ ） 使得 二次 型性能指标最小化： 二 （ 、 图 直线倒立摆系统的抽象图 我们不 妨做以下假设： 小 车的质量 ；均匀 杆的质量 ：小车 的摩 擦 系数 ；均匀杆 的质心 到杆 轴心长度 ；均 匀 杆 的惯量 ；均匀杆 与垂 直 向上 方 向夹 角 ； 均匀杆 与垂直 向下方 向夹角 （ 考虑摆杆初始 位 置为竖直 向下） 。 分 别对 小车和均 匀杆 进行受力分析 ，建 立 单级倒立摆系统 数学模 型。 小车水平 方向受力： （ ） 。 （ ） （ ） （ ） （ （ ） 其 中， （ ） 为 系统 的状 态变 量

30、； 。 、 为 起始时 间与终 止时 间； 为终态 约束矩 阵 ； （ ） 为运动约束矩 阵； （ ） 为 约束 控制矩 阵。 其 中 、 决定 了系统误差与控 制能量消耗之 间 的相对重要性 。 为 使 最 小 ，由最小 值原理得 到最 优控制 为： （ ） 一 （ ） （ ） 嚣塑一 ； ， 。 。 一 ； 一 ； 。 。 ； 一 一式 中，矩 阵 （ ） 为微分 方程 ： （ ） （ ） 一 （ ） （ ） ） （ ） 的解 。 如 果令终止 时间 ， （ ） 为 一个常数矩 阵 ，且 （ ） ： ，因此 以上的 方程简化 为： 一 ， （ ） （ ） （ ） （ ） （ ） 摆杆竖直

31、方 受力： 最优反馈 系数矩 阵： （ ） 中提供 了专 门的求解 工具 尸一 来求取 。 比较 不 同 的 取 值 时 的 响应 曲线 可 以得 仿真结果及分析 出：当 批 值相 同时，对于值较大时系 一 一 可 以进行如 下处理，设 当摆杆 与垂直 向上 取不 同的 ， 时 ，研究 控制 倒立摆 摆 统 ，其响应速度加 快，但是超 调量加大 ；反 之 方 向 之 间 的 夹 角 相 比很 小 时 ， 一 ， 角和小车位移零状态仿真结果 。 则响应变慢 ，但是超调量减 小。通过 比较 ，我 摆杆水 平方向受力： 嘉 （ ） （ ） 嘉 一 （ ） ， （ ） 电 子 世 界 一 一 一 研发

32、展一 一 个 面 向 院 校 信 息 领 域 的 最 终 用 户 编 程 语 言 。 浙江交通技 师学院 汪 珏 龚建伟 柏 鹏 上海交通 大学软件学 院 贾 颖 （ ； 。 ， ） 【 摘要 】随着 应用的推广和 的兴起 ，用 户的个 性化应用需求越来越 多，如何迅 速地满足用户大量 的开发 和维护需求成为软件开发 面临的一个 重要问题。 能否让 最终 用户也能开发软件？ 选择 中职院校 信 息系统为研 究领域，研究最终用户编程技术 ，设计 了一个 面向最终 用户的 信 息领 域特定语 ，并开发 了相应 的编 程 工具 ，让 不具有 软件 工程 知识 的最终 用户能使用可视 化编 程的方 式开发出信 息系统。 目前 已在实际 中成功试用。 【 关键词 】最终用户编程 ；可视化编程 ；领 域特定语 言 ： ， ？ ， ， ，