相似三角形模型分析大全(典藏版).docx-得力文库

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1、第 1 页共 35 页相似三角形模型分析大全(典藏版)第一部分第一部分相似三角形知识要点大全相似三角形知识要点大全知识点知识点 1.1.相似图形的含义相似图形的含义把形状相同的图形叫做相似图形。（即对应角相等、对应边的比也相等的图形）解读解读：（1）两个图形相似，其中一个图形可以看做由另一个图形放大或缩小得到（2）全等形可以看成是一种特殊的相似，即不仅形状相同，大小也相同（3）判断两个图形是否相似，就是看这两个图形是不是形状相同，与其他因素无关例 1放大镜中的正方形与原正方形具有怎样的关系呢？分析：要注意镜中的正方形与原正方形的形状没有改变解：是相似图形。因为它们的形状相同，大小不一定

2、相同例 2下列各组图形：两个平行四边形；两个圆；两个矩形；有一个内角 80的两个等腰三角形；两个正五边形；有一个内角是 100的两个等腰三角形，其中一定是相似图形的是_(填序号)解析：根据相似图形的定义知，相似图形的形状相同，但大小不一定相同，而平行四边形、矩形、等腰三角形都属于形状不唯一的图形，而圆、正多边形、第 2 页共 35 页顶角为 100的等腰三角形的形状不唯一，它们都相似答案：知识点知识点 2 2比例线段比例线段对于四条线段 a,b,c,d ，如果其中两条线段的长度的比与另两条线段的长度的比相等，即（或 a:b=c:d）那么这四条线段叫做成比例线段，简称比ac bd例线段解读解读

3、：（1）四条线段 a,b,c,d 成比例，记作（或 a:b=c:d），不能写ac bd成其他形式，即比例线段有顺序性（2）在比例式（或 a:b=c:d）中，比例的项为 a,b,c,d，其中 a,d 为比例ac bd外项，b,c 为比例内项，d 是第四比例项（3）如果比例内项是相同的线段，即或 a:b=b:c，那么线段 b 叫做线段ab bc和的比例中项。(4)通常四条线段 a,b,c,d 的单位应一致，但有时为了计算方便，a 和 b 统一为一个单位，c 和 d 统一为另一个单位也可以，因为整体表示两个比相等例 3已知线段 a=2cm, b=6mm, 求a b分析：求即求与长度的比，与的单位不

4、同，先统一单位，再求比a b例 4已知 a,b,c,d 成比例，且 a=6cm,b=3dm,d=dm，求 c 的长度3 2分析：由 a,b,c,d 成比例，写出比例式 a:b=c:d，再把所给各线段 a,b,d 统一单位后代入求 c第 3 页共 35 页知识点知识点 3 3相似多边形的性质相似多边形的性质相似多边形的性质：相似多边形的对应角相等，对应边的比相等解读解读：（1）正确理解相似多边形的定义，明确“对应”关系（2）明确相似多边形的“对应”来自于书写，且要明确相似比具有顺序性例 5若四边形 ABCD 的四边长分别是 4，6，8，10，与四边形 ABCD 相似的四边形 A1B1C1D1的

5、最大边长为 30，则四边形 A1B1C1D1的最小边长是多少？分析：四边形 ABCD 与四边形 A1B1C1D1相似，且它们的相似比为对应的最大边长的比，即为，再根据相似多边形对应边成比例的性质，利用方程思想求出最1 3小边的长知识点知识点 4 4相似三角形的概念相似三角形的概念对应角相等，对应边之比相等的三角形叫做相似三角形解读解读：（1）相似三角形是相似多边形中的一种；（2）应结合相似多边形的性质来理解相似三角形；（3）相似三角形应满足形状一样，但大小可以不同；（4）相似用“”表示，读作“相似于” ；（5）相似三角形的对应边之比叫做相似比注意注意：相似比是有顺序的，比如ABCA1B1C1

6、，相似ABCDE第 4 页共 35 页比为 k,若A1B1C1ABC，则相似比为。若两个三角形的相似比为 1，则1 k这两个三角形全等，全等三角形是相似三角形的特殊情况。若两个三角形全等，则这两个三角形相似；若两个三角形相似，则这两个三角形不一定全等例 6如图，已知ADEABC，DE=2，BC=4，则和的相似比是多少？点D，E 分别是 AB，AC 的中点吗？注意注意：解决此类问题应注意两方面：（1）相似比的顺序性，（2）图形的识别解：因为ADEABC，所以，因为，DEADAE BCABAC21 42DE BC所以，所以 D，E 分别是 AB，AC 的中点1 2ADAE ABAC知识点知识点

7、 5 5相似三角的判定方法相似三角的判定方法（1）定义：对应角相等，对应边成比例的两个三角形相似；（2）平行于三角形一边的直线截其他两边（或其他两边的延长线）所构成的三角形与原三角形相似（3）如果一个三角形的两个角分别与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似（4）如果一个三角的两条边与另一个三角形的两条边对应成比例，并且夹角相等，那么这两个三角形相似第 5 页共 35 页（5）如果一个三角形的三条边分别与另一个三角形的三条边对应成比例，那么这两个三角形相似（6）直角三角形被斜边上的高分成的两个直角三角形与原三角形都相似例 7如图，点 D 在ABC 的边 AB 上，满足怎样的条件时

8、，ACD 与ABC相似？试分别加以列举分析：此题属于探索性问题，由相似三角形的判别方法可知，ACD 与ABC 已有公共角A，要使此两个三角形相似，可根据相似三角形的判别方法寻找一个条件即可解：当满足以下三个条件之一时，ACDABC条件一：1=B；条件二：2=ACB；条件三：，即 AC2=ADAB知识点知识点 6 6相似三角形的性质相似三角形的性质（1）对应角相等，对应边的比相等；（2）对应高的比，对应中线的比，对应角平分线的比都等于相似比；（3）相似三角形周长之比等于相似比；面积之比等于相似比的平方ADAC ACAB第 6 页共 35 页例 8如图，已知ADEABC，AD=8，BD=4，BC

9、=15，EC=7（1）求 DE、AE 的长；（2）你还能发现哪些线段成比例BCADE分析：此题重点考查由两个三角形相似，可得到对应边成例，即例 9已知ABCA1B1C1，=，ABC 的周长为 20cm，面积为 40cm22 3求（1）A1B1C1的周长；（2）A1B1C1的面积分析：根据相似三角形周长之比等于相似比；面积之比等于相似比的平方求解易求出A1B1C1的周长为 30cm; A1B1C1的面积 90cm2第二部分第二部分相似三角形模型分析大全相似三角形模型分析大全DEADAE BCABAC11AB AB第 7 页共 35 页1 1、相似三角形判定的基本模型认识相似三角形判定的基本模

10、型认识（一）A 字型、反 A 字型（斜 A 字型）ABCDE（平行） CBAD E（不平行）（二）8 字型、反 8 字型JOADBCABCD（蝴蝶型）（平行）（不平行）第 8 页共 35 页（三）母子型ABCDCAD（四）一线三等角型：三等角型相似三角形是以等腰三角形（等腰梯形）或者等边三角形为背景第 9 页共 35 页（五）一线三直角型：第 10 页共 35 页（6）双垂型：CAD2 2、相似三角形判定的变化模型相似三角形判定的变化模型第 11 页共 35 页旋转型：由 A 字型旋转得到。 8字型拓展CBEDA共享性GABCEF一线三等角的变形第 12 页共 35 页一线三直角的

11、变形第三部分第三部分相似三角形典型例题讲解相似三角形典型例题讲解母子型相似三角形母子型相似三角形例 1：如图，梯形ABCD中，ADBC，对角线AC、BD交于点O，BECD交CA延长线于E求证：OEOAOC2第 13 页共 35 页例 2：已知：如图，ABC中，点E在中线AD上, ABCDEB求证：（1）；（2） DADEDB2DACDCE第 14 页共 35 页例 3：已知：如图，等腰ABC中，ABAC，ADBC于D，CGAB，BG分别交AD、AC于E、F求证：EGEFBE2第 15 页共 35 页相关练习：相关练习：1、如图，已知AD为ABC的角平分线，EF为AD的垂直平分线求证：

12、FCFBFD2第 16 页共 35 页2、已知：AD 是 RtABC 中A 的平分线，C=90，EF 是 AD 的垂直平分线交AD 于 M，EF、BC 的延长线交于一点 N。求证：(1)AMENMD; (2)ND =NCNB23、已知：如图，在ABC 中，ACB=90，CDAB 于 D，E 是 AC 上一点，CFBE 于 F。求证：EBDF=AEDB第 17 页共 35 页5 已知：如图，在 RtABC中，C=90，BC=2，AC=4，P是斜边AB上的一个动点，PDAB，交边AC于点D（点D与点A、C都不重合），E是射线DC上一点，且EPD=A设A、P两点的距离为x，BEP的面积为y（1

13、）求证：AE=2PE；（2）求y关于x的函数解析式，并写出它的定义域；（3）当BEP与ABC相似时，求BEP的面积第 18 页共 35 页双垂型双垂型1、如图，在ABC 中，A=60，BD、CE 分别是 AC、AB 上的高求证：（1）ABDACE；（2）ADEABC；(3)BC=2EDDEABC第 19 页共 35 页2、如图，已知锐角ABC，AD、CE 分别是 BC、AB 边上的高，ABC 和BDE 的面积分别是 27 和 3，DE=6，求：点 B 到直线 AC 的距离。2第 20 页共 35 页EDABC共享型相似三角形共享型相似三角形1、ABC 是等边三角形,D、B、C、E 在一条

14、直线上,DAE=，已知120BD=1，CE=3，,求等边三角形的边长.第 21 页共 35 页ABCDE2、已知：如图，在 RtABC中，AB=AC，DAE=45求证：（1）ABEACD；（2）CDBEBC 22EDCAB第 22 页共 35 页第 23 页共 35 页一线三等角型相似三角形一线三等角型相似三角形例 1：如图，等边ABC中，边长为 6，D是BC上动点，EDF=60（1）求证：BDECFD（2）当BD=1，FC=3 时，求BE 例 2：（1 1）在中，点、分别在射线、上ABC5 ACAB8BCPQCBAC（点不与点、点重合），且保持.PCBABCAPQ若点在线段上（如图

15、），且，求线段的长；PCB6BPCQ若，求与之间的函数关系式，并写出函数的定义域；xBP yCQ yx第 24 页共 35 页（2）正方形的边长为（如下图），点、分别在直线、上（点ABCD5PQCBDC不与点、点重合），且保持.当时，求出线段的长.PCB90APQ1CQBP第 25 页共 35 页例 3：已知在梯形ABCD中，ADBC，ADBC，且AD5，ABDC2（1）如图 8，P为AD上的一点，满足BPCA求证；ABPDPC求AP的长（2）如果点P在AD边上移动（点P与点A、D不重合），且满足BPEA，PE交直线BC于点E，同时交直线DC于点Q，那么当点Q在线段DC的延长

16、线上时，设APx，CQy，求y关于x的函数解析式，并写出函数的定义域；当CE1 时，写出AP的长第 26 页共 35 页CBADCBAD例 4：如图，在梯形中，点为边ABCDADBC6ABCDBC3AD M的中点，以为顶点作，射线交腰于点，射线交腰BCMEMFB MEABEMF于点，联结CDFEF（1）求证：；MEFBEM（2）若是以为腰的等腰三角形，求的长；BEMBMEF（3）若，求的长EFCDBE第 27 页共 35 页第 28 页共 35 页相关练习：相关练习：1、如图，在ABC中，是边上的一个动点，点在8 ACAB10BCDBCE边上，且ACCADE(1) 求证：ABDDCE；第

17、 29 页共 35 页(2) 如果，求与的函数解析式，并写出自变量的定义域；xBD yAE yxx(3) 当点是的中点时，试说明ADE是什么三角形，并说明理由DBC2、如图，已知在ABC中， AB=AC=6，BC=5，D是AB 上一点，BD=2，E是BC 上一动点，联结DE，并作，射线EF交线段AC于FDEFB （1）求证：DBEECF；（2）当F是线段AC中点时，求线段BE的长；（3）联结DF，如果DEF与DBE相似，求FC的长FBACDE第 30 页共 35 页3、已知在梯形ABCD中，ADBC，ADBC，且BC =6，AB=DC=4，点E是AB的中点（1）如图，P为BC上的一

18、点，且BP=2求证：BEPCPD；（2）如果点P在BC边上移动（点P与点B、C不重合），且满足EPF=C，PF交直线CD于点F，同时交直线AD于点M，那么当点F在线段CD的延长线上时，设BP= ，DF= ，求关于的函数解xyyx析式，并写出函数的定义域；当时，求BP的长BEPDMFSS49第 31 页共 35 页4、如图，已知边长为的等边，点在边上，点是射线3ABCFBC1CF E上一动点，以线段为边向右侧作等边，直线交直线于点BAEFEFG,EG FGAC，,M N（1）写出图中与相似的三角形；BEF（2）证明其中一对三角形相似；（3）设，求与之间的函数关系式，并写出自变量的

19、取值范,BEx MNyyxx围；（4）若，试求的面积1AE GMN第 32 页共 35 页一线三直角型相似三角形一线三直角型相似三角形例例 1 1、已知矩形 ABCD 中，CD=2，AD=3，点 P 是 AD 上的一个动点，且和点 A,D不重合，过点 P 作，交边 AB 于点 E,设，求 y 关于 x 的函CPPE yAExPD ,数关系式，并写出 x 的取值范围。E BCADP第 33 页共 35 页例例 2 2、在中，是 AB 上的一点，且，点 P 是ABCOBCACC, 3, 4,90o 52ABAOAC 上的一个动点，交线段 BC 于点 Q，（不与点 B,C 重合），设OPPQ ，试求关于 x 的函数关系，并写出定义域。yCQxAP ,yQCBAOP第 34 页共 35 页第 35 页共 35 页FABCDEFABCDE【练习练习 2 2】在直角三角形 ABC 中，是 AB 边上的一点，E 是在 AC 边上的DBCABC,90o一个动点，（与 A,C 不重合），与射线 BC 相交于点 F.DFDEDF,(1)、当点 D 是边 AB 的中点时，求证：DFDE (2)、当，求的值mDBADDFDE（3）、当，设,求 y 关于 x 的函数关系式，并写21, 6DBADBCACyBFxAE ,出定义域

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