最新[下学期 4.2 弧度制] 弧度制.doc

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1、最新下学期 4.2 弧度制 弧度制教学目标：1明确引入弧度制的必要性，理解新单位制意义2熟练掌握角度制与弧度制的换算教学重点：理解弧度制引入的必要性，掌握定义，能熟练地进行角度制与弧度制的互化教学难点：弧度制定义的理解教学用具：投影仪教学过程1设置情境在角度制下，当把两个带着度、分、秒各单位的角相加、相减时，由于运算进率非十进制，总给我们带来不少困难那么我们能否重新选择角单位，使在该单位制下两角的加、减运算与常规的十进制加减法一样去做呢？本节课就来尝试选择这种新单位2探索研究（1）复习角度制我们在平面几何中研究角的度量，当时是用度做单位来度量角， 的角是如何定义的？规定把周角的 作为1度的角我

2、们把用度做单位来度量角的制度叫做角度制，在数学和其他许多科学研究中还要经常用到另一种度量角的制度弧度制，它是如何定义呢？（2）弧度制定义我们把等于半径长的圆弧所对的圆心角叫做1弧度的角，如图1，弧 的长等于半径 ， 所对的圆心角 就是1弧度的角，弧度制的单位符号是 ，读作弧度 图1 的弧度数 的弧度数 提问：若弧是一个半圆，则其圆心角的弧度数是多少？若弧是一个整圆呢？因为半圆的弧长 ，其圆心角的弧度数是 ，同理，若弧是一个整圆，其圆心角的弧度数是 在 到 的角的弧度数 必然适合不等式 ，角的概念推广后，弧的概念也随之推广，任一正角的弧度数都是一个正数如果圆心角表示一个负角，且它以所对的弧长 ，

3、则这个圆心角的弧度数是 ，由此我们给出弧度制的定义：一般地，可以得到：正角的弧度数是一个正数，负角的弧度数是一个负数，零角的弧度数是0；角 的弧度数的绝对值 ，其中 是以角 作为圆心角时所对的弧长， 是圆的半径，这种以弧度作为单位来度量角的单位制，叫做弧度制 提问：为什么可以用弧长与其半径的比值来度量角的大小呢？即这个比值是否与所取的圆的半径大小无关呢？ 如图2，设 为 的角，圆弧 和 的长分别为 和 ，点 和 到点 的距离（即圆半径）分别为 和 ，由初中学过的弧长公式可得： ， ，于是 上式表明，以角 为圆心角所对的弧长与其半径的比值，由 的大小来确定，与所取的半径大小无关，仅与角的大小有关

4、因 ，可以得到 ，那弧长等于圆弧所对圆心角的弧度数的绝对值与半径的积，这个公式比采用角度制时相应公式 要简单（3）角度制与弧度制的换算用“弧度”与“度”去度量每一个角时，除了零角以外，所得到的量数都是不同的，但它们既然是度量同一个角的结果，二者就可以相互换算我们已经知识若弧是一个整圆，它的圆心角是周角，其弧度数是 ，而在角度制里它是 ，因此 ，两边除以2得 等式两边同除180得 同理，把弧度换成角度 【例1】把 化成弧度解： 【例2】把 化成度解： 同学们在进行角度制与弧度制互化时要抓住 弧度这个关键下面请大家写出一些特殊角的弧度数角度 弧度 按从左至右顺序其答案是：0、 、 、 、 、 、

5、、 、 、 、 今后我们用弧度制表示角的时候，“弧度”二字或“ ”通常省略不写，而只写相应的弧度数例如：角 就表示 是 的角， 就表示 的角的余弦，即 （4）角度制与弧度制的比较引进弧度制后，我们应将它与角度制进行比较，同学们应明确：弧度制是以“弧度”为单位度量角的制度，角度制是以“度”为单位度量角的制度；1弧度是等于半径长的圆弧所对的圆心角（或该弧）的大小，而 是圆的 所对的圆心角（或该弧）的大小；不论是以“弧度”还是以“度”为单位的角的大小都是一个与半径大小无关的定值【例3】计算：（1） ；（2） 解：（1） （2） 练习（用投影仪）1把下列各角化成 的形式：（1） ；（2） ；（3） 2

6、求右图3中公路弯道处弧 的长 （精确到 ，图中长度单位： ） 参考答案：1（1） （2） （3） 2 答：弯道处 的长约为 3练习反馈（1）若三角形的三个内角之比是2：3：4，求其三个内角的弧度数（2）已知扇形的周长为 ，面积为 ，求扇形的中心角的弧度数（3）下列终边相同的是（）A 与 B 与 C 与 D 与 参考答案：（1） 、 、 ；（2）2（3）B4总结提炼（1） 弧度；（2）“角化弧”时，将 乘以 ；“弧化角”时，将 乘以 （3）弧长公式： 扇形面积公式： （其中 为圆心角 所对的弧长， 为圆心角的弧度数， 为圆半径）课时作业1角集合 与 之间的关系为（ ）AB C D不确定2若角 和 的终边互为反向延长线，则有（ ）A B C D 3中心角为 的扇形，它的弧长为 ，则该扇形所在圆的半径为_4若 ，且 与 的角的终边垂直，则 5已知直径为 的滑轮上有一条长为 的弦， 是此弦的中点，若滑轮以每秒5弧度的角速度旋转，则经过5秒钟后点 转过的弧长等于多少？6已知一个扇形周长为 ，当扇形的中心角为多大时，它有最大面积参考答案：1C 2D 36； 4 或 ； 5 ； 6中心角 时， 第 5 页 共 5 页