第六章第2讲　等差数列及其前n项和.ppt

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1、抓住抓住3个考点个考点突破突破4个考向个考向揭秘揭秘3年高考年高考第第2讲等差数列及其前讲等差数列及其前n项和项和抓住抓住3个考点个考点突破突破4个考向个考向揭秘揭秘3年高考年高考考点梳理考点梳理(1)等差数列：一般地，如果一个数列从第二项起，每一项等差数列：一般地，如果一个数列从第二项起，每一项与前一项的差等于与前一项的差等于_，那么这个数列就叫做等，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数就叫做等差数列的公差差数列，这个常数就叫做等差数列的公差(公差常用字母公差常用字母“d”表示表示)即即anan1_(n2，nN)1等差数列的定义及通项公式等差数列的定义及通项公式同一个常数同一个常数d抓住抓住

2、3个考点个考点突破突破4个考向个考向揭秘揭秘3年高考年高考(3)等差数列的通项公式：若等差数列的首项为等差数列的通项公式：若等差数列的首项为a1，公差为，公差为d，则通项公式为，则通项公式为an_；若已知第；若已知第m项项am和公和公差差d，通项，通项an还可写成还可写成an_.(1)若数列若数列an是等差数列，则是等差数列，则anam_(n、mN*)(2)数列数列an是等差数列，若是等差数列，若mnpq(m，n，p，qN*)，则，则aman_特别地，若特别地，若mn2p，则，则aman_.a1(n1)dam(nm)d.2等差数列的性质等差数列的性质(nm)dapaq2ap抓住抓住3个考点个考

3、点突破突破4个考向个考向揭秘揭秘3年高考年高考(3)在有穷等差数列在有穷等差数列an中，与首、末两项距离相等的任意中，与首、末两项距离相等的任意两项之和与首、末两项之和相等，如两项之和与首、末两项之和相等，如a1ana2_.an1抓住抓住3个考点个考点突破突破4个考向个考向揭秘揭秘3年高考年高考annd抓住抓住3个考点个考点突破突破4个考向个考向揭秘揭秘3年高考年高考3等差数列的前等差数列的前n项和项和(3)最值问题：在等差数列最值问题：在等差数列an中，中，a10，d0，则，则Sn存在存在_，若，若a10，d0，则，则Sn存在存在_最大值最大值最小值最小值抓住抓住3个考点个考点突破突破4个考

4、向个考向揭秘揭秘3年高考年高考一个命题解读一个命题解读等差数列是高考考查的重点内容，主要考查等差数列的通等差数列是高考考查的重点内容，主要考查等差数列的通项公式，前项公式，前n项和公式，等差数列的性质等相关内容对项和公式，等差数列的性质等相关内容对等差数列的定义，性质及等差中项的考查，以填空为主，等差数列的定义，性质及等差中项的考查，以填空为主，难度较小通项公式与前难度较小通项公式与前n项和相结合的题目，多出现在项和相结合的题目，多出现在解答题中，难度中等解答题中，难度中等对这部分内容的考查仍会坚持小题考性质、大题考灵活运对这部分内容的考查仍会坚持小题考性质、大题考灵活运用知识分析问题、解决问

5、题的能力用知识分析问题、解决问题的能力【助学助学微博微博】抓住抓住3个考点个考点突破突破4个考向个考向揭秘揭秘3年高考年高考等差数列的判断方法等差数列的判断方法(1)定义法：对于定义法：对于n2的任意自然数，验证的任意自然数，验证anan1为同一为同一常数；常数；(2)等差中项法：验证等差中项法：验证2an1anan2(n3，nN*)都成都成立；立；(3)通项公式法：验证通项公式法：验证anpnq；(4)前前n项和公式法：验证项和公式法：验证SnAn2Bn.注注后两种方法只能用来判断是否为等差数列，而不能用后两种方法只能用来判断是否为等差数列，而不能用来证明等差数列来证明等差数列抓住抓住3个考

6、点个考点突破突破4个考向个考向揭秘揭秘3年高考年高考1设设Sn是等差数列是等差数列an的前的前n项和，已知项和，已知a23，a611， 则则S7_. 答案答案49 解析解析设公差为设公差为d.则则a5a23d6， a6a33d7613. 答案答案13考点自测考点自测2在等差数列在等差数列an中，中，a37，a5a26，则，则a6_.抓住抓住3个考点个考点突破突破4个考向个考向揭秘揭秘3年高考年高考解析解析S2010(a1a20)10(a10a11)0，S2121a110，a100，a110，n10时，时，Sn最大最大答案答案103已知等差数列的公差已知等差数列的公差d0，前，前n项和记为项和记

7、为Sn，满足，满足S200，S210，则当，则当n_时，时，Sn达到最大值达到最大值抓住抓住3个考点个考点突破突破4个考向个考向揭秘揭秘3年高考年高考解析解析当当n1时，时，a1S11；当；当n2时时，a an nS Sn nS Sn n1 12n23n2(n1)23(n1)54n.显然显然a1符合符合an，所以，所以an54n(nN*)答案答案54n4(2012 2南通第一学期期末考试南通第一学期期末考试)已知数列已知数列an的前的前n项和为项和为Sn2n23n，则数列，则数列an的通项公式为的通项公式为_抓住抓住3个考点个考点突破突破4个考向个考向揭秘揭秘3年高考年高考抓住抓住3个考点个考

8、点突破突破4个考向个考向揭秘揭秘3年高考年高考(1)若数列若数列an是等差数列，求数列是等差数列，求数列bn的前的前6项和项和S6；(2)若数列若数列bn是公差为是公差为2的等差数列，求数列的等差数列，求数列an的通项公的通项公式式解解(1)因为因为a11，a22，数列，数列an是等差数列，是等差数列，所以所以ann.所以所以b1b3b51，b25，b49，b613.所以所以S6b1b2b630.考向一考向一等差数列基本量的计算等差数列基本量的计算【例例1】 (2012苏锡常镇四市调研苏锡常镇四市调研)在数列在数列an中，中，a11，a22.数列数列bn满足满足bnan1(1)nan，nN*.

9、抓住抓住3个考点个考点突破突破4个考向个考向揭秘揭秘3年高考年高考(2)因为因为b1a2a1211，数列，数列bn是公差为是公差为2的等差的等差数列，所以数列，所以bn2n1.因为因为b2n1a2na2n14n3，b2na2n1a2n4n1，所以所以a2n1a2n12.故故a2n3a2n12.所以所以a2n3a2n1.又又a11，所以，所以a31.故故a4n3a11，a4n1a31.所以所以a2n11.则则a2n4n2.抓住抓住3个考点个考点突破突破4个考向个考向揭秘揭秘3年高考年高考方法总结方法总结 等差数列的通项公式及前等差数列的通项公式及前n项和公式中，共涉项和公式中，共涉及五个量，知三

10、可求二，如果已知两个条件，就可以列出及五个量，知三可求二，如果已知两个条件，就可以列出方程组解之如果利用等差数列的性质去考虑也可以体方程组解之如果利用等差数列的性质去考虑也可以体现了用方程解决问题的思想现了用方程解决问题的思想抓住抓住3个考点个考点突破突破4个考向个考向揭秘揭秘3年高考年高考(1)求数列求数列an的通项公式；的通项公式；(2)若数列若数列an的前的前k项和项和Sk35，求，求k的值的值解解(1)设等差数列设等差数列an的公差为的公差为d，则，则ana1(n1)d.由由a11，a33可得可得12d3.解得解得d2.从而，从而，an1(n1)(2)32n.【训练训练1】 (2011

11、福建卷福建卷)在等差数列在等差数列an中，中，a11，a33.抓住抓住3个考点个考点突破突破4个考向个考向揭秘揭秘3年高考年高考(1)求数列求数列an及及bn的通项公式；的通项公式；(2)是否存在常数是否存在常数a0且且a1，使得数列，使得数列anlogabn(nN*)是常数列？若存在，求出是常数列？若存在，求出a的值；若不存在，请说明理的值；若不存在，请说明理由由考向二考向二等差数列的判定或证明等差数列的判定或证明抓住抓住3个考点个考点突破突破4个考向个考向揭秘揭秘3年高考年高考从而从而(anan1)(anan14)0.因为数列因为数列an的各项均为正数，所以的各项均为正数，所以anan14

12、.所以当所以当a11时，时，an4n3；当；当a13时，时，an4n1.又因为当又因为当a11时，时，a1，a2，a7分别为分别为1,5,25，能构成等比，能构成等比数列，所以数列，所以an4n3，bn5n1；当当a13时，时，a1，a2，a7分别为分别为3,7,27，不能构成等比数，不能构成等比数列，故舍去列，故舍去所以所以an4n3，bn5n1.抓住抓住3个考点个考点突破突破4个考向个考向揭秘揭秘3年高考年高考方法总结方法总结 等差数列主要的判定方法是定义法和等差中项等差数列主要的判定方法是定义法和等差中项法，而对于通项公式法和前法，而对于通项公式法和前n项和公式法主要适合在填空项和公式法

13、主要适合在填空题中简单判断另外，求数列通项，一般要作出是否是等题中简单判断另外，求数列通项，一般要作出是否是等差数列或等比数列的判断差数列或等比数列的判断抓住抓住3个考点个考点突破突破4个考向个考向揭秘揭秘3年高考年高考(1)设设bnan1an(nN*)，证明：，证明：bn是等比数列；是等比数列；(2)求数列求数列an的通项公式；的通项公式；(3)若若a3是是a6与与a9的等差中项，求的等差中项，求q的值，并证明：对任意的的值，并证明：对任意的nN*，an是是an3与与an6的等差中项的等差中项(1)证明证明由题设由题设an1(1q)anqan1(n2)，得得an1anq(anan1)，即即b

14、nqbn1，n2.由由b1a2a11，q0，所以所以bn是首项为是首项为1，公比为，公比为q的等比数列的等比数列【训练训练2】 已知已知数列数列an中，中，a11，a22，且，且an1(1q)anqan1(n2，q0)抓住抓住3个考点个考点突破突破4个考向个考向揭秘揭秘3年高考年高考(2)解解由由(1)知，知，a2a11，a3a2q，anan1qn2(n2)将以上各式相加，得将以上各式相加，得ana11qqn2(n2)，即即ana11qqn2(n2)上式对上式对n1显然成立显然成立抓住抓住3个考点个考点突破突破4个考向个考向揭秘揭秘3年高考年高考(3)解解由由(2)，当，当q1时，显然时，显然

15、a3不是不是a6与与a9的等差中项，的等差中项，故故q1.由由a3a6a9a3可得可得q5q2q2q8，由由q0得得q311q6，整理得整理得(q3)2q320，解得，解得q32或或q31(舍去舍去)抓住抓住3个考点个考点突破突破4个考向个考向揭秘揭秘3年高考年高考(2)已知数列已知数列an的通项公式是的通项公式是an4n25，求数列，求数列|an|的的前前n项和项和考向三等差数列前考向三等差数列前n项和及综合应用项和及综合应用【例例3】 (1)在等差数列在等差数列an中，已知中，已知a120，前，前n项和为项和为Sn，且且S10S15，求当，求当n取何值时，取何值时，Sn取得最大值，并求出它

16、取得最大值，并求出它的最大值的最大值抓住抓住3个考点个考点突破突破4个考向个考向揭秘揭秘3年高考年高考抓住抓住3个考点个考点突破突破4个考向个考向揭秘揭秘3年高考年高考抓住抓住3个考点个考点突破突破4个考向个考向揭秘揭秘3年高考年高考抓住抓住3个考点个考点突破突破4个考向个考向揭秘揭秘3年高考年高考方法总结方法总结 求等差数列前求等差数列前n项和的最值，常用的方法：项和的最值，常用的方法：(1)利用等差数列的单调性或性质，求出正负转折项，便可利用等差数列的单调性或性质，求出正负转折项，便可求得和的最值求得和的最值(2)利用等差数列的前利用等差数列的前n项和项和SnAn2Bn(A、B为常数为常数

17、)为为二次函数，根据二次函数的性质求最值二次函数，根据二次函数的性质求最值抓住抓住3个考点个考点突破突破4个考向个考向揭秘揭秘3年高考年高考(1)求求an的通项公式；的通项公式；(2)求证：数列求证：数列bnan为等比数列；为等比数列；(3)求求bn前前n项和的最小值项和的最小值抓住抓住3个考点个考点突破突破4个考向个考向揭秘揭秘3年高考年高考抓住抓住3个考点个考点突破突破4个考向个考向揭秘揭秘3年高考年高考抓住抓住3个考点个考点突破突破4个考向个考向揭秘揭秘3年高考年高考抓住抓住3个考点个考点突破突破4个考向个考向揭秘揭秘3年高考年高考【例例4】 (1)在等差数列在等差数列an中，中，a1a

18、2a324，a18 a19a2078，则此数列前，则此数列前20项和等于项和等于_考向四考向四等差数列的性质及应用等差数列的性质及应用抓住抓住3个考点个考点突破突破4个考向个考向揭秘揭秘3年高考年高考答案答案(1)180(2)15方法总结方法总结 高考对等差数列通项公式的考查，常常涉及项高考对等差数列通项公式的考查，常常涉及项与项之间的内在联系，因此突破这些问题的关键是归纳和与项之间的内在联系，因此突破这些问题的关键是归纳和总结一些基本的性质，并能利用这些性质对问题进行合理总结一些基本的性质，并能利用这些性质对问题进行合理的转化，从而求解的转化，从而求解抓住抓住3个考点个考点突破突破4个考向个

19、考向揭秘揭秘3年高考年高考抓住抓住3个考点个考点突破突破4个考向个考向揭秘揭秘3年高考年高考 近几年高考中，对等差数列的概念通项公式、性近几年高考中，对等差数列的概念通项公式、性质、前质、前n项和公式的考查始终没有放松一方面考查知项和公式的考查始终没有放松一方面考查知识的掌握情况，另一方面考查数学推理能力识的掌握情况，另一方面考查数学推理能力(1)求数列求数列an的通项公式；的通项公式；热点突破热点突破17 等差数列的综合问题等差数列的综合问题抓住抓住3个考点个考点突破突破4个考向个考向揭秘揭秘3年高考年高考抓住抓住3个考点个考点突破突破4个考向个考向揭秘揭秘3年高考年高考反思与回顾反思与回顾

20、 第三步第三步：高考考查等差数列时，常考查：高考考查等差数列时，常考查等差数列的通项、性质、求和、裂项法求和和公式法求和等差数列的通项、性质、求和、裂项法求和和公式法求和等知识等知识抓住抓住3个考点个考点突破突破4个考向个考向揭秘揭秘3年高考年高考1(2012重庆卷改编重庆卷改编)在等差数列在等差数列an中，中，a21，a45， 则则an的前的前5项和项和S5_. 答案答案15高考经典题组训练高考经典题组训练抓住抓住3个考点个考点突破突破4个考向个考向揭秘揭秘3年高考年高考解析解析因为因为a1a52a310，所以，所以a35，又，又a47，所以，所以da4a32.答案答案2解析解析因为因为(a

21、1a5)(b1b5)2(a3b3)42，所以，所以a5b542735.答案答案352(2012福建卷改编福建卷改编)等差数列等差数列an中，中，a1a510，a47，则数列则数列an的公差为的公差为_3(2012江西卷江西卷)设数列设数列an，bn都是等差数列若都是等差数列若a1b17，a3b321，则，则a5b5_.抓住抓住3个考点个考点突破突破4个考向个考向揭秘揭秘3年高考年高考(1)求数列求数列an的通项公式；的通项公式；(2)对任意对任意mN*，将数列，将数列an中落入区间中落入区间(9m,92m)内的项的内的项的个数记为个数记为bm，求数列，求数列bm的前的前m项和项和Sm.解解(1

22、)因为因为an是一个等差数列，是一个等差数列，所以所以a3a4a53a484，a428.设数列设数列an的公差为的公差为d，则则5da9a4732845，故，故d9.由由a4a13d得得28a139，即，即a11.所以所以ana1(n1)d19(n1)9n8(nN*)4(2012山东卷山东卷)在等差数列在等差数列an中，中，a3a4a584，a973.抓住抓住3个考点个考点突破突破4个考向个考向揭秘揭秘3年高考年高考(2)对对mN*，若，若9man92m，则则9m89n92m8.因此因此9m11n92m1，故得，故得bm92m19m1.于是于是Smb1b2b3bm(99392m1)(199m1)