222双曲线的几何性质.ppt

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1、双曲线的几何性质双曲线的几何性质19.219.2授课人：授课人： 王群王群22221 (0,0)xyabab 22221(00)yxa,bab .yxOF2F1xyO.F2F1.焦焦点点12(- ,0),( ,0)FcF c12(0,- ),(0, )Fc Fc22,.,.xxyy若若的的系系数数为为正正 则则焦焦点点在在 轴轴上上若若的的系系数数为为正正 则则焦焦点点在在 轴轴上上关关系系222cab图图形形方方程程 2、对称性、对称性 一、研究双曲线一、研究双曲线 的简单几何性质的简单几何性质) 0, 0( 12222babyax1、范围、范围axax或关于关于x轴、轴、y轴和原点都是对称

2、轴和原点都是对称。x轴、轴、y轴是双曲线的对称轴，原点是对称中心，轴是双曲线的对称轴，原点是对称中心，又叫做双曲线的又叫做双曲线的中心中心。xyo-aa(-x,-y)(-x,y)(x,y)(x,-y)课堂新授课堂新授 Ry3、顶点、顶点（1）双曲线与对称轴的交点，叫做双曲线的）双曲线与对称轴的交点，叫做双曲线的顶点顶点xyo-b1B2Bb1A2A-aa12(,0)( ,0)AaA a顶点是、只有两个！如图，线段如图，线段 叫做双曲线叫做双曲线的实轴，它的长为的实轴，它的长为2a,a叫做叫做半实轴长；线段半实轴长；线段 叫做双叫做双曲线的虚轴，它的长为曲线的虚轴，它的长为2b,b叫做双曲线的半虚

3、轴长叫做双曲线的半虚轴长2A1A2B1B（2）实轴与虚轴等长的双曲线实轴与虚轴等长的双曲线叫叫等轴双曲线等轴双曲线（3）)0(22mmyx4 4、离心率、离心率,cea 双双曲曲线线的的焦焦距距与与实实轴轴长长的的比比叫叫做做双双曲曲线线的的离离心心率率 ca0 e 1 e 是表示双曲线开口大小的一个量是表示双曲线开口大小的一个量, ,e 越大开口越大越大开口越大! !（1）定义：）定义：（2）e 的范围的范围：（3）e 的意义：的意义：221169xy双双曲曲线线(1)范范围围：44,xxyR 或或(2)顶顶点点坐坐标标：12( 4,0),(4,0)AA (3)焦焦点点坐坐标标：12( 5,

4、0),(5,0)FF xyO1yx 思思考考：的的图图像像是是什什么么？xy图图像像无无限限靠靠近近 轴轴和和 轴轴1F2F1A2A(4)(4)离心率离心率: : 45e5、渐近线、渐近线1A2A1B2Bxyoxabyxabyab)0, 0( 12222babyax双曲线.yxab渐近线为：22221,(0,0)xyabab双双曲曲线线byxa 直直线线叫叫做做双双曲曲线线的的渐渐进进线线. .22143xy的的渐渐进进线线为为：32yx 22122xy 的的渐渐进进线线为为：yx 等等轴轴双双曲曲线线2e xyObyxa byxa 关于关于x轴、轴、y轴、原点对称轴、原点对称图图形形方方 程

5、程范范 围围对称性对称性顶顶 点点离心率离心率22221 (0,0)xyababA1(-a,0), A2(a,0)A1(0,-a), A2(0,a) yayaxR 或或，关于关于x轴、轴、y轴、原点对称轴、原点对称(1)ceea 渐进线渐进线ayxb xaxayR 或或，(1)ceea byxa .yB2A1A2 B1 xOF2F1F1(-c,0)F2(c,0)xB1yO.F2F1B2A1A2.F2(0,c)F1(0,-c)22221 (0,0)yxabab例例1.求下列双曲线的渐近线方程，并画出图像：求下列双曲线的渐近线方程，并画出图像： 149).122 yx149).222 yx0 xy

6、共轭双曲线共轭双曲线22222222(0)0.xyxyabab 双曲线渐近线方程02222byax0)(byaxbyax或0byax. 0byaxxaby能不能直接由双曲线方程推出渐近线方程？能不能直接由双曲线方程推出渐近线方程？结论：结论： 1 00 xy(a,b)ab22222222双曲线方程双曲线方程中，把中，把1改为改为0，得，得oxy例例2已知双曲线的渐近线是已知双曲线的渐近线是 ，并且双曲线过点，并且双曲线过点02 yx)3, 4(M求双曲线方程求双曲线方程.Q4Moxy练习：已知双曲线渐近线是练习：已知双曲线渐近线是 ，并且双曲线过点，并且双曲线过点02 yx)5, 4(N求双曲

7、线方程求双曲线方程.NQ练习题：练习题：的双曲线方程。的双曲线方程。且过点且过点有相同渐近线，有相同渐近线，求与求与)3, 4(14. 222Myx 的的双双曲曲线线方方程程。且且焦焦点点为为有有相相同同渐渐近近线线，求求与与)0 ,5(14. 322 yx方程。方程。的焦点为顶点的双曲线的焦点为顶点的双曲线，且以椭圆，且以椭圆求渐近线为求渐近线为1521y. 422 yxx1.求下列双曲线的渐近线方程：求下列双曲线的渐近线方程： 328).122 yx819).222 yx4).322 yx12549).422 yx5.双曲线双曲线 的两条渐近线互相垂直的两条渐近线互相垂直,那么该双曲线的离

8、心率是那么该双曲线的离心率是( )A. 2 B. C. D. 12222 byax3223226.,10(3, 1),.xyPP 已已知知双双曲曲线线关关于于两两坐坐标标轴轴对对称称 且且与与圆圆相相交交于于点点若若此此圆圆过过点点 的的切切线线与与双双曲曲线线的的一一条条渐渐近近线线平平行行 求求此此双双曲曲线线的的方方程程22918080 xyC32.,4.yx 如如果果双双曲曲线线的的渐渐近近线线方方程程是是求求双双曲曲线线的的离离心心率率5543ee或或与离心率有关的运算与离心率有关的运算1.双曲线的虚轴长双曲线的虚轴长,实轴长实轴长,焦距成等差数列焦距成等差数列, 则双曲线的离心率则

9、双曲线的离心率e = _. 22223,1,1(0)(1)_xyaaaa 设设则则双双曲曲线线的的离离心心率率的的取取值值范范围围是是54( 2, 5)直线与双曲线的位置关系直线与双曲线的位置关系xyo相交相交两个公共点两个公共点相切相切 一个公共点一个公共点相离相离无公共点无公共点22221xyabykxm 方程方程0方程方程=0方程方程0=0无无222.(0,3),1,43A.1B.2C.3D.4lxyl 例例过过点点作作直直线线如如果果它它与与双双曲曲线线只只有有一一个个公公共共点点 则则直直线线 的的条条数数是是( () )Dxyo223.,143,33.(,)2233.(,)(,)2

10、233.,2233.(,)22xyllkABCD 例例过过原原点点作作直直线线如如果果它它与与双双曲曲线线相相交交 则则直直线线 的的斜斜率率 的的范范围围是是( () ) Axyo22.,143,33.(,)2233.(,)(,)2233.,2233.(,)22xyllkABCD 练练习习过过原原点点作作直直线线 如如果果它它与与双双曲曲线线相相交交 则则直直线线 的的斜斜率率 的的范范围围是是()() Boxyxy224.416ykxxy 例例 直直线线与与双双曲曲线线不不可可能能( () ) BA.相交相交 B. 只有一个交点只有一个交点 C. 相离相离 D. 有两个公共点有两个公共点x

11、yo例例5. 过双曲线过双曲线 的右焦点的右焦点F, 做直做直线线l与双曲线的两支都相交与双曲线的两支都相交, 则直线则直线l的倾斜的倾斜角角的取值范围是的取值范围是_1322 yxxyoF20,)33 （， ）例例6.已知直线已知直线 y=kx-1 与双曲线与双曲线 4x2-9y2=36 求下列情况下实数求下列情况下实数k的取值范围的取值范围.522 225(,) (, ) ( ,)333 33 3k (2)没有公共没有公共点点;5533kk 或或(1)有两个不同公共点有两个不同公共点;(3)只有一个公共点只有一个公共点;2533kk 或或(4)与右支有两个公共点与右支有两个公共点;2533

12、k 例例6.已知直线已知直线 y=kx-1 与双曲线与双曲线 4x2-9y2=36 求下列情况下实数求下列情况下实数k的取值范围的取值范围.(5)与左支有两个公共点与左支有两个公共点;5233k (6)与两支各有一个公共点与两支各有一个公共点.2233k 练习练习:已知直线已知直线 y=kx-3 与双曲线与双曲线 x2-y2=4 求下列情况下求下列情况下k的取值范围的取值范围.1312kk 或或1313(,)122kk 且且131322kk 或或(2)有两个公共点有两个公共点;(3)没有公共点没有公共点;(1)有一个公共点有一个公共点;1312k 13112kk 或或(4)与右支有两个公共点与

13、右支有两个公共点;(5)与右支有一个公共点与右支有一个公共点.20,208 3303.xyxyxy例例求求渐渐近近线线方方程程为为且且截截直直线线所所得得的的弦弦长长为为的的双双曲曲线线方方程程2214xy题型题型2:弦长问题弦长问题练习练习.经过双曲线经过双曲线 的右焦点的右焦点F2作作倾斜角为倾斜角为30O的弦的弦AB. 求求 (1) |AB|的长的长;(2) F1AB的周长的周长(F1为双曲线的左焦点为双曲线的左焦点).2213yx xyoF1F2AB(1)|AB|=3;1(2)33 3.F ABL 求双曲线的焦点弦长应分求双曲线的焦点弦长应分两种情况两种情况:22;ABAFBF两两交交

14、点点分分别别在在左左右右两两支支上上, ,则则11.ABAFBF两两交交点点在在同同一一支支上上, ,则则例例1.点点P(8,1)平分双曲线平分双曲线 x2-4y2=4 的一条的一条弦弦, 求这条弦所在的直线方程求这条弦所在的直线方程.2x-y-15=0 题型题型3:中点弦问题中点弦问题2x2-y2-4x+y=02212122.1,(2,1)2.yxAlPPP PP例例 已已知知双双曲曲线线过过点点的的直直线线 与与所所给给双双曲曲线线交交于于两两点点 、, ,求求线线段段的的中中点点 的的轨轨迹迹方方程程例例. 已知曲线已知曲线C: x2-y2=1及直线及直线 l: y=kx-1, 若若l与

15、与C交于交于A, B两点两点, O是坐标原点是坐标原点, 且且OAB的面积为的面积为 , 求实数求实数k的值的值.2xyoAB题型题型5:面积问题面积问题62k 0 xyAB解：设解：设),(),(2211yxByxA以以AB 为直径的圆过原点为直径的圆过原点 , OAOB02121 yyxx即：即：把把 代入代入 化简得：化简得：1 axy1322 yx022)3(22 axxa由韦达定理得由韦达定理得22122132,32axxaaxx 0)3(8403222 aaa且且由由663aa 有有且且 1)()1)(1(212122121xxaxxaaxaxyy又：又：0121 xx从而从而01

16、322 a即：即：1 a解解得得：时时当当1 a，以，以AB 为直径的圆过原点为直径的圆过原点1题型题型6:圆过定点问题圆过定点问题例例.是否存在是否存在aR,使直线使直线y-ax-1=0与曲线与曲线3x2-y2=1相交相交于于A,B两点两点,使以使以AB为直径的圆过原点为直径的圆过原点?若存在若存在,求出求出a的值的值;若不存在若不存在,请说明理由请说明理由练习练习.直线直线m:y=kx+1和双曲线和双曲线x2-y2=1的左支的左支交于交于A,B两点两点,直线直线l过点过点P(-2,0)和直线和直线AB的的中点中点M,求直线求直线l在在y轴上的截距轴上的截距b的取值范围的取值范围.22221

17、(1):1(2)(1)220(3)ykxyxykxkx 解解 由由消消去去 得得1122(,),(,),(3)1,A xyB xy直直线线和和双双曲曲线线的的左左支支交交于于两两点点方方程程有有两两个个不不等等根根且且两两根根均均小小于于或或等等于于2221221221048(1)0201201kkkkxxkx xk 有有12000200222(,),21111.(,).111xxkABMxyxkkykxMkkk 设设的的中中点点的的坐坐标标为为则则12.k解解得得221.221(2).22lkkklyxkk 直直线线 的的方方程程为为22.22lybkk 直直线线 在在 轴轴上上的的截截距距为为22117( )222()(1, 2)48,22( )00( )1.g kkkkg kg k 在在上上为为减减函函数数或或222.bb 或或