极限：设{an}是给定的数列.doc

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1、跨越千年的智慧跨越千年的智慧微积分微积分PB08207212 姚翰良姚翰良庄子的南华经 ，里面有这样一句话：“百尺之杆，日截其半，万世不竭。 ”在高中初次读到这句话，心里不由一惊，毕竟是千年前的人物，居然能够参悟世界的奥秘，经历时间的冲刷依旧保持正确性，着实不易。在学习微积分的过程中，只有充分地了解概念和方法的使用，才能够在平时的运用中熟练应对并加以方法的创新。（1）五个概念的比较A.极限：设an是给定的数列。如果对任意给定的 0，存在n0N，只要 nn0，就有|an-a|0，存在 0，当|x-x0|0,存在 0，只要 x1,x2I，及|x1-x2|0,有0 只有分割|T|满足|T|0，存在

2、n0,只要 m,nn0,就有|an-am|0，存在lim 0xx)(xf0，当 0|x-x0|,|x-x0| 时，有|f(x)-f(x)| .总结：在数列方面的判则可以作为极限判则的“子集” ，同时有=l 的充要条件是：任意的一个以 x0 为极限的数列其极限也lim 0xx)(xf为 l。数列形式的判则在求趋向无穷的时候尤为重要，只要说明在自变量大于某个值的时候，任意两个数小于 ，适用于条件较少的题目。典例：学习辅导 page26 例 30(2)(3)例 31.微积分指导 page12.例1.1.12 和 1.1.13(常用在反证法)（3）Langrange 中值定理与柯西中值定理的比较：La

3、ngrange 中值定理：设 y=f(x)在a,b上连续，在（a,b）上可微，则必有 （a,b）使 f(b)- f(a) =f()(b-a)。柯西中值定理：设 f(x)和 g(x)在a,b上连续，在（a,b）上可微，对任意一点 x（a,b） ，g(x) 0，则必有 （a,b） ，使。)()( )()()()( gf bgagbfaf积分中值：设 f(x)在a,b上连续，则必有 （a,b） ，使.ababff)( 总结：两者一般用于证明恒等式，而也可以用积分的形式作类似的表示。有时也会遇到在 g(x)为特殊值的简化abxbafab)()()(如：x)但一般为较复杂的形式。典例主要参见学习辅导和微

4、积分指导，在平时的用法中常常配合罗尔定理一起使用，比如学习指导page75 例 5，并且在这一部分要加强函数建模的能力，题型要求一般为证明存在满足某式子的函数，而该函数往往是两个简单函数相乘得到积的导数(比如:凑成 xf(x)的导数，并利用这个辅函数帮助解题)（3）换元法和分部积分在不定积分和定积分中的比较：不定积分：换元积分：设 F（x）是 f(u)的原函数，u=(x)可微，则.cxFdxxxf)()()(第二换元积分:设 f(x)在区间 I 上有定义，x=(t)在区间 J 上可微，(t)x=(t)把 J 映成，0若在 J 上 f(t) (t)有原函数 F（t） ，则 f(x)在 I 上有原

5、函数F（-1（x） ） 。即.cxFctFdtttfdxxf)()()( )()(1分部积分:设 u(x)和 v(x)都可微，u(x)v(x)有原函数，则 u(x)v(x)也有原函数，并有。dxxvxuxvxudxxvxu)()( )()()( )(定积分：定理 1：设 f(x)在c,d上连续，a,bc,d.如果 x=(t)在,上有连续导数，（）=a, ()=b,且当 t,时，(t) c,d,则。badtttff)()(定理 2：设 u(x)和 v(x)在a,b上有一阶连续导数，则有.baabvuabuvuv总结：这是微积分解题的工具，必须熟练的运用。同时在变上限的积分中复合函数的积分尤为重要

6、，微积分指导 page132.例4.2.2，4.2.3.page5(3)(4).1(2)（4） ；两个 Newton-Leibniz 公式Newton-Leibniz 公式：设 f(x)在a,b可积并有原函数 (x)，则.abxbafab)()()(Newton-Leibniz 公式：设 f(x)在a,b上连续，(x)是 f(x)在的任一个原函数，则有(a).axtaxfxa)()()(bt 总结：二者分别是定积分与变上限积分的形式。典例：(1)微积分指导 page123.例 4.1.4，学习辅导 page131 例 1. (1)(但是更多时候我们并不将其作为题型分列，而是在平时解题中作为基本

7、的用法).其另外一种应用是化无穷数列式为定积分的形式，微积分指导 page123.4.1.5，page128.5 微积分学习辅导 page131.例 1(3)，学习辅导 page144，例 2.普遍做法是将出现的趋向于无穷大的 n 以分母的形式分出后再在余式中以分母的形式表示出来。(2) 微积分指导 page133。1，3，5。学习辅导 page144 例 1(1)(3)(4)(5)(6)，page145 例 3(1)(3)在定积分中有时还会将其通过“常数变量化”的方法加以简化（但是这部分题目比较少）学习辅导 page148149 例 4(1)(4)(5)经过这番总结，我对微积分的概念有了宏观

8、上的认识，在知识点的理解上也建立了纵向的思维结构。似乎从微积分的发展历史来看待当今大学生学习微积分较为吃力已经找到比较合理的解释（很惭愧，我也并不能轻松地应对） 。因为数学的缘故曾今一度想转文科，但从如今的角度来看微积分确实是生活的基本思维之一。记得在汉书武帝本纪里面，有关于汉武帝实行推恩令的历史记载，说是汉武帝为了削弱诸侯王的实力，让他们仍旧世代占有自己的封地，但各自的孩子就把封地按照孩子的个数平均继承，然后他们孩子的孩子再分别平均继承他们孩子手里拿一块封地子子孙孙无穷匮，然后就导致他们的封地越来越小，权力越来越分散。在赞叹武帝智慧的同时，也欣赏了微积分学说的精妙之舞。（很抱歉在考完微积分的第二天才交，而且相关的例题没有一一打出，但由于字数实在太多，加上一些从来没接触过的数学符号，打起来时间花得比较多。 ）