高中数学常用的数学思想分类讨论思想方法.doc

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1、高中数学常用的数学思想分类讨论思想方法 在解答某些数学问题时，有时会遇到多种情况，需要对各种情况加以分类，并逐类求 解，然后综合得解，这就是分类讨论法。分类讨论是一种逻辑方法，是一种重要的数学思 想，同时也是一种重要的解题策略，它体现了化整为零、积零为整的思想与归类整理的方 法。有关分类讨论思想的数学问题具有明显的逻辑性、综合性、探索性，能训练人的思维 条理性和概括性，所以在高考试题中占有重要的位置。 引起分类讨论的原因主要是以下几个方面： 问题所涉及到的数学概念是分类进行定义的。如|a|的定义分 a0、a0、a2 时分 a0、a0 和 a0 且 a1，ploga(a3a1)，qloga(a2

2、a1)，则 p、q 的大小关系是_。 A. pq B. pq D.当 a1 时，pq；当 00、a0、a1、00、x0 且 a1，比较|loga(1x)|与|loga(1x)|的大小。【分析】 比较对数大小，运用对数函数的单调性，而单调性与底数 a 有关，所以对底 数 a 分两类情况进行讨论。 【解】 01 当 00，loga(1x)0; 当 a1 时，loga(1x)0，所以|loga(1x)|loga(1x)|loga(1x) loga(1x)loga(1x2)0；由、可知，|loga(1x)|loga(1x)|。【注】本题要求对对数函数 ylogax 的单调性的两种情况十分熟悉，即当 a

3、1 时其是增函数，当 00，使得lg()lg()ScScnn2 2lg（Sn1c）成立？并证明结论。(95 年全国理)【分析】 要证的不等式和讨论的等式可以进行等价变形；再应用比较法而求解。其中 在应用等比数列前 n 项和的公式时，由于公式的要求，分 q1 和 q1 两种情况。【解】 设an的公比 q，则 a10，q0 当 q1 时，Snna1，从而 SnSn2Sn12na 1(n2)a1(n1)2a 12a 120, 使得lg()lg()ScScnn2 2lg（Sn1c）成立。【注】 本例由所用公式的适用范围而导致分类讨论。该题文科考生改问题为：证明 loglog.0 50 52 2SSnn

4、log0 5 .Sn1 ，和理科第一问类似，只是所利用的是底数是 0.5 时，对数函数为单调递减。 例 1、例 2、例 3 属于涉及到数学概念、定理、公式、运算性质、法则等是分类讨论的 问题或者分类给出的，我们解决时按要求进行分类，即题型为概念、性质型。例 4. 设函数 f(x)ax22x2，对于满足 10，求实数 a的取值范围。 【分析】 含参数的一元二次函数在有界区间上的最大 值、最小值等值域问题，需要先对开口方向讨论，再对其 抛物线对称轴的位置与闭区间的关系进行分类讨论，最后 综合得解。【解】当 a0 时，f(x)a（x1 a）221 a 111220a fa( ) 或1141210af

5、aa( )或14416820a fa( ) a1 或1 21 2；当 a1 2。【注】本题分两级讨论，先对决定开口方向的二次项系数 a 分 a0、a0 时将对称轴与闭区间的关系分三种，即在闭 区间左边、右边、中间。本题的解答，关键是分析符合条件的二次函数的图像，也可以看 成是“数形结合法”的运用。例 5. 解不等式()()xa xa a 46 210 (a 为常数，a1 2)【分析】 含参数的不等式，参数 a 决定了 2a1 的符号和两根4a、6a 的大小，故对参数 a 分四种情况 a0、a0、1 20 时，a1 2； 4a0 。 所以分以下四种情况讨论：1 4 x1 4 x当 a0 时，(x

6、4a)(x6a)0，解得：x6a；当 a0 时，x20，解得：x0；当1 20，解得: x4a；当 a1 2时，(x4a)(x6a)0 时，x6a；当 a0 时，x0；当1 24a；当 a1 2时，6a0)， y22ya 解得：y11 a （0a1）由上可得，z(11 a)或(11 a)【注】本题用标准解法（设 zxy再代入原式得到一个方程组，再解方程组）过程 十分繁难，而挖掘隐含，对 z 分两类讨论则简化了数学问题。【另解】 设 zxy，代入得 x2y22xy222xya； xyxyaxy2222220 当 y0 时，x22|x|a，解得 x(11 a)，所以 z(11 a)；当 x0 时，

7、y22|y|a，解得 y(11 a)，所以(11 a)。由上可得，z(11 a)或(11 a)【注】此题属于复数问题的标准解法，即设代数形式求解。其中抓住 2xy0 而分 x0 和 y0 两种情况进行讨论求解。实际上，每种情况中绝对值方程的求解，也渗透了 分类讨论思想。例 7. 在 xoy 平面上给定曲线 y22x，设点 A(a,0)，aR，曲线上的点到点 A 的距离的最小值为 f(a)，求 f(a)的函数表达式。 （本题难度 0.40） 【分析】 求两点间距离的最小值问题，先用公式建立目标函数，转化为二次函数在约 束条件 x0 下的最小值问题，而引起对参数 a 的取值讨论。【解】 设 M(x

8、,y)为曲线 y22x 上任意一点，则|MA|2(xa)2y2(xa)22xx22(a1)xa2x(a1)2(2a1)由于 y22x 限定 x0，所以分以下情况讨论：当 a10 时，xa1 取最小值，即|MA2 min2a1；当 a1loga(x2a) (a0 且 a1)11.设首项为 1，公比为 q (q0)的等比数列的前 n 项和为 Sn，又设 TnS Snn1，求lim nTn 。12. 若复数 z、z2、z3在复平面上所对应三点 A、B、C 组成直角三角形，且|z|2， 求 z 。 13. 有卡片 9 张，将 0、1、2、8 这 9 个数字分别写在每张卡片上。现从中任取 3 张排成三位数，若 6 可以当作 9 用，问可组成多少个不同的三位数。14. 函数 f(x)(|m|1)x22(m1)x1 的图像与 x 轴只有一个公共点，求参数 m的值及交点坐标。