温州中学数学班招生数学试卷.doc

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1、()温州中学温州中学 20062006 年自主招生考试数学试卷年自主招生考试数学试卷说明说明: 1、 本卷满分本卷满分 150 分分;考试时间：考试时间：110 分钟分钟. 2、 请在答卷纸上答题请在答卷纸上答题. 3、 考试结束后考试结束后,请将试卷、答卷纸、草稿纸一起上交请将试卷、答卷纸、草稿纸一起上交. 一、选择题一、选择题（每小题 6 分，共计 36 分）1、方程实根的个数为（ ）2560xxA、1 B、2 C、3 D、42、如图 1，在以为圆心的两个同心圆中，为大圆上任意一点，过OA 作小圆的割线，若，则图中圆环的面积AAXY4AX AY 为（ ）A、 B、 C、 D、16842图

2、3、已知且，那么，的大小关系是（ 0m n1101mnnm nm1 n1nm）A、 B、11mnnnm11mnnmnC、 D、11nmnmn11mnnmn4、设是不等于零的有理数，是无理数，则下列四个数，1,2,3,4p p p p1,2,3,4q q q q22 11pq，中必为无理数的有（ ）2 22pq333pqq444ppqA、0 个 B、1 个 C、2 个 D、3 个5、甲，乙，丙，丁，戊与小强六位同学参加乒乓球比赛，每两人都要比赛一场，到现在为止， 甲已经赛了场，乙已经赛了场，丙已经赛了场，丁已经赛了场，戊已经赛了场，小强 已经赛了（ ） A、场 B、场 C、场 D、场6、将自然数

3、 1 至 6 分别写在一个正方体的 6 个面上,然后把任意相邻两个面上的数之和写在这两 个面的公共棱上则在这个正方体中所有棱上不同数的个数的最小值和最大值分别 是（ ） A、7，9 B、6，9 C、7，10 D、6，10XOAY()二、填空题：（共二、填空题：（共 6 6 小题，每题小题，每题 6 6 分，共分，共 3636 分）分）7、设，为函数图象上的两点，且，则实数11,A x y22,B xy21kyx120xx12yy的取值范围是 k8、已知是一个三位数，且，则 abc567bcacababc 9、已知，则实数的取值范围是 12344xxxxx10、如图 2，O 外接于边长为 2 的

4、正方形，为弧 ADABCDP上一点，且，则 1AP PAPC PB图11、如图 3 所示，有一电路连着三个开关，每个开关闭合的可能性均为，若不考虑元件的故障因素，则电灯点亮的可能性为 1 2图12、如图 4 所示，已知中，Rt ABC90B3AB ，分别是三边上的点，则4BC ,D E F,AB BC CA的最小值为 DEEFFD图K K2 2K K3 3L LK K1 1BCADFEDCBAP()三、解答题（共三、解答题（共 5 题，共题，共 78 分）分） 13、 （本题满分（本题满分 15 分分,共共 2 小题）小题）已知四个互不相等的实数，其中，.1x2x3x4x12xx34xx 请列

5、举，从小到大排列的所有可能情况.1x2x3x4x已知为实数，函数与轴交于，两点，函数a24yxxax1,0x2,0x与轴交于，两点.若这四个交点从左到右依次标为,且，24yxaxx3,0x4,0xA BCDABBCCD求的值.a14、 （本题满分（本题满分 15 分分,共共 2 小题）小题）如图 5 所示，,梯形的面积是 180， 是的中点，是边上的点,且/ADBCABCDEABFBC,分别交于设,是整数. /AFCDAF,ED BD,G HBCmADm 若，求的面积. 2m GHD 若的面积为整数，求的值.GHDm图 5 15、 （本题满分（本题满分 15 分分, 共共 2 小题）小题） 个

6、数围成一圈，每次操作把其中某一个数换成这个数依次加上相邻的两个数后所得的和，n 或者换成这个数依次减去与它相邻的两个数后所得的差.例如： 能否通过若干次操作完成图 6-1 中的变换？请说明理由.94543522113 3+ +2 2+ +4 4= =9 9- -34543522113 3- -2 2- -4 4= =- -3 3- -2 20 00 07 71 10 00 03 32 20 00 06 60 00 01 1HGECFDBA()图 6-1 能否通过若干次操作完成图 6-2 中的变换？ 请说明理由.图 6-2 能否通过若干次操作完成图 6-3 中的变换？ 请说明理由.图 6-3 1

7、6、 （本题满分（本题满分 15 分）分）如图所示，在中，已知是边上的点，为的外接圆圆心，的外ABCDBCOABDACD 接圆与的外接圆相交于，两点.求证：.AOBAEOEEC0 02 20 06 62 26 66 62 20 06 62 20 00 06 65794353211EOABCD()图 7 17、 （本题满分（本题满分 18 分分,共共 3 小题）小题）已知方程.3212 352 350mnmnxxx 若，求方程的根.0nm 找出一组正整数，,使得方程的三个根均为整数.nm 证明:只有一组正整数，,使得方程的三个根均为整数.nm2006 年温州中学自主招生考试数学答卷纸年温州中学自

8、主招生考试数学答卷纸 三三题号题号一一二二13141516总分总分得分得分评卷人评卷人一、一、选择题选择题（每小题 6 分，共计 36 分）题号123456答案二、二、填空题填空题（每小题 6 分，共 36 分）7、 8、 9、 10、 11、 12、 三、解答题（共三、解答题（共 5 题，共题，共 78 分）分） 13、 （本题满分（本题满分 15 分分,共共 2 小题）小题）()14、 （本题满分（本题满分 15 分分,共共 2 小题）小题）15、 （本题满分（本题满分 18 分分, 共共 3 小题）小题）HGECFDBA()16、 （本题满分（本题满分 15 分）分）17、 （本题满分（

9、本题满分 15 分分,共共 3 小题）小题）EOABCD()()2006 年温州中学自主招生考试数学答卷纸答案年温州中学自主招生考试数学答卷纸答案 一、一、选择题选择题（每小题 6 分，共计 36 分）题号123456答案BCDBCA二、二、填空题填空题（每小题 6 分，共 36 分）7、 8、 432 11x 9、 10、 23x211、 12、 3 824 5 三、解答题（共三、解答题（共 5 题，共题，共 78 分）分） 13、 （本题满分（本题满分 15 分分,共共 2 小题）小题）已知四个互不相等的实数，其中，.1x2x3x4x12xx34xx 请列举，从小到大排列的所有可能情况.1

10、x2x3x4x已知为实数，函数与轴交于，两点，函数a24yxxax1,0x2,0x与轴交于，两点.若这四个交点从左到右依次标为,且，24yxaxx3,0x4,0xA BCDABBCCD求的值.a解：，1234xxxx1324xxxx1342xxxx3412xxxx,（6 分）3142xxxx3124xxxx上述 6 种情况中第 3，6 种情况不可能出现。否则，两个函数的对称轴相同，则，从而4a ，这与题意不符。（9 分）13xx24xx()在其他 4 种情况中，都有（12 分）2143xxxx因此有，即（舍去） ，216416aa04a 或经检验满足题意（15 分）0a 14、 （本题满分（本

11、题满分 15 分分,共共 2 小题）小题）如图 5 所示，,梯形的面积是 180， 是的中点，是边上的点,且/ADBCABCDEABFBC,分别交于设,是整数. /AFCDAF,ED BD,G HBCmADm 若，求的面积. 2m GHD 若的面积为整数，求的值.GHDm 解：，/AFCD，AFCD四边形为平行四边形1 2FCADBC，是的中点，为中点，又 是FBCHBDE 的中点，故为 图 5ABG的重心，因此（3 分） ABD1 2GHAG所以有,（6 分）1603ABDABCDSS1302AHDABDSS1103GHDAHDSS 作交于，则./BKAFEDKKEBGEA （9 分）1GH

12、GHHDFCAD AGKBBDBCBCm1180 11ABDABCDSSmm1180 1AHDABDSSmm m（12 分）21180 11GHDAHDSSmm m即为整数，所以，因为,所以2，3 或 621801m m21180m221802351m 经验证，3 或 6，即2 或 5. （15 分）1m m KHG ECFDBA()15、 （本题满分（本题满分 15 分分, 共共 2 小题）小题） 个数围成一圈，每次操作把其中某一个数换成这个数依次加上相邻的两个数后所得的和，n 或者换成这个数依次减去与它相邻的两个数后所得的差.例如： 能否通过若干次操作完成图 6-1 中的变换？请说明理由.

13、图 6-1 能否通过若干次操作完成图 6-2 中的变换？ 请说明理由.94543522113 3+ +2 2+ +4 4= =9 9- -34543522113 3- -2 2- -4 4= =- -3 3- -2 20 00 07 71 10 00 03 32 20 00 06 60 00 01 10 02 20 06 62 26 66 62 20 06 62 20 00 06 6()图 6-2 能否通过若干次操作完成图 6-3 中的变换？ 请说明理由.图 6-3解：(6 分)不能.,因此不管如何操作,变换后的 4 个数仍然除 4 余 2.不62620620062 mod4可能出现 0. (

14、12 分) 不能如果个奇数个偶数的圈能变出个奇数，由于这个操作的过程是可逆的，则个奇 数的圈通过有限次操作后能变成个奇数个偶数但不管如何操作，个奇数的圈变换后仍然 是个奇数故要求的变换不能实现(18 分)1 11 1 0 00 00 01 11 12 2 0 01 11 10 00 02 2 0 01 10 00 02 21 10 00 03 31 11 10 00 02 21 10 00 03 32 20 00 06 6- -2 20 00 07 71 10 00 03 32 20 00 06 65794353211()16、 （本题满分（本题满分 15 分）分）如图所示，在中，已知是边上的

15、点，为的外接圆圆心，的外ABCDBCOABDACD 接圆与的外接圆相交于，两点.求证：.AOBAEOEEC图 7证明：如图，在上取点，连接，AABFAFBFAOBOADAEBE则因为，共圆，共圆，ADBFADEC因此(6 分)1 2AECADCFAOB EOABCDF()因为，所以，所以(12 分)AOBOAAAOBO1 2AEOBEOAEB 所以1()22CEOAECAEOAOBAEB 所以(15 分)OEEC17、 （本题满分（本题满分 18 分分,共共 3 小题）小题）已知方程.3212 352 350mnmnxxx 若，求方程的根.0nm 找出一组正整数，,使得方程的三个根均为整数.n

16、m 证明:只有一组正整数，,使得方程的三个根均为整数.nm解：若，则方程化为，即.0nm323310xxx 310x所以（分）1231xxx方程化为（分）212 350mnxxx 设方程的两个解为22 350mnxx 12,.x x则1,22 34 94 53952mmn mmnx 当时，方程的三个根均为整数.（分）1mn设（其中为整数）295mnkk所以，即，295mnk335mmnkk不妨设（其中， ，为非负整数） ，因此3535mimjkkijnij2 35 51mij i又因为 5 不能整除，所以，因此有（12 分）2 3mA0i 2 351mn()若，有； 1m 1n 当时，又，2m 9 51n55 mod9，257 mod9358 mod9454 mod9552 mod9651 mod9755 mod9因此，设（为自然数） 3 mod6n 63nrr则 216332151511251rrr 又，所以1251 mod126 21251 mod12631251 mod126 ，所以，又因为，所以211251 mod126k 21126 1251k1267 18217 1251k而 7 不能整除，所以2 3mA2 351mn故要使三根均为整数，则，此时， （15 分）0mn121xx35x