巧妙建模多题归一.ppt

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1、两点之间线段最短的应用两点之间线段最短的应用 古罗马有一位将军，他每天都要从营地古罗马有一位将军，他每天都要从营地A A出发，到河边给马饮水，再到河岸同侧的指出发，到河边给马饮水，再到河岸同侧的指挥所挥所B B处开会。他经常想一个问题：应该沿怎处开会。他经常想一个问题：应该沿怎样的路线行走才能使路程最短？请你帮他想样的路线行走才能使路程最短？请你帮他想一想，并画出最短的路线。一想，并画出最短的路线。BAC CP PBA地位分析地位分析 上题要用到的基本知识是上题要用到的基本知识是两点之间线段最短两点之间线段最短，这是数学的基本公理，可谓人尽皆知，但一旦要运这是数学的基本公理，可谓人尽皆知，但一

2、旦要运用它来解题，学生往往一脸茫然，不知从何做起。用它来解题，学生往往一脸茫然，不知从何做起。上题其实体现了数学上题其实体现了数学建模思想建模思想，本质上是要培养学，本质上是要培养学生灵活运用数学知识解决实际问题的能力生灵活运用数学知识解决实际问题的能力 。变式变式1 1 背景为直角坐标系背景为直角坐标系一束光线从一束光线从y轴上的点轴上的点A（0，2）出发，经过）出发，经过x轴上点轴上点C反射后经过点反射后经过点B（6，6），则光），则光线从点线从点A 到点到点B所经过的路程是（所经过的路程是（ ） A.10 B.8 C.6 D.4AABA,DC变式变式2例例:(08:(08黄岩黄岩) )如

3、图如图, ,已知在等腰已知在等腰ABC ABC 中中, , ABC=120ABC=1200 0,P,P是底边是底边ACAC上的一个动点上的一个动点, M, M、N N分分别是别是ABAB、BCBC的中点的中点, ,若若PM+PNPM+PN的最小值为的最小值为2 2， 求求 ABCABC的周长的周长. .MPBACMN背景为等腰三角形背景为等腰三角形2.正方形正方形ABCD的周长为的周长为8,点点E是线段是线段AB的中的中点点,点点P是对角线是对角线AC上的一个动点上的一个动点,求求PE+PB的最小值。的最小值。ABPCEDP变式变式3 3 背景为正方形背景为正方形3.如图，点如图，点P是边长为

4、是边长为1的菱形的菱形ABCD对角线对角线AC上一个动点，上一个动点，M、N分别是分别是AB，BC边上边上的中点，的中点，PM+PN的最小值是的最小值是( ) AMBPNDCPM,变式变式4 4 背景为菱形背景为菱形4.在梯形在梯形ABCD中，中，ADBC，AB=CD=AD=1，B=60，直线，直线MN为为梯形梯形ABCD的对称轴，的对称轴，P 为为MN上一点，上一点，那么那么PC+PD的最小值为的最小值为 多少？多少？ AMPNBCD说明：此题即求说明：此题即求AC的长。的长。P变式变式5 5 背景为等腰梯形背景为等腰梯形5.如图，如图，AB是是 O的直径，的直径，OC是是 O的半径，的半径

5、，OCAB，OC=1，点，点D在圆上，在圆上，AD=2DC，点点P是半径是半径OC上的一个动点，那么上的一个动点，那么AP+PD的最小值是的最小值是( ) A AP PB BO OD DC CP变式变式6 6 背景为圆背景为圆xy3 6 2-2-3yx在反比例函数在反比例函数 上有两点上有两点A(3,2),B(6,1)A(3,2),B(6,1)，在直线在直线 y= -x y= -x 上有动点上有动点P,P,那么当那么当PA+PBPA+PB最小时最小时，求，求P P点的坐标点的坐标. .ABAP变式变式7y=x6背景为双曲线背景为双曲线P 例例:(09:(09衢州衢州) )如图已知点如图已知点A

6、 A（-4-4，8)8)和和点点B B（2 2，n n）在抛物线）在抛物线y=axy=ax2 2上上. .（1 1）求）求a a的值及点的值及点B B关于关于X X轴对称点轴对称点P P的坐标的坐标, ,并在并在X X轴上找一点轴上找一点Q Q，使得，使得+ +最短，最短，求点的坐标；求点的坐标；Y 8642x. . . . . . . . . . -4 -2 0 2 4.AB. .变式五变式五背景为抛物线背景为抛物线Y 8642. . . . . .A(2)(2)平移抛物线平移抛物线y=axy=ax2 2，记平移后点的对应点，记平移后点的对应点为为,点的对应点为点的对应点为，点，点(-2,0

7、)(-2,0)和点和点(-4,0)(-4,0)是是x x轴上的两个定点当抛物线向左平轴上的两个定点当抛物线向左平移到某个位置时，移到某个位置时，最短，最短， 求求此时抛物线的函数解析式；此时抛物线的函数解析式；x. . . . .-4 -2 0 2 4.B.A变式六变式六例例:(08:(08成都成都) )如图如图, ,已知点已知点A A是锐角是锐角MONMON内的一点内的一点, ,试分别在试分别在OM,ONOM,ON上确定点上确定点B B、点、点C C，使，使ABCABC的周长最小，写出你作图的的周长最小，写出你作图的主要步骤并标明你所确定的点主要步骤并标明你所确定的点 ( (要求画要求画出草

8、图出草图, ,保留作图痕迹保留作图痕迹) ).MONAAABC逆向应用逆向应用在平面直角坐标系中，有在平面直角坐标系中，有A（3，-2），），B（4，2）两点，现另取一点两点，现另取一点C（1，n），当），当n等于多少等于多少时，时，AC+BC的值最小。的值最小。ABCB,综合提升综合提升1如图，在直角坐标系中，有四个点如图，在直角坐标系中，有四个点A A（-8-8，3 3），），B B（-4-4，5 5），），C C（0,n0,n），），D D（0,m0,m），），当四边形当四边形ABCDABCD的周长最短时的值的周长最短时的值为为 . .说明：此题可转化为求何时说明：此题可转化为求何时BC

9、+DC+AD最小最小.即当点即当点A关关于于x轴对称点轴对称点A， ，B关于关于y轴轴的对称点的对称点B，与，与D，C在在 同同一直线上时。一直线上时。OADCByxCDB,A，综合提升综合提升2链接中考链接中考（2008年恩施自治州年恩施自治州 ）如图）如图,C为线段为线段BD上一动上一动点点,分别过点分别过点B、D作作ABBD,EDBD,连接连接AC、EC.已知已知AB=5,DE=1,BD=8,设设CD=x.(1)用含用含x的代数式表示的代数式表示ACCE的长；的长；(2)请问点请问点C满足什么条件时满足什么条件时,ACCE的值最小的值最小? EDCBAEx8-x51C(3)根据根据(2)

10、中的规律和结论中的规律和结论,请构图求出代数式请构图求出代数式 的最小值的最小值.9)12(422xxEDCBAEx12-x32链接中考链接中考链接竞赛链接竞赛求代数式求代数式 的最小值。的最小值。1342222xxxx9) 2(1) 1(22xx说明：说明：转化为转化为 即可即可EDCBAE2-xX+113F 1、引导学生找到对称轴和三个点，三点在、引导学生找到对称轴和三个点，三点在同一直线上时就是最短路线。同一直线上时就是最短路线。 2、以上求最短路线的问题都要求学生能把、以上求最短路线的问题都要求学生能把不同的问题抽象为同一类型，即构建数学不同的问题抽象为同一类型，即构建数学模型。模型。 3、在教学中不但要培养学生一题多解的能、在教学中不但要培养学生一题多解的能力，还应积极培养学生多题归一的能力。力，还应积极培养学生多题归一的能力。