抛物线及其标准方程.ppt

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1、2.3.1 抛物线及其标准方程 徐军一、引入概念1、我们先看以下两个熟悉的例题（1）点M（x,y）与定点F（4，0）的距离和它到定直线l:x=25/4的距离之比是4/5，求点M的轨迹。（2）点M（x,y）与定点F（5，0）的距离和它到定直线l:x=16/5的距离之比是5/4，求点M的轨迹。问题1：你能说出这两个轨迹以及这两题的异同点吗？相同点：都是求“平面内到一定点F的距离和一条定直线l的距离之比是常数的点的轨迹”不同点：前者常数小于1，后者大于1问题2：如果这个常数等于1，点的轨迹存在吗？如果存在，又是什么图形呢？二、探求概念1、问题即：求“平面内到一定点F的距离和一条定直线l的距离相等的点

2、的轨迹” 引例：点M（x,y）与定点F（0，-1）的距离和它到定直线l:y=1的距离相等，求点M的轨迹。求出本题的方程：这说明这种点的轨迹是存在的，会是什么图形呢？请看数学实验.gsp，240 xy2、抛物线的定义 我们把平面内与一个定点F和一条定直线l 的距离相等的点的轨迹叫做抛物线 定点F:抛物线的焦点 定直线l:抛物线的准线 （练习.shs） 注：如果定点F在定直线l上，所求 的轨迹是过定点F垂直于直线l的一条直线lFKMNlFKMNlFKMNxxyyooy 2= 2p(x )P2y 2= 2p(x+ )P2问题：选择哪一种方程作为抛物线的标准方程？问题：选择哪一种方程作为抛物线的标准方

3、程？方案一方案一方案二方案二方案三解：取过点解：取过点F且垂直于直线垂直于直线l的直线为的直线为x轴，轴，垂足为垂足为K,以以KF的中垂线为的中垂线为y轴，建立直轴，建立直角坐标系，如图。设角坐标系，如图。设lFKMNyxo,0,22(0),():ppKFp pFl x则焦点。准线( , )M x y设是抛物线上的任意一点，则抛物线就是点的集合,PM MFd从而有22pyx2p（ x-）2上式两边平方并化简得：22(0)px pyp的几何意义焦点到准线的距离lFKMNxyo22(0)pxpy图形图形标准方程焦点坐标准线方程 xyolFxyolFxyolFxyolFy2=2px(p0)x2=2p

4、y(p0)x2=2py(p0)y2=2px(p0)P2( ,0)P2x =P2( , 0)P2x =P2(0, )P2y =P2(0, )P2y =21.6 ,yx例 已知抛物线的标准方程为求它的焦点坐标和准线方程。.3解：因为p=3,所以抛物线的焦点坐标是（ ，0），23准线方程是x=-2三、应用概念练习：求下列抛物线的焦点坐标和准线方程练习：求下列抛物线的焦点坐标和准线方程（1）y 2 = 20 x（2） x 2 = y12（4）（3） 2 y 2 +5x=0焦点焦点F ( 5 , 0 ) 准线：准线：x =518焦点焦点F ( 0 , ) 准线：准线：y = 18求抛物线的焦点时一定要先

5、把抛求抛物线的焦点时一定要先把抛物线化为标准形式；物线化为标准形式；本题小结本题小结:先定位先定位，后定量。后定量。焦点焦点508F，准线准线58x 214yx焦点F（0，1） 准线：y=-1解：解：二次函数二次函数 y = ax2 化为：化为：x2= y ，表示抛物线表示抛物线1a其中2p=1 a4a1焦点坐标是（0 ， ），准线方程是： y=4a1当当a0时时, ,抛物线的开口向上抛物线的开口向上p2=14a思考：思考：试讨论试讨论抛物线抛物线y = ax2 的的开口方向、焦点开口方向、焦点坐标和准线方程。坐标和准线方程。四、课堂小结 我们把平面内与我们把平面内与一个定点一个定点F和一条定

6、直和一条定直线线l l（l l不经过不经过F点）距点）距离相等的点的轨迹叫离相等的点的轨迹叫做做抛物线抛物线。点。点F叫做抛叫做抛物线的物线的焦点焦点。直线。直线l l叫叫做抛物线的做抛物线的准线准线。抛物线的定义抛物线的定义MFMH （1）“一动三定一动三定”；（2）定点）定点F不在定直线不在定直线L上，上， 否则点的轨迹是过否则点的轨迹是过F点点 垂直于垂直于L的直线。的直线。注： 平面内与一个定点平面内与一个定点F的距离和一条定直线的距离和一条定直线l的距的距离的比是常数离的比是常数e的轨迹，的轨迹，当当0e1时是椭圆，当时是椭圆，当e1时是双曲线，时是双曲线，当当e=1时是抛物线。时是

7、抛物线。2、抛物线的、抛物线的四、课堂小结p的几何意义焦点到准线的距离lFKMNxyo22(0)pxpy3、抛物线的标准方程的、抛物线的标准方程的2、抛物线的、抛物线的四、课堂小结图形图形标准方程焦点坐标准线方程 xyolFxyolFxyolFxyolFy2=2px(p0)x2=2py(p0)x2=2py(p0)y2=2px(p0)P2( ,0)P2x =P2( , 0)P2x =P2(0, )P2y =P2(0, )P2y =1、课内作业习题2.3 A组 第1、2、3 2、课外思考： (1) 平面上动点P到定点F（1，0）的距离比P到y轴的距离大1，求动点M的轨迹方程. （2）若点P到点F（4，0）距离比它到直线X+5=0的距离少1，求动点P的轨迹五、本课作业