23数学归纳法.ppt

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1、2. 3 数学归纳法数学归纳法主页主页2114143 2224147 2334153 24441612554171 【1】都是质数都是质数猜想猜想:_.2N ,41nnn 对对都都是是质质数数猜想猜想是错误的是错误的. .当当时时，41n 猜想正确猜想正确吗吗? ?22414141 41nn 是是一一个个合合数数. .41 432. 3 数学归纳法数学归纳法主页主页已知数列已知数列an的第一项的第一项 a1=1, 且且(n=1, 2,), 试归纳出这个数列的通项公式试归纳出这个数列的通项公式.11nnnaaa 解解:11,a 21,2a 31,3a 41,4a 由此猜想由此猜想: :1(N )

2、.nann 【2】但如何证明推理得到的结论呢？但如何证明推理得到的结论呢？2. 3 数学归纳法数学归纳法主页主页2. 3 数学归纳法数学归纳法主页主页思考思考1:1:某人姓王，其子子孙孙都姓王吗？某人姓王，其子子孙孙都姓王吗？某家族所有男人世代都姓王的条件是什某家族所有男人世代都姓王的条件是什么？么？ （1 1）始祖姓王；）始祖姓王； （2 2）子随父姓）子随父姓. . （第（第1 1代姓王）代姓王）（如果第（如果第k k代姓王，则第代姓王，则第k+1k+1代也姓王）代也姓王）2. 3 数学归纳法数学归纳法主页主页思考思考2 2？有若干块骨牌竖直摆放，若将它们全部推有若干块骨牌竖直摆放，若将它

3、们全部推倒，有什么办法？一般地，多米诺骨牌游戏的原倒，有什么办法？一般地，多米诺骨牌游戏的原理是什么？理是什么？( (条件是什么）条件是什么） 第一块骨牌倒下；第一块骨牌倒下； 任意相邻的两块骨牌，前一块任意相邻的两块骨牌，前一块倒下一定导致后一块倒下倒下一定导致后一块倒下两个条件的作用：两个条件的作用：条件条件：奠基；条件：奠基；条件：递推关系：递推关系2. 3 数学归纳法数学归纳法主页主页已知数列已知数列an的第一项的第一项 a1=1, 且且(n=1, 2,), 试归纳出这个数列的通项公式试归纳出这个数列的通项公式.11nnnaaa 由此猜想由此猜想: :1(N ).nann 思考？思考？

4、证明证明:(1)当当n=1时时,猜想成立猜想成立. .(2)假设假设n=k时时,猜想成立猜想成立. . 即即那么那么,当当n=k+1时时即当即当 n=k+1时时猜想猜想也成立也成立.1111a 1(N ).kakk 11kkkaaa 111kk 1.1k 所以对任何所以对任何n N* *猜想猜想都成立都成立,即即1(N ).nann 2. 3 数学归纳法数学归纳法主页主页 对于某些与正整数对于某些与正整数n有关的命题常常采用下有关的命题常常采用下面的方法来证明它的正确性：面的方法来证明它的正确性：1.证明当证明当n取第一个值取第一个值n0时命题成立；时命题成立；2. 假设当假设当 n=k(kn

5、0, k N* *)时命题成立，时命题成立，证明当证明当n=k+1时命题也成立时命题也成立.数学归纳法数学归纳法这种证明方法就叫做_.那么那么,命题对于从命题对于从n0开始的所有正整数开始的所有正整数n都成立都成立,2. 3 数学归纳法数学归纳法主页主页如下证明对吗？如下证明对吗？21 3 5(21),kk 则则2(1) 11 3 5(21)1 2(1) 1(1)2kkkk 第二步证明中没有用到假设，这不是数学归纳法证明第二步证明中没有用到假设，这不是数学归纳法证明. .证明证明: 当当n=1时时,左边左边1，右边，右边121 n=1时时,命题成立命题成立.设设n=k时时,有有即即n=k+1时

6、，命题成立时，命题成立.2(1) .k根据根据问可知，对问可知，对nN* *，等式成立，等式成立.证明证明:1+3+5+(2n 1)=n2 .2. 3 数学归纳法数学归纳法主页主页数学归纳法证明一个与正整数有关命题的步骤是：数学归纳法证明一个与正整数有关命题的步骤是：（1）证明当证明当 取第一个值取第一个值 （如（如 或或2等）时结论正确；等）时结论正确； 10 nn0n （2）假设时假设时 结论正确，证明结论正确，证明 时结论也正确时结论也正确 )N(0nkkkn 且且1 kn递推基础递推基础递推依据递推依据“找准起点，奠基要稳找准起点，奠基要稳”“用上假设，递推才真用上假设，递推才真”注注

7、 意：意：1、一定要用到归纳假设；、一定要用到归纳假设；2、看清从、看清从k到到k1中间的变化。中间的变化。2. 3 数学归纳法数学归纳法主页主页2222(1)(21)123(N ).6n nnnn 1 (1 1)(21)1.6 右右边边2(1)(21)()61k kkk2(1)(21) 6(1)6k kkk 2222(1)(21)3612,k kkk 例例1.用数学归纳法证明用数学归纳法证明证明证明:(1)当当n=1时时,左左=12=1，n=1时时,等式成立等式成立.(2)假设假设n=k时时,等式成立，即等式成立，即那么那么,当当n=k+1时时左边左边=12+22+k2+(k+1)2=即当即

8、当 n=k+1时命题也成立时命题也成立.由由(1)和和(2),可知原命题对任何可知原命题对任何n N* *都成立都成立.(1)(2)(23),6kkk 2. 3 数学归纳法数学归纳法主页主页 例例2 2 已知数列：已知数列：试猜想其前试猜想其前n n项和项和S Sn n的表达式，并数学归的表达式，并数学归纳法证明纳法证明. .1111,14 47 710(32)(31)nn创+LL31nnSn=+2. 3 数学归纳法数学归纳法主页主页2311111( ) .222221 1变变练练习习1 1：求求证证：nn 式式证明证明:当当n=1时时,左边左边1,2右边右边1111( ).22 假设当假设当

9、n=k时时,命题成立，即命题成立，即1 12311111 ( ) ,22222kk + + + + +那么那么,当当n=k+1时时,有有1 1312111222212kk + + + n=1时等式成立时等式成立.即当即当 n=k+1时命题也成立时命题也成立.由由(1)和和(2),可知原命题对任何可知原命题对任何n N* *都成立都成立.1111( )22kk 111( ).2k 学案学案722P T2. 3 数学归纳法数学归纳法主页主页归纳法的分类：归纳法的分类：不完全归纳法不完全归纳法考察部分特例考察部分特例得出一般结论得出一般结论对考察对象一一对考察对象一一考察后得出结论考察后得出结论完全

10、归纳法完全归纳法某些与自然数有关的数学命题某些与自然数有关的数学命题数学归纳法数学归纳法2. 3 数学归纳法数学归纳法主页主页1.用数学归纳法证明恒等式的步骤及注意事项用数学归纳法证明恒等式的步骤及注意事项明确首取值明确首取值n0并验证真假并验证真假;（必不可少）（必不可少）“假设假设n=k时命题正确时命题正确”并写出命题形式并写出命题形式. 分析分析“n=k+1时时”命题是什么命题是什么,并找出与并找出与“n=k”时命题形式的差别时命题形式的差别.弄清左端应增加的项弄清左端应增加的项.明确等式左端变形目标明确等式左端变形目标,掌握恒等式变形常用掌握恒等式变形常用的方法乘法公式、因式分解、添拆

11、项、配方等的方法乘法公式、因式分解、添拆项、配方等.2.两个步骤、一个结论缺一不可两个步骤、一个结论缺一不可,否则结论不能否则结论不能成立；成立；递推基础不可少，递推基础不可少，归纳假设要用到，归纳假设要用到，结论写明莫忘掉结论写明莫忘掉.2. 3 数学归纳法数学归纳法主页主页作业作业: 课本课本: :课外作业：完成课外作业：完成: :学案学案 P.72-73961P T2. 3 数学归纳法数学归纳法主页主页4.两个步骤、一个结论缺一不可两个步骤、一个结论缺一不可,否则结论不能否则结论不能成立；成立；递推基础不可少，递推基础不可少，归纳假设要用到，归纳假设要用到，结论写明莫忘掉结论写明莫忘掉.

12、两个步骤一结论；两个步骤一结论；递推基础不可少；递推基础不可少；归纳假设要用到；归纳假设要用到；结论写明莫忘掉。结论写明莫忘掉。祝同学们学习快乐。祝同学们学习快乐。直 挂 云 帆 济 沧 海长 风 破 浪 会 有 时2. 3 数学归纳法数学归纳法主页主页(2)假设假设n=k时时,11k+2+122k+1能被能被133整除整除,=11 11k+2+122 122k+1 =11 (11k+2+122k+1) 11 122k+1+122 122k+1 = 11 11(11k+2+122k+1)+ 122k+1(144 11)=11 (11k+2+122k+1)+ 122k+1 133.例例3.证明证

13、明:对任意正整数对任意正整数n,数数11n+2+122n+1是是133的倍数的倍数.证明证明:(1)当当n=1时时,11n+2+122n+1=113+123=23 133, 23 133能被能被133整除整除,即即n=1时命题成立时命题成立.那么那么11(k+1)+2+122(k+1)+1(3)(3)整除性问题整除性问题2. 3 数学归纳法数学归纳法主页主页由归纳假设知由归纳假设知11k+2+122k+1及及122k+1 133都都能被能被133整除整除,11(k+1)+2+122(k+1)+1能被能被133整除整除, 即即n=k+1时命题也成立时命题也成立.例例3.证明证明:对任意自然数对任

14、意自然数n,数数11n+2+122n+1是是133的倍数的倍数.(3)(3)整除性问题整除性问题证明证明:根据根据(1)(1)和和(2),(2),可知命题对任何可知命题对任何n N N都成立都成立. .2. 3 数学归纳法数学归纳法主页主页(1)数学归纳法是一种完全归纳的证明方法数学归纳法是一种完全归纳的证明方法,它适它适用于与正整数有关的数学命题的证明用于与正整数有关的数学命题的证明;(2)两个步骤两个步骤,一个结论一个结论,缺一不可缺一不可,否则结论不否则结论不能成立；能成立；(3)在证明递推时在证明递推时,必须使用归纳假设必须使用归纳假设,必须进行恒必须进行恒等变形。等变形。递推基础不可少递推基础不可少归纳假设要用到归纳假设要用到结论写明莫忘掉结论写明莫忘掉穷举法数学归纳法完完全全归归纳纳法法不不完完全全归归纳纳法法归归纳纳法法2. 3 数学归纳法数学归纳法主页主页【1】用数学归纳证明用数学归纳证明34n+2+ 32n+1能被能被18整除时整除时.81(34K+2+32K+1)-7232K+118 42