方阵的特征值与特征向量.ppt

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1、第三章 矩阵的特征值与特征向量,3.1 方阵的特征值与特征向量 3.2 矩阵的对角化,第一节 方阵的特征值与特征向量,3.1.1 特征值与特征向量的基本概念3.1.2 特征值与特征向量的性质,一、矩阵的特征值与特征向量,定义,例,解,命题1,命题2,命题3,矩阵A的任一特征向量所对应的特征值是唯一的。,它有非零解的充分必要条件是,即,由定义可得：,二、矩阵的特征方程和特征多项式,A的特征方程,A的特征多项式,特征值是特征方程或特征多项式的根。,A的特征矩阵,三、求矩阵的特征值与特征向量的步骤：,第一步,第二步,对每个特征根,，求出齐次线性方程组,的通解，除去0向量便得属于,的全部特征向量。,例

2、，求下列矩阵的特征值和特征向量,解,A的特征多项式为,A的特征值为,即,对应的特征向量可取为,对应的特征向量可取为,例：求矩阵的特征值和特征向量,解,A的特征多项式为,A的特征值为,得基础解系,得基础解系,练一练,求A的全部特征值与特征向量。,答案略。,3.1.2 特征值和特征向量的性质,n阶方阵A与它的转置矩阵有相同的特征值。,证明：,由,得到A与A的转置有相同的特征多项式，即有相同的特征值。,定理3.2,定理3.1,设n阶方阵A有互不相同的特征值,的基础解系为,则,线性无关。,推论3.1,若n阶方阵A有互不相同的特征值,则其对应的特征向量,线性无关。,定理3.3,定理3.4,设A为n阶方阵

3、，,若,为A的特征值，则,是,的特征值。,证明：,设x为对应的一个特征向量，则有：,两边求和即证。,例 设A是一个三阶方阵，1，2，3是它的三个特征值，试求(1) A对角线上元素之和(2) | A |(3) | A2 + A + E |,解 设A = (aij ) 由定理3.3知a11 + a22 + a33 =1 +2 +3 = 1 + 2 + 3 = 6| A | =123 =1 2 3 = 6因A的特征值为1，2，3，由定理3.4知,A2 + A + E的特征值依次为1+1+1=3，22 + 2 + 1=7, 32 + 3 + 1 = 13再由定理3.3知| A2 + A + E | = 3713 = 273,常见的结论：,（7） 阶方阵A与它的转置矩阵AT有相同的特征值。,