行列式.ppt

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1、第三节 行列式,1.3.1 行列式的概念1.3.2 行列式的性质1.3.3 行列式的计算（重点） 1.3.4 行列式的应用,1.3.1 行列式的定义,二阶行列式,三阶行列式,n阶行列式,二阶行列式,定义,a,b,c,d,主对角线元素之积减去副对角线元素之积,注意：行列式的结果是一个数或者表达式。,根据定义算一算,主对角线元素之积减去副对角线元素之积,二阶行列式在解二元一次方程组的应用,三 阶行列式的定义,对角线法则,根据定义算一算,练一练,计算,元素5的余子式,元素0的余子式,余子式：在行列式中划去某元素所在行和列所剩下的元素保持原来的次序够成一个低阶的行列式，称为该元素的余子式。,代数余子式

2、,元素5的代数余子式,元素0的代数余子式,3 阶行列式的余子式定义,三阶行列式的值等于它的第一行元素乘以各自的代数余子式再相加.,行列式的递推定义,n阶行列式(determinant)定义,设方阵,则称行列式,为A所对应的行列式，或A的行列式,记作,称n为行列式D的阶数。,说明：行列式是一个函数。可以把行列式理解为一个包含n2个元素的函数表达式，当行列式中的元素都是确定时，可以通过这个函数表示式计算出一个确定的值。,n 阶行列式的递推定义,n阶行列式等于第一行的每个元素与其代数余子式乘积的和。,行列式的展开与计算,定理,行列式等于它的任一行（列）的各元素与其对应的代数余子式乘积之和。,例1.

3、计算：,例2.证明:,主对角线行列式,例3.下三角形行列式,利用首行展开法可以证明,下三角形行列式之值等于主对角线元素之积,上三角形行列式之值等于主对角线元素之积,练一练,计算,1.3.2 行列式的性质,定义： 将行列式D的行列互换，得到的新的行列式称为行列式D的转置行列式，记为,性质1.7 行列式转置后，其值不变，即：,说明：利用数学归纳法证明，过程略。关键是要知道，该性质表明:行列式的行所具有的性质，对列也一定成立，对列所具有的性质，对行也一定成立。,性质1.9 行列式中某一行（列）所有元的公因子，可以提到行列式的符号外（即此因子乘以行列式）,性质1.8 互换行列式的两行（列），行列式只改

4、变符号。,推论：如果行列式D有两行（列）相同，则D=0,推论1：如果行列式有一行（列）的元全为零，则行列式为零。,推论2：如果行列式有两行（列）的元对应成比例，则行列式为零。,推论3.,（n为A的阶数）,性质10 如果行列式的某一行（列）的元素都是两项的和，则可以把该行列式拆成相应的两个行列式之和，这两个行列式的这一行（列）的元素分别是原行列式中相应位置的两项的第一项和第二项，而其他位置的元不变，即：,性质11 如果行列式的某一行（列）的元加上另一行（列）的对应元素的k倍，则行列式的值不变。（例如：以数k乘以第i行加到第j行上去）,结论1：行列式等于它的任一行（列）的各元素与其对应的代数余子式

5、乘积之和。,性质13 行列式某一行（列）的元与另一行（列）对应元的代数余子式的乘积之和为零。即：,重点提示：在计算行列式的值时，请注意按行（列）展开，不要串行（列）展开。,小结： 按行（列）展开得D, 串行（列）展开得零。,首行展开法,性质12 设A,B为n 阶方阵，则有：|AB|=|A|B|。(此性质称行列式的乘法定理）,推广:,1.3.3 行列式的计算,行列式计算的两种思路： 一、如果出现较多的0元素，则利用行列式的定义计算可能比较简单； 二、充分利用行列式的性质进行有效的化简。即最终化成三角形行列式，然后再计算。 高阶行列式的计算并不是一件容易的事，化简的方法也不唯一，要善于发现具体问题

6、的特点。建议大家记住一些经典类型的行列式的计算方法。,消元变换,行的运算 row,列的运算 column,交换i, j两行,数乘第 i 行,数乘第 j 行加到第 i 行,交换i, j两列,数乘第 i 列,数乘第 j 列加到第 i 列,变号,K 倍,等值,变号,K 倍,等值,注意与矩阵的初等变换的区别。,利用消元变换化行列式为三角形,例：,练一练,练一练,练一练,例 计算行列式.,解,Vandermonde行列式,如果线性方程组,的系数行列式D不等于零， 则方程组有唯一解,1. 4 行列式的应用,（一）克拉默法则,解线性方程组,例,练一练,用克莱姆法则解下列方程组,（1 ）若方程组中常数项全为零

7、（齐次线性方程组）且D不等于零，则该方程组有唯一零解。,推论,（2）齐次线性方程组(*)有非零解的充要条件是系数行列式D=0,K 为何值时，下列方程组只有零解？,练一练,只有零解,解,由推论知，若齐次线性方程组有非零解，则系数行列式,得 故当 或 时，方程组有非零解.,2. 问，取何值时，齐次线性方程组,有非零解。,行列式 的各个元素的代数余子式 所构成的如下的方阵,称为方阵A伴随矩阵.,伴随矩阵,（二）用行列式求逆矩阵,例,求矩阵,的伴随矩阵,同理可证,定理1.4,设A为方阵。,若A可逆, 则 且,推论,设A和B为同阶方阵。只要AB=I或BA=I之一成立，便知A可逆，且,这个定理说明了：,1

8、.如何判断一个方阵可逆？,2.如何求这个方阵的逆矩阵？,例,设,且,求,例,求方阵,的逆矩阵,解,求得,存在,练一练,求方阵A的逆矩阵,解,求下面方阵的逆矩阵,解,故A可逆,练一练,练一练,问方阵A是否可逆？若可逆求它的逆矩阵,讨论,？,逆矩阵应用,记,方程组的矩阵形式,Ax=b,n个方程n个未知数,如果A可逆，两端同时左乘 得到,唯一解,练习 用逆矩阵解下列线性方程组：,略解,线性方程组可表示为,首先验证系数矩阵可逆,可用初等变换法求逆矩阵,设矩阵X满足如下条件， 求X,解,练一练,例,设,求矩阵X使满足,AXB=C,解,即,由上例知,故知A,B都可逆,且,练一练,设AX=B, 其中,求矩阵。,定义,设A为n阶方阵，若A的分块矩阵只有在主对角线上有非零子块，其余子块都是零距阵，且非零子块都是方阵，即,其中,都是方阵，称A为分块对角矩阵,定理1.5,例,设,求,解,例,求,和,定理,设分块下三角矩阵,其中,都是方阵，则,练一练,求矩阵的行列式和逆矩阵,