第二章多项式插值.doc

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1、【精品文档】如有侵权，请联系网站删除，仅供学习与交流第二章第三章第四章第五章 第二章多项式插值.精品文档.第六章 多项式插值引言：本章和下章的内容属于函数逼近论。函数逼近论的基本思想：用一个简单函数去近似(逼近)复杂的函数。简单函数：如代数多项式三角多项式分段（对高维：分片）多项式有理函数为多项式本章主要内容在插值方式（意义）下作函数逼近插值问题：已知在离散点上的值，求简单函数使得：插值节点: （彼此相异）（这时 : 被插值函数, : 插值函数）针对以下两种逼近函数空间： 代数多项式空间分段代数多项式空间讨论三类插值（逼近）问题。(1) Lagrange插值仅与函数值有关(2) Hermite

2、插值与函数和导函数值均有关(3)样条（或分段）插值满足一定光滑（连接）条件的分段低次多项式插值每类插值问题所涉及的基本内容问题提法问题的适定性（解的存在、唯一性）误差分析（逼近度刻化）问题解（插值函数）的常用算法1 代数多项式插值1.1 插值多项式的存在惟一性给出 求：， (1)使得：. (2)可写成一个关于的线性代数方程组:定理1 多项式插值问题的解是存在惟一的.证明：关于的线性代数方程组系数行列式为：由于，所以上式的右端不为零，从而方程组的解存在且惟一.如：误差估计:(Rolle中值定理: 假设于上连续，在内存在，又则在内至少有1个点，使得.定理2 假设于上连续，在存在，又是 上互异的数.

3、记插值问题（1），（2）的截断误差为那么当时有 . (3)其中且依赖于.证明 当为任何一个插值节点时，(3)的两边为零结论显然成立.现设，这时不等于零.以下对于固定的作定义在上的辅助函数， (4)选择，使得：即取 （5）于是利用Rolle中值定理，内至少有个零点.进一步对应用Rolle中值定理可知内至少有个零点.继续上述讨论就可推得在插值区间内至少有一个，使得即 结合（5）式从而得1.2 拉格朗日（Lagrange）插值公式基函数方法：作（为次多项式），使得：这时：由，得：于是： (6)记：，则：故： (7)称为次多项式插值的Lagrange公式.例设在的值顺次为0.904837,0.8607

4、08,0.778801,0.740818,利用插值公式求在0.20的近似值.令依(6)得于是由（7）得又由插值多项式的余项估计式（3）有：由于，故应于0.904837与0.740818之间，于是这个估计说明差不多是第六位小数上一个单位，事实上在的值为0.8187308.1.3 多项式插值的Neville方法逐次线性插值方法（略）2 差商、牛顿（Newton）插值多项式设为任意个不同的节点，取：作为多项式空间的基底，作多项式：将依次代入得：算得：2.1 差商及其性质给出离散变量函数（函数表）我们称：为于点的一阶差商.注意：由于因此：.以下归纳法定义高阶差商，特别记：零阶差商：二阶差商：阶差商的差

5、商称为阶差商：差商性质类似于微商，例如：1.若（线性运算），则：2.若，则：性质1 阶差商可表示为函数值, 的线性组合，即其中:性质2 差商关于所含节点是对称的，即有性质3 如果是一个依赖于的次代数多项式，那么是一个关于的次代数多项式.事实上，由差商的定义有性质4 设在含的区间上有阶导数，则在这一区间内至少有一点 使得2.2 Newton插值多项式由差商的定义有代入有：其中由于：因此称为Newton插值多项式 , 为插值余项.有：下面证明性质4：若：，则：故：这就证明了性质4.性质1的证明：由于，即：比较的系数的系数，可得：差商概念的推广重节点差商.定义 一般地定义又： 例：求2.3 差分、等

6、距节点下的Newton插值多项式若，步长这时：Newton插值多项式中：另外：均可以简化.（1）差分记：，（半分点）定义：一阶差分：我们知道：二阶差分：一阶差分的差分：一般地：定理3 各阶差分与函数值之间的关系如下其中，表二项式展开系数.定理4 差分和差商的关系如下： （1）, （2）. （3）数学归纳法证明（1）式：设成立，证也成立.(2) 等距节点的插值公式Newton向前插值公式由于：，又令：，则有，代入得：又：Newton向后插值公式将点倒序排列：，仍令，这时：用法：表头插值，表末插值. 例 给出在的值，计算.当时，根据Newton向前插值公式，分别求得3 埃尔米特（Hermite）插

7、值求多项式，使它与函数在插值点处不仅有相同的函数值，而且还有相同的导数值（带导数插值）.先看一个简单情形，求次的代数多项式，使它满足插值条件：基函数法：求使得：这时：可设：为待定常数.求，使得：又可设：由条件：确定.首先可得：写：.，故又：由，得：从而：.定理5 Hermite插值问题（*）的解是存在惟一的，并且有其中： .（*）称为Hermite插值多项式. 为了证明的惟一性，假设另有一次数的多项式满足插值条件（*），令则由（*）有是次数的代数多项式. 上式表明，它有个重根，除非.特殊情形：求，使得：这时：故：.同理可得，故有：Newton插值途径：四点插值：余项：.令：，得：这时： ，重节

8、点差商表一阶差商二阶差商三阶差商于是而余项：从而可知：个点的情形：在节点处的Newton插值多项式为假设得到Hermite插值问题的一般情形：给定函数在个互异节点处的函数值及导数值记,求一个次数的多项式，使得特款：1）为Lagrange插值2）为简单Hermite插值3），只有一个节点时，就是Taylor多项式：利用Hermite插值的基函数，满足条件的Hermite插值多项式可表示为其中：是次多项式，并满足条件这里：4 分段多项式插值4.1 高次多项式插值的缺陷(1）Runge现象例 假设是定义在-1，1上的函数，对于每个，由等距点集决定一个的Lagrange插值多项式插值多项式序列在区间-

9、1，1上并不收敛于.如图：图 2.1 Runge 现象(2)舍入误差影响引起高阶差商（差分）不准确Newton向前插值多项式：若不精确，成为，则：若： 则： 这时.得表：4.2 分段三次Lagrange插值多项式考虑的等距剖分求，且，其中：子段上的Lagrange插值多项式 有：其中： 及误差估计：定理6 假设，对于区间 上的分段三次Lagrange插值多项式，我们有如下误差估计4.3 分段三次Hermite插值多项式考虑的任一分划，求， 使得：(1)分段表示式若：这时：可表为：(2)整体表示式基函数法：作分段三次多项式，使之满足插值条件：这样：作：，若，这时：于是：令：，则：同样可得：当的情

10、形.于是：误差估计：记，.有：事实上，若，有：由于 ，因而：以下估计分段三次Hermite插值导数的误差.若记：，估计注意：若，有：由Rolle中值定理：于有三个零点：于有两个零点：于有一个零点：由于故：同理可得：定理7 设为区间 的一个剖分,为的分段三次Hermite插值多项式,有如下误差估计:这里分别为的阶导数，为常数. 5 样条函数插值5.1 样条函数插值问题样条函数：分段多项式在节点处适合一定的光滑度. 设为区间的一个分划.若满足以下条件：（1），（2）及其直到阶导数在上连续则称为关于分划的次样条函数，记做.为一线性空间，即：若，则：对于的情形即为折线：，考虑插值问题：求，使得：（1）

11、分段表示式：设，由于：则：（2）整体表示式：作基函数：，适合：从而有：如下图所示：图2.2 线性样条插值误差估计：的情形对于区间的一个剖分，是线性空间（有限维）.表示式:引入截断幂函数：设：，由，则：.若，则：或写为：，一般地三次样条函数的基底为：5.2 三次插值样条函数求三次样条函数，使得： (A) 注意，完全确定一个三次样条函数，需增加两个条件，而这两个条件通常附加在区间的端点上.由此提出三个类型的插值问题.问题1 求满足插值条件（A）的三次插值样条函数，它同时满足附加边界条件：问题2 求满足插值条件（A）的三次插值样条函数，同时满足附加边界条件：问题3 求满足插值条件及附加边界条件分别称

12、问题1、2、3为、型插值问题.（1） 构造三次插值样条的三弯矩方法记，则 时，积分两次由确定积分常数，有 （B）因为，上述自然满足函数和二阶导数在节点处的连续条件，则由连续条件，还要求. (C)由（B）得：由(C)得 (D)这是内节点处的关系式.记(D)式化为 (E)其中由每个内节点建立一个方程(E)，可得关于待定参数的个线性代数方程；由附加边界条件可补充两个方程化简： 对于问题2，由附加边界条件直接得到这样对于插值问题1和插值问题2，我们总可以得到关于的线性方程组 （F）上述三对角矩阵为严格对角占优阵，是非奇异阵I型、型样条插值问题的解存在且唯一(定理8)(2) 构造三次插值样条的三转角方法

13、类似， 若令，则上述算法中（B）变为（E）变为对内节点其中对边界节点例 给定插值条件01230000附加边界条件为：.试求满足上述条件的三次插值样条函数的分段表达式.解：（三弯矩方法）利用二阶导数为待定参数得 边界条件方程为:利用公式求得三次插值样条函数：若利用三转角方法选取作待定参数，也可获得同样的结果.5.3 三次插值样条函数的极值性质如最小模性质、最佳逼近性质等(1) 正交性质若，则其中，对任给 证明.令，且满足利用分部积分及（*），证毕。(2) 最佳逼近性质 若，则对有证明.由 及Cauchy_Schwarz不等式 即有(3) 最小模 (能量极小) 性质若，则有， 等号仅当时成立.证明

14、：由 及Cauchy_Schwarz不等式即 下面，考虑等号成立的情形.当且仅当等号成立，即为线性函数，而为的三次插值样条函数即个节点处为0故5.4 三次插值样条函数的误差界与收敛性 插值样条函数的误差估计比较复杂，我们首先指出如下结果 定理11 设为关于剖分的、型边界条件或周期边界条件下的三次插值样条函数.那么余项，可表成如下积分形式这里是作为的函数相应于、型边界条件或周期型边界条件下的三次插值样条函数的余项，记为定理12 设为适合型或型边界条件的三次插值样条函数, 则其中，为剖分网格比，而6 B样条函数及其性质6.1 B样条函数的定义定义 分段次多项式 称为次样条函数，其中为次截断幂函数，

15、为阶中心差分算子.引理 . 证明 以下的证明过程用到了对差分算子的形式运算.可以看出次样条函数的分段表示：它在中共有段.一次到三次样条的具体表示如下:6.2 B样条函数的性质次样条有以下基本性质:(1) 连续性： 的阶导数连续, 阶导数在处间断.(2)局部支撑性质：当时, .(3)正性：当时, .（4）对称性：.（5）规范性：.的数值表012000-2106.3 均匀剖分下的插值样条函数的构造在上给定一个均匀剖分并记外节点，对此情形，我们有一组中的三次样条函数它们中的每一个在上都不恒等于零，而其他的所对应的样条函数，则在 上恒为零.由于的总个数为，这与三次样条函数空间的维数一致，因此它们构成空间的一组基底，用这样一组三次样条基函数，可将插值问题1、2、3的解表示为对问题1注意到函数值及其局部非零的性质：还注意到每一个方程中只有三个非零系数，具体为矩阵形式其中对问题2由于.可得矩阵形式是阶方阵，对问题3 首先由条件得到下列三个方程由于系数矩阵的行列式不等于0推得因此只须利用其余个插值条件，列出关于的代数方程组，它们是其中6.4 非等距剖分下的样条函数设为区间的任意剖分，并记为的扩充剖分. 若记:, 则差商定义 五个节点的4阶(三次)不等距规范样条函数为根据差商的性质有其中.可以看出是以为节点的三次样条函数,并且具有局部支撑性质.