伴随矩阵的性质及其应用.doc

《伴随矩阵的性质及其应用.doc》由会员分享，可在线阅读，更多相关《伴随矩阵的性质及其应用.doc（11页珍藏版）》请在得力文库 - 分享文档赚钱的网站上搜索。

1、【精品文档】如有侵权，请联系网站删除，仅供学习与交流伴随矩阵的性质及其应用.精品文档.伴随矩阵的性质及其应用摘要：在矩阵中占据着比较特殊的位置，通过它我们可以推导出逆矩阵的计算公式，使方阵求逆的问题得到解决，伴随矩阵的性质和应用有着与众不同的特点。伴随矩阵不仅仅可以求矩阵的逆，它还有很多重要的性质。本文介绍了伴随矩阵的十四条性质，每一条都给出了详细的证明，同时也给出了应用伴随矩阵性质的例子。伴随矩阵是矩阵学习中的重点和难点，它的性质及其应用更是学习中的重中之重，掌握这些性质、证明及其应用将有利于我们今后的数学学习.关键词：伴随矩阵 可逆矩阵 方阵性质Adjoint matrices prope

2、rties and applicationsAbstract Adjoint matrices is matrix and linear algebra, is an important concept of an important branch of mathematics study many tools, through which we can deduce that the inverse matrix calculation formula of inverse square, is the problem can be solved, the status of adjoint

3、 matrix in the matrix, it is special the properties and application has unique characteristics. In university mathematics study, adjoint matrices is only used for the inverse matrix solution, not too deep understanding of adjoint matrix, actually there are many important properties, this paper intro

4、duces the properties of adjoint matrix 12 is given, every single detail of the proof and the partial nature, and introduces the application of the development process, along with matrix matrix was the key and difficult point matrix learning, it is also learning the properties and applications of pri

5、ority, master these properties, proof and application will benefit our future mathematics learning. Keywords Adjoint matrix Reversible matrix The phalanx Properties矩阵是高等数学中非常重要的一个概念，而且应用相当广泛，它是线性代数的核心，矩阵的运算、概念和理论贯穿整个线性代数的学习中。伴随矩阵是一种特殊矩阵，它和矩阵的逆矩阵有着紧密的联系，方阵的伴随矩阵是在求可逆矩阵的逆矩阵时提出来的，是大学数学学习的重点和难点，而且也有很多的应用

6、价值，和数学其他分支的联系也很广泛，学习好伴随矩阵对学好大学数学是很重要的.本文将全面总结出一些有关方阵的伴随矩阵的性质及其应用，让我们对伴随矩阵的认识和理解更加全面.1.伴随矩阵的定义首先我们给出伴随矩阵和逆矩阵的定义。 定义1：设是矩阵A=中元素的代数余子式，则矩阵A=称为A的伴随矩阵。定义2：设A为n阶方阵，如果有矩阵B满足AB=BA=E,则B就称为A的逆矩阵，记为B=。由以上定义我们看到只有方阵才有伴随矩阵和逆矩阵。2.伴随矩阵的性质2.1伴随矩阵与逆矩阵之间的关系性质1：设A为n阶方阵，AA=AA=E . 证明：由行列式按一列（行）展开的公式得出:AA=AA=E, 其中=。 （1）该

7、性质可以用来求矩阵的逆和伴随矩阵，是最直接常用的方法，也是最一般的用法.性质2：n阶矩阵A可逆的充分必要条件是矩阵A的行列式不等于零，即. 证明：由性质1知AA=AA=E，故 A=A=E= .该性质用来直接求逆矩阵，对于求逆矩阵和矩阵的证明问题非常有用.性质3：若A为非奇异矩阵，则.证明：因为，由性质2两边取逆可得 故，另一方面，由性质2 有， 由.该性质说明了A的逆的伴随矩阵和A的联系，也是常考的部分，有效的掌握对于解题很有帮助.2.2伴随矩阵秩的性质性质4：设A为n阶矩阵，则秩A=.证明：（1）当秩A=时，则A是可逆的，即有存在，所以可见，秩=。反之，当秩=n时，可逆时，则有存在，所以必有

8、0，否则，由上式知A=0，从而=0，这与秩=矛盾，所以0，于是秩（A）=；（2）当秩（A）=时，则A必有一个阶子式不为0，即中至少有一个元素不为0，所以，秩（），另外秩（A）=.则=0，于是，从而，秩（A）+秩（）反之若秩（）=1，则中必有一个，即是说必有一个阶子式不为零，故秩但不能有秩（A）=，否则，有秩=，而这样与秩矛盾，所以秩（A），则秩（A），因此,秩（A）=. （3）当秩（A）时，则A中一切阶子式均为0，于是一切所以，这时有秩反之，若秩则亦即A的一切阶子式为0，所以秩（A）.这是矩阵一章中综合性较强的问题，一方面注意到矩阵A的秩等于A的非零子式的最高阶数，另一方面注意到的元素都是A的

9、元素的阶子式.该性质可以用来求A的伴随矩阵的秩，A的秩可以直接求出，通过A的秩可以直接求出A的伴随矩阵的秩.性质5：秩.2.3伴随矩阵行列式的性质性质6：=，其中A是n阶方阵（n2）.证明：若0， AA=E， =若=0，这时秩A1，=0，而也有=综合得=.性质7：若A是n阶非零实矩阵，.证明：用反证法，若令一方面，设A=0 （2）由（2）式主对角元素均等于0，可得此即A=0，这与非零矩阵的假设矛盾，.条件A是实方阵中“实”字不能少，否则，比如设A=则 2.4 伴随矩阵的继承性性质8 令A,B为n阶矩阵，则（1）A对称（2）A正交 （3）若A与B等价，则（4）若A与B相似，则（5）若A与B合同，

10、则（6）A=B；（7）A正定（8）A为可逆矩阵（9）如果A是可逆矩阵，那么A为反对称 证明：这里只证（1），（2），其余的这里就不再证明了。(1) ; (2) 因为A是正交矩阵， 故是正交矩阵.从该性质我们看到方阵有很多的性质是能“遗传”给它的伴随矩阵的，因此我们在不求矩阵伴随的时候就能通过原矩阵的性质去判断伴随矩阵的性质了。2.5 的性质性质9：.这个证明比较简单，在这里就不详细证明了，读者可自行证明.性质10 一切（不一定A非奇异）都有证明：（i）当秩A=n时，用左乘式子A两边得，用A换A得， (ii)当秩An-1时，则秩则,综合即证该性质讨论了A的伴随矩阵的伴随矩阵和A的关系，一些问题会

11、涉及此性质，应多加注意.2.6伴随矩阵的其他性质性质11：若A为n阶矩阵，则 =a A . (a为实数)证明：设A=再设=，那么为行列式中划去第行和第i列的代数余子式（n-1阶行列式），其中每行提出公因子a后，可得，由此即证 =a A.数乘矩阵的伴随矩阵可以用该性质很好的得出，本性质是一些选择、填空常考点.性质12 设A,B均为n阶方阵，则.证明：当由公式可得结论成立.当由于A和B都最多只有限个特征值，因为存在无穷多个使 （3）那么由上面的结论有（A()B()）= （4）令（A()B()=（）A，则有 （5）由于有无穷多个使（5）式成立，从而有无穷多个使（5）式成立，但 都是多项式，从而（3）

12、式对一切都成立，特别令=0，这时有.该性质是一些题目的常考点，把求AB的伴随矩阵转化为求A的伴随矩阵和B的伴随矩阵的问题，可以很有效的解决问题.性质13：如果矩阵A可逆，令为它的特征值，是A的属于的特征向量，则的特征值是,是的属于的特征向量.证明： 由于A可逆，所以0，由于A=，左边乘以得， A=，故=.性质14：若A为n阶方阵且矩阵的行列式不为零，那么可表示为A的多项式形式.证明：A的特征多项式是因为A可逆，所以由哈密顿-凯莱定理知即右乘得故.该性质把A的伴随矩阵转化为A的多项式形式，这是求A的伴随矩阵的简单有效方法.3.伴随矩阵性质的应用例1 设. 解 ： 由性质1， 因为 本题所以.此题

13、是求 A的逆矩阵的伴随矩阵，若用伴随矩阵的定义求解则太复杂，可用性质1方便简捷的求出.例2 若.此题比较常见，求A的逆矩阵问题，可以根据性质2的公式求出.例3 已知3阶矩阵A的逆矩阵为试求伴随矩阵的逆矩阵.解： ，,由性质3得，,所以.此题把求A的伴随矩阵的逆矩阵问题转化为求A的逆矩阵的伴随矩阵问题，这样根据性质3可以很容易的得出.例4 若 .解 ： .例5 已知A=.解：， =,由性质10知 = .例6 若已知A=.解 ： 由性质11可直接得 .此题考查的是数与矩阵的乘积的伴随矩阵问题，用性质10可以很方便的得出.例7 设A为三阶矩阵，A的特征值为1，5，7.试求行列式.解 ： 因为=由性质

14、13知，的特征值分别为35,7,5.于是的特征值为35-2=33,7-2=5,5-2=3.故.例8 求矩阵A的伴随矩阵.A=.解 :矩阵A的特征多项式为： =,因所以A可逆，由性质14知=. 本题是利用矩阵A的特征多项式求伴随矩阵问题，用伴随矩阵的定义求解太麻烦，用性质14方便快捷.本文总结了伴随矩阵的十四条重要性质及其部分应用，无论是对于教师还是学生来说，熟练掌握了这些性质和应用，就能够使自己对伴随矩阵的理解和认识更全面和更深刻。通过对所学知识的掌握和了解，使我们可以更加进一步了解伴随矩阵在数学中的地位和作用，在解决复杂的数学问题时，使我们能够更加灵活运用它来解决实际问题其实数学知识不在于举

15、多少例子，关键在于是不是真正理解了其内涵，是不是能够熟练地把其运用到生活中创造它的价值.参考文献 1 徐德余等.高等代数习题精编M.成都：电子科技大学出版社，1992.114.2 冯红.高等代数全程学习指导M.大连：大连理工大学出版社，2004.196.3 阎满富、陈景林等.高等代数习题汇编与解答M.天津：天津人民出版社，1994.187. 4 刘云庆等.高等代数习作课讲义M.北京：北京师范大学出版社，1987.102.5 钱吉林.高等代数题解精粹M.北京：中央民族大学出版社，2002.120.6 施光燕.高等数学讲稿M.大连：大连理工大学出版社，2008.136.7 张小红等.高等代数专题研究选编M.西安：陕西科学技术出版社，1992.152.8 邓方安等.高等代数（第一版）M. 西安：西安地图出版社，2000.157.9 李永乐，范培华.数学复习全书M.国家行政出版社，2008.98.10张禾瑞等.高等代数（第四版）M.北京：高等教育出版社，1997.96.