中考几何中的最值问题.doc

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1、2014中考总结复习冲刺练： “最值问题” 集锦平面几何中的最值问题例1、A、B两点在直线l的同侧，在直线L上取一点P，使PA+PB最小。 1 已知AB是半圆的直径，如果这个半圆是一块铁皮，ABDC是内接半圆的梯形，试问怎样剪这个梯形，才能使梯形ABDC的周长最大(图391)？分析 本例是求半圆AB的内接梯形的最大周长，可设半圆半径为R由于ABCD，必有AC=BD若设CD=2y，AC=x，那么只须求梯形ABDC的半周长u=x+y+R的最大值即可 解 作DEAB于E，则x2=BD2=ABBE2R(R-y)2R2-2Ry，所以所以求u的最大值，只须求-x2+2Rx+2R2最大值即可-x2+2Rx+

2、2R2=3R2-(x-R)23R2，上式只有当x=R时取等号，这时有所以2y=R=x所以把半圆三等分，便可得到梯形两个顶点C，D，这时，梯形的底角恰为60和1202 .如图392是半圆与矩形结合而成的窗户，如果窗户的周长为8米(m)，怎样才能得出最大面积，使得窗户透光最好？分析与解 设x表示半圆半径，y表示矩形边长AD，则必有2x+2y+x=8，若窗户的最大面积为S，则把代入有即当窗户周长一定时，窗户下部矩形宽恰为半径时，窗户面积最大几何的定值与最值【例题就解】【例1】 如图，已知AB=10，P是线段AB上任意一点，在AB的同侧分别以AP和PB为边作等边APC和等边BPD，则CD长度的最小值为

3、 思路点拨 如图，作CCAB于C，DDAB于D，DQCC，CD2=DQ2+CQ2，DQ=AB一常数，当CQ越小，CD越小，本例也可设AP=，则PB=，从代数角度探求CD的最小值 注：从特殊位置与极端位置的研究中易得到启示，常能找到解题突破口，特殊位置与极端位置是指：(1)中点处、垂直位置关系等；(2)端点处、临界位置等 【例2】 如图，圆的半径等于正三角形ABC的高，此圆在沿底边AB滚动，切点为T，圆交AC、BC于M、N，则对于所有可能的圆的位置而言， MTN为的度数（ ） A从30到60变动 B从60到90变动C保持30不变 D保持60不变 思路点拨 先考虑当圆心在正三角形的顶点C时，其弧的

4、度数，再证明一般情形，从而作出判断注：几何定值与最值问题，一般都是置于动态背景下，动与静是相对的，我们可以研究问题中的变量，考虑当变化的元素运动到特定的位置，使图形变化为特殊图形时，研究的量取得定值与最值学力训练1如图，正方形ABCD的边长为1，点P为边BC上任意一点（可与B点或C点重合），分别过B、C、D作射线AP的垂线，垂足分别是B、C、D，则BB+CC+DD的最大值为 ，最小值为 2如图，AOB=45，角内有一点P，PO=10，在角的两边上有两点Q，R(均不同于点O)，则PQR的周长的最小值为 3如图，两点A、B在直线MN外的同侧，A到MN的距离AC=8，B到MN的距离BD=5，CD=4

5、，P在直线MN上运动，则的最大值等于 4如图，A点是半圆上一个三等分点，B点是弧AN的中点，P点是直径MN上一动点，O的半径为1，则AP+BP的最小值为( ) A1 B C D5如图，圆柱的轴截面ABCD是边长为4的正方形，动点P从A点出发，沿看圆柱的侧面移动到BC的中点S的最短距离是( ) A B C D6如图、已知矩形ABCD，R，P户分别是DC、BC上的点，E，F分别是AP、RP的中点，当P在BC上从B向C移动而R不动时，那么下列结论成立的是( ) A线段EF的长逐渐增大 B线段EF的长逐渐减小C线段EF的长不改变 D线段EF的长不能确定7如图，点C是线段AB上的任意一点(C点不与A、B

6、点重合)，分别以AC、BC为边在直线AB的同侧作等边三角形ACD和等边三角形BCE，AE与CD相交于点M，BD与CE相交于点N(1)求证：MNAB；(2)若AB的长为l0cm，当点C在线段AB上移动时，是否存在这样的一点C，使线段MN的长度最长?若存在，请确定C点的位置并求出MN的长；若不存在，请说明理由8如图，定长的弦ST在一个以AB为直径的半圆上滑动，M是ST的中点，P是S对AB作垂线的垂足，求证：不管ST滑到什么位置，SPM是一定角 最短路线问题例1 如下图，侦察员骑马从A地出发，去B地取情报在去B地之前需要先饮一次马，如果途中没有重要障碍物，那么侦察员选择怎样的路线最节省时间，请你在图

7、中标出来例2 如图一只壁虎要从一面墙壁上A点，爬到邻近的另一面墙壁上的B点捕蛾，它可以沿许多路径到达，但哪一条是最近的路线呢？解：我们假想把含B点的墙顺时针旋转90（如下页右图），使它和含A点的墙处在同一平面上，此时转过来的位置记为，B点的位置记为B，则A、B之间最短路线应该是线段AB，设这条线段与墙棱线交于一点P，那么，折线4PB就是从A点沿着两扇墙面走到B点的最短路线证明：在墙棱上任取异于P点的P点，若沿折线APB走，也就是沿在墙转90后的路线APB走都比直线段APB长，所以折线APB是壁虎捕蛾的最短路线由此例可以推广到一般性的结论：想求相邻两个平面上的两点之间的最短路线时，可以把不同平面

8、转成同一平面，此时，把处在同一平面上的两点连起来，所得到的线段还原到原始的两相邻平面上，这条线段所构成的折线，就是所求的最短路线例3 景泰蓝厂的工人师傅要给一个圆柱型的制品嵌金线，如下左图，如果将金线的起点固定在A点，绕一周之后终点为B点，问沿什么线路嵌金线才能使金线的用量最少？解：将上左图中圆柱面沿母线AB剪开，展开成平面图形如上页右图（把图中的长方形卷成上页左图中的圆柱面时，A、B分别与A、B重合），连接AB，再将上页右图还原成上页左图的形状，则AB在圆柱面上形成的曲线就是连接AB且绕一周的最短线路圆锥表面的最短路线也是一条曲线，展开后也是直线请看下面例题例4 有一圆锥如下图，A、B在同一

9、母线上，B为AO的中点，试求以A为起点，以B为终点且绕圆锥侧面一周的最短路线 解：将圆锥面沿母线AO剪开，展开如上右图（把右图中的扇形卷成上图中的圆锥面时，A、B分别与A、B重合），在扇形中连AB，则将扇形还原成圆锥之后，AB所成的曲线为所求四、如何平分土地：问题超市：水渠旁有一大块耕地，要画一条直线为分界线，把耕地平均分成两块，分别承包给两个人，BC边是灌溉用的水渠的一岸。两个人不知道怎么平分土地最能满足个人的需要，你看这个土地的形状（比较规则的L形）（如右图所示），应该怎样平分呢？问题数学化：如何在由两个矩形所组成（割、补）的图形中寻找一条直线，使得图形被分成两部分，且两部分的面积相等，而

10、且，均含有BC边的一部分。问题分析：1、如何才能把一个矩形的面积等分。如图，可以应用矩形的两条对角线所在的直线AC、BD，每组对边的中点所在直线MP、NQ，且这四条直线都交于同一点O，对矩形的对称中心。即经过对称中心O的任意一条直线都可以平分矩形的面积。2、利用这个结论，土地可以看成是两个矩形进行割、补得到的，分别在每个图中作两个矩形的对称中心，经过这两个点作一条直线，这条直线就可以把这两个矩形的面积进行平分，分别如上面三个图形所示：问题的延伸：三个方案确定之后，两个农民并不满意，他们认为：“这三种方法只是把土地平分了，但是靠近水源的BC边并没有被平分。”两人为了灌溉方使，都想把靠近水源的BC

11、边也平分了，谁会愿意要水源少的那块地呢？这三种分地的方法并不公平。那为了既平分土地，也平分水源，有什么办法呢？问题的分析：（如右图所示）直线QR就是原来的分界线l，取线段QR的中点为S，取线段BC的中点为P，则直线PS就是满足两个农民要求的分界线。问题的证明：与中，三组内角对应相等，且RS=PS，则两个三角形全等，所以两个三角形的面积相等，于是经过直线TP的分界仍保证了土地的平分，且过点P也使得水源得到了平分。思考：如果用后两种方案，你是否也得出了可以既平分水源也平分土地的方案？数学最值题的常用解法在中学数学题中，最值题是常见题型，围绕最大（小）值所出的数学题是各种各样，就其解法，主要为以下几

12、种：一. 二次函数的最值公式二次函数（a、b、c为常数且）其性质中有若当时，y有最小值。；若当时，y有最大值。利用二次函数的这个性质，将具有二次函数关系的两个变量建立二次函数，再利用二次函数性质进行计算，从而达到解决实际问题之目的。 例1. 某玩具厂计划生产一种玩具熊猫，每日最高产量为40只，且每日产出的产品全部售出，已知生产x只玩具熊猫的成本为R（元），售价每只为P（元），且R、P与x的关系式分别为，。（1）当日产量为多少时，每日获得的利润为1750元； （2）当日产量为多少时，可获得最大利润？最大利润是多少？ 解：（1）根据题意得 整理得 解得，（不合题意，舍去） （2）由题意知，利润为

13、所以当时，最大利润为1950元。二. 一次函数的增减性 一次函数的自变量x的取值范围是全体实数，图象是一条直线，因而没有最大（小）值；但当时，则一次函数的图象是一条线段，根据一次函数的增减性，就有最大（小）值。例2. 某工程队要招聘甲、乙两种工种的工人150人，甲、乙两种工种的工人的月工资分别是600元和1000元，现要求乙种工种的人数不少于甲种工种人数的2倍，问甲、乙两种工种各招聘多少人时可使得每月所付的工资最少？解：设招聘甲种工种的工人为x人，则乙种工种的工人为人，由题意得： 所以 设所招聘的工人共需付月工资y元，则有： （） 因为y随x的增大而减小 所以当时，（元）求最值问题利用一次函数

14、的性质来求最值问题对于一般的一次函数，由于自变量的取值范围可以是全体实数，因此不存在最大最小值（简称“最值”），但在实际问题中，因题目中的自变量受到实际问题的限制，所以就有可能出现最大或最小值。求解这类问题除正确确定函数表达式外，利用自变量取值范围可以确定最大值或最小值。例、（2008年泉州市初中学业质量检查）红星服装厂准备生产一批A、B两种型号的演出服，已知每小时生产A型演出服比B型演出服少2套，且生产18套A型演出服与生产24套B型演出服所用的时间相同。设该厂每小时可生产A型演出服a套，用含a的代数式表示该厂生产24套B型演出服所用的时间；求出a的值。若该厂要在8小时之内（含8小时）先后生

15、产A、B两种型号的演出服50套，且生产一套A、B两种型号的演出服可得利润分别为40元和30元，问应如何安排生产A、B两种型号的演出服的套数，才能使获得的总利润最大？最大的总利润是多少元？分析：（）或解得（）设生产A型演出服套，依题意得 ，解得。W利润W利润是一次函数，利用一次函数的增减性W随的增大而增大，当时，W利润有最大值例 某房地产开发公司计划建A、B两种户型的住房共80套，该公司所筹资金不少于2090万元，但不超过2096万元，且所筹资金全部用于建房，两种户型的建房成本和售价如下表：AB成本(万元/套)2528售价(万元/套)3034 (1)该公司对这两种户型住房有哪几种建房方案?(2)

16、该公司如何建房获得利润最大?(3)根据市场调查，每套B型住房的售价不会改变，每套A型住房的售价将会提高a万元(a0)，且所建的两种住房可全部售出，该公司又将如何建房获得利润最大?注：利润=售价-成本分析：(1)设A种户型的住房建x套，则B种户型的住房建(80-x)套，根据题意：该公司所筹资金不少于2090万元，但不超过2096万元，可列出两个不等式，解不等式组，即可求出x的取值范围，进而确定x的正整数值. (2)根据一次函数的增减性解决. (3)要应用分类讨论的数学思想.从而做到不重复不遗漏,注意思维的缜密性.解析：(1)设A种户型的住房建x套，则B种户型的住房建(80-x)套由题意知2090

17、25x+28(80-x)2096 48x50 x取非负整数， x为48，49，50 有三种建房方案： A型48套，B型32套；A型49套，B型31套；A型50套，B型30套 (2)设该公司建房获得利润(万元) 由题意知=5x+6(80-x)=480-x 当x=48时，最大=432(万元) 即A型住房48套，B型住房32套获得利润最大(3)由题意知=(5+a)x+6(80-x)=480+(a-1)x 当Oa1时，x=50，最大，即A型住房建50套，B型住房建30套.答:略.说明:此题的第(1)问是利用一元一次不等式组解决的,第(2) 、(3)问是利用一次函数的增减性解决问题的,要注意三问相互联系

18、.二、利用反比例函数的性质来求最值问题例：一名工人一天能生产某种玩具至个，若每天须生产这种玩具个，那么须招聘工人多少名？分析：这是一道反比例函数模型的应用题，这里是常量。设每人每天生产x个玩具，需要工人名。则有。（，且x为整数）当时，随的增大而减小，即为正整数，取至。即须招聘工人为80至134人。三、利用二次函数的性质求最值问题对于某些与二次函数有关的实际问题，如果我们能够将实际问题抽象为二次函数的数学模型，建立起二次函数的关系式，应用二次函数最值性质，可以解决许多实际问题。例将进货单价40元的商品按50元一个售出时，能卖出500个，若此商品每个涨价1元，其销售量减少10个，为了赚到最大利润，

19、售价应定为多少？解：设利润为元，每个售价为元，则每个涨（50）元，从而销售量减少 100） 答：为了赚取最大利润，售价应定为70元例、（泉州市2008年中考题）某产品第一季度每件成本为元，第二、第三季度每件产品平均降低成本的百分率为 请用含的代数式表示第二季度每件产品的成本； 如果第三季度该产品每件成本比第一季度少元，试求的值 该产品第二季度每件的销售价为元，第三季度每件的销售价比第二季度有所下降，若下降的百分率与第二、第三季度每件产品平均降低成本的百分率相同，且第三季度每件产品的销售价不低于元，设第三季度每件产品获得的利润为元，试求与的函数关系式，并利用函数图象与性质求的最大值（注：利润销售

20、价成本）分析：（1） 解得 （3）解得而， 而 当时，利用二次函数的增减性，随的增大而增大，而，当时，最大值18（元）说明：当自变量取值范围为体体实数时，二次函数在抛物线顶点取得最值，而当自变量取值范围为某一区间时，二次函数的最值应注意下列两种情形：若抛物线顶点在该区间内，顶点的纵坐标就是函数的最值。若抛物线的顶点不在该区间内，则区间两端点所对应的二次函数的值为该函数的最值。四、利用对称性来求最值问题。类这题涉及的知识面广，综合性强，解答有一定的难度。（一）在几何题组中的应用例、如图，菱形ABCD中，AB2，BAD60，E是AB的中点，P是对角线AC上的一个动点，则PE+PB的最小最是 分析：

21、由菱形的性质知：点与点关于对称。因为在上支运动，所以。要求PE+PB的最小最，即求P+PB的最小值。连接交于点，则即为所求。又BAD60，为的中点，所以，而，所以，即 P+PB的最小值为例、如图，角内有一点，在角的两边上有两点、（均不同于点），则的周长的最小值为 分析：作关于，的对称点，。连接，分别交，于，。如图所示，再连接，。易知 ，所以的周长+。根据两点之间线段最短，的周长，而，且，又，所以即为等腰直角三角形，故的周长的最小值为（二）在代数题组中应用ABOCDEMXY例1，如图，抛物线与x轴交于A、B两点，与Y轴交于C点，且A（1，0）。求抛物线的解析式及顶点的坐标判断的形状，证明你的结论。点（m，0）是轴上的一个动点，当+的值最小时，求m的值分析：（1）将A（1，0）代入得，所以抛物线的解析式配方得：，所以顶点D（2）求出AC=，BC=，而AB=5，故为RT （3）作点C关于X轴的对称点E（，0），连接DE交X轴于点M，通过两点式可求得直线DE的解析式：，当=0时，解得=（，0）即m=