【3年中考2年模拟】山东省2013届中考数学 专题突破 4.7圆（pdf） 新人教版.pdf

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1、? 年 月， 巴顿将军率领万多美军， 乘 艘战舰， 直奔距离美国 公里的摩洛哥， 在 月日凌晨登陆 月日， 海面上突然刮起西北大风， 惊涛骇浪使舰艇倾斜达 直到 月日天气仍无好转华盛顿总部担心舰队会因大风而全军覆没， 电令巴顿的舰队改在地中海沿海的任何其他港口登陆巴顿回电： 不管天气如何， 我将按原计划行动 月日午夜， 海面突然风平浪静， 巴顿军团按计划登陆成功事后人们说这是侥幸取胜， 这位“ 血胆将军” 拿将士的生命作赌注 圆内容清单能力要求圆的有关概念会利用圆的定义做出准确的判断弧、 弦、 圆心角、 弦心距的关系能综合运用弧、 弦、 圆心角、 弦心距之间的互推关系圆的性质能记住圆的性质，

2、能列举圆的特性过一点、 两点和不在一条直线上的三点作圆能画经过不在同一直线上三个点的圆圆周角与圆心角的关系， 直径所对圆周角的特征掌握同弧所对圆周角等于圆心角的特性， 会利用直径所对圆周角是直角解题三角形的外心与内心能区分外心与内心的联系与区别， 能画出三角形的外心与内心?其实， 巴顿将军在出发前就和气象学家详细研究了摩洛哥海域风浪变化的规律和相关参数， 知道 月日至日该海域虽然有大风，但根据该海域往常最大浪高波长和舰艇的比例关系， 恰恰达不到翻船的程度， 不会对整个舰队造成危险相反， 月日却是一个有利于登陆的好天气巴顿正是利用科学预测和可靠边缘参数， 抓住“ 可怕的机会” ， 突然出现在敌人

3、面前（ 续表）切线的概念会做一个圆的切线切线与过切点的半径的关系切线与经过切点的半径垂直， 凡切线存在必将切点与圆心相连切线的判定掌握切线的判定定理， 能灵活运用它解题过圆上一点画圆的计算会进行有关圆的计算弧长及扇形面积的计算牢记弧长公式及扇形面积公式圆锥的侧面积和全面积的计算能进行圆锥侧面积、 全面积、 圆柱侧面积、 全面积的计算 年山东省中考真题演练一、选择题 （ 济南） 已知犗和犗的半径是一元二次方程狓狓 的两根， 若圆心距犗犗 ， 则犗和犗的位置关系是（）外离 外切相交内切 （ 淄博） 如图，犗的半径为， 弦犃 犅槡 ， 点犆在弦犃 犅上，犃 犆犃 犅， 则犗 犆的长为（） 槡 槡 槡

4、 槡 （ 第题）（ 第题） （ 烟台） 如图，犗、犗、犗的半径均为 ，犗、犗的半径均为 ，犗与其他个圆均相外切， 图形既关于犗犗所在直线对称， 又关于犗犗所在直线对称， 则四边形犗犗犗犗的面积为（） （ 济宁） 如图， 在平面直角坐标系中， 点犘坐标为（，） ， 以点犗为圆心， 以犗 犘的长为半径画弧， 交狓轴的负半轴于点犃， 则点犃的横坐标介于（） 和 之间 和之间 和 之间 和之间（ 第题）（ 第题） （ 泰安） 如图，犃 犅是犗的直径， 弦犆 犇犃 犅， 垂足为犕， 下列结论不成立的是（）犆 犕犇犕 犆 犅犇 犅犃 犆 犇犃 犇 犆犗犕犕犇 （ 临沂） 如图，犃 犅是犗的直径， 点犈为犅

5、 犆的中点，犃 犅，犅 犈 犇 ， 则图中阴影部分的面积之和为（） 槡 槡 槡 （ 第题） （ 青岛） 已知犗与犗的直径分别是 和 ，犗犗 ， 则犗与犗的位置关系是（）外离 外切相交内切 （ 泰安） 如图，犗的弦犃 犅垂直平分半径犗 犆， 若犃 犅槡 ， 则犗的半径为（） 槡 槡?二战中， 由于应用了统计分析法， 美军采取了适当的防空对策， 日军的“ 自杀飞机” 并未取得预想的战绩， 美军大型主力舰艇被自杀飞机击沉的数量十分有限图为日本二战时期的犐 “ 樱花” 自杀飞机槡 槡 （ 第题）（ 第题） （ 枣庄） 如图，犘 犃是犗的切线， 切点为犃，犘 犃槡 ，犃 犘 犗 ， 则犗的半径为（） 槡

6、 （ 潍坊） 如图， 半径为的小圆在半径为的大圆内滚动， 且始终与大圆相切， 则小圆扫过的阴影部分的面积为（） （ 第 题）（ 第 题） （ 烟台） 如图是油路管道的一部分， 延伸外围的支路恰好构成一个直角三角形， 两直角边分别为和按照输油中心犗到三条支路的距离相等来连结管道， 则犗到三条支路的管道总长（ 计算时视管道为线， 中心犗为点） 是（） （ 临沂） 已知两圆的半径分别是 和 ， 圆心距是 ， 那么这两圆的位置关系是（）外离 外切相交内切二、填空题 （ 济南） 如图， 在 犃 犅 犆中，犅 ，犃 犅 ，犅 犆 ，以其三边为直径向三角形外作三个半圆， 矩形犈 犉 犌 犎的各边分别与半圆相

7、切且平行于犃 犅或犅 犆， 则矩形犈 犉 犌 犎的周长獉獉是（ 第 题）（ 第 题） （ 青岛） 如图， 点犃、犅、犆在犗上，犃 犗 犆 ， 则犃 犅 犆 （ 淄博） 如图，犃 犅、犆 犇是犗的弦，犃 犅犆 犇，犅 犈是犗的直径若犃 犆 ， 则犇 犈（ 第 题）（ 第 题） （ 德州） 如图， “ 凸轮” 的外围由以正三角形的顶点为圆心， 以正三角形的边长为半径的三段等弧组成已知正三角形的边长为， 则凸轮的周长等于（ 第 题） （ 泰安） 如图，犃 犅与犗相切于点犅，犃 犗的延长线交犗于点犆， 连结犅 犆，若犃 犅 犆 ，犗 犆， 则犅 犆的长为（） （ 德州） 母线长为， 底面圆的半径为的圆

8、锥的侧面积为 （ 枣庄） 如图， 小圆的圆心在原点， 半径为， 大圆的圆心坐标为（犪，） ， 半径为 如果两圆内含， 那么犪的取值范围是（ 第 题）（ 第 题） （ 日照） 如图， 在以犃 犅为直径的半圆中， 有一个边长为的内接正方形犆 犇 犈 犉， 则以犃 犆和犅 犆的长为两根的一元二次方程是 （ 泰安） 如图，犘 犃与犗相切， 切点为犃，犘 犗交犗于点犆，犅是优弧犆 犅 犃上一点， 若犃 犅 犆 ， 则犘的度数为（ 第 题）（ 第 题） （ 威海） 如图，犗的直径犃 犅与弦犆 犇相交于点犈， 若犃 犈 ，犅 犈 ，犆 犇 槡 ， 则犃 犈 犇?作战与数学常常是密不可分的， 无论是过去还是现

9、在以及将来随着现代军事科技的发展， 新式武器以及作战的测算， 更使数学充当着重要的角色， 往往其计算是否精确， 决定了武器的精确和作战的后果 （ 泰安） 如图， 直线犃 犅与半径为的犗相切于点犆，点犇、犈、犉是犗上三个点，犈 犉犃 犅， 若犈 犉槡 ， 则犈 犇 犆的度数为（ 第 题）三、解答题 （ 滨州） 如图，犘 犃、犘 犅是犗的切线，犃、犅为切点，犃 犆是犗的直径，犘 ， 求犅 犃 犆的度数（ 第 题） （ 烟台） 如图，犃 犅为犗的直径， 弦犆 犇犃 犅， 垂足为点犈，犆 犉犃 犉， 且犆 犉犆 犈（） 求证：犆 犉是犗的切线；（） 若 犅 犃 犆， 求犛犆 犅 犇犛犃 犅 犆的值（

10、第 题） （ 潍坊） 如图， 三角形犃 犅 犆的两个顶点犅、犆在圆上， 顶点犃在圆外，犃 犅、犃 犆分别交圆于犈、犇两点， 连结犈 犆、犅 犇（） 求证：犃 犅 犇犃 犆 犈；（） 若犅 犈 犆与犅 犇 犆的面积相等， 试判定三角形犃 犅 犆的形状（ 第 题） （ 济宁） 如图，犃 犅是犗的直径，犃 犆是弦，犗 犇犃 犆于点犇， 过点犃作犗的切线犃 犘，犃 犘与犗 犇的延长线交于点犘， 连结犘 犆、犅 犆（） 猜想： 线段犗 犇与犅 犆有何数量和位置关系， 并证明你的结论；（） 求证：犘 犆是犗的切线（ 第 题） （ 威海） 如图，犃 犅为犗的直径， 弦犆 犇犃 犅， 垂足为点犈，犓为犃 犆上

11、一动点，犃 犓、犇 犆的延长线相交于点犉， 连结犆 犓、犓犇（） 求证：犃 犓犇犆 犓 犉；（） 若犃 犅 ，犆 犇 ， 求 犆 犓 犉的值（ 第 题） （ 枣庄） 如图，犃 犅是犗的直径， 弦犆 犇犃 犅于点犈，过点犅作犗的切线， 交犃 犆的延长线于点犉， 已知犗 犃 ，犃 犈 （） 求犆 犇的长；（） 求犅 犉的长（ 第 题） （ 聊城） 如图，犃 犅是半圆的直径， 点犗是圆心，犆是犗 犃的中点，犆 犇犗 犃交半圆于点犇，犈是犅 犇的中点， 连结犗 犇、犃 犈， 过点犇作犇 犘犃 犈交犅 犃的延长线于点犘（） 求犃 犗 犇的度数；（） 求证：犘 犇是半圆犗的切线（ 第 题）?丘吉尔理智撤回

12、援法战机二战时期， 当德国对法国等几个国家发动攻势时， 英国首相丘吉尔应法国的请求， 动用了十几个航空中队的飞机与德国作战， 这些中队必须由欧洲大陆上的机场来维修和操作， 空战中飞机损失惨重与此同时， 法国总理要求继续增派十个中队的飞机， 丘吉尔决定同意这一要求 （ 枣庄） 如图， 点犇在犗的直径犃 犅的延长线上， 点犆在犗上， 且犃 犆犆 犇，犃 犆 犇 （） 求证：犆 犇是犗的切线；（） 若犗的半径为， 求图中阴影部分的面积（ 第 题） （ 济宁） 如图，犃 犇为犃 犅 犆外接圆的直径，犃 犇犅 犆，垂足为犉，犃 犅 犆的平分线交犃 犇于点犈， 连结犅 犇、犆 犇（） 求证：犅 犇犆 犇；

13、（） 请判断犅、犈、犆三点是否在以犇为圆心， 以犇 犅为半径的圆上？并说明理由（ 第 题） （ 临沂） 如图， 以犗为圆心的圆与犃 犗 犅的边犃 犅相切于点犆， 与犗 犅相交于点犇， 且犗 犇犅 犇已知 犃，犃 犆 槡 （） 求犗的半径；（） 求图中阴影部分的面积（ 第 题） （ 德州） 如图， 在犃 犅 犆中，犃 犅犃 犆，犇是犅 犆的中点，犃 犈平分犅 犃 犇交犅 犆于点犈，犗是犃 犅上一点，犗过犃、犈两点， 交犃 犇于点犌， 交犃 犅于点犉（） 求证：犅 犆与犗相切；（） 当犅 犃 犆 时， 求犈 犉 犌的度数（ 第 题） 年全国中考真题演练一、选择题 （ 黑龙江哈尔滨） 如图，犗是犃

14、犅 犆的外接圆，犅 ，犗 犘犃 犆于点犘，犗 犘 槡 ， 则犗的半径为（） 槡 槡 、（ 第题）（ 第题） （ 贵州黔西南州） 如图，犗是犃 犅 犆的外接圆， 已知犃 犅 犗 ， 则犃 犆 犅的大小为（） （ 陕西） 如图， 在半径为的圆犗中，犃 犅、犆 犇是互相垂直的两条弦， 垂足为犘， 且犃 犅犆 犇 ， 则犗 犘的长为（） 槡 槡 （ 第题）（ 第题） （ 重庆） 已知： 如图，犗 犃、犗 犅是犗的两条半径， 且犗 犃犗 犅， 点犆在犗上， 则犃 犆 犅的度数为（） （ 贵州铜仁） 小红要过生日了， 为了筹备生日聚会， 准备自己动手用纸板制作一个底面半径为 ， 母线长为 的圆锥形生日礼帽

15、， 则这个圆锥形礼帽的侧面积为（） （ 贵州毕节） 第三十届奥运会将于 年月 日在英国伦敦开幕， 奥运会旗图案有五个圆环组成， 下图也是一幅五环图案， 在这五个圆中， 不存在獉獉獉的位置关系是（）外离 内切外切相交?内阁知道此事后， 找来数学家进行分析预测， 并根据出动飞机与战损飞机的统计数据建立了回归预测模型经过研究发现， 如果补充率、 损失率不变， 飞机数量的下降是非常快的就是以现在的损失率损失两周， 英国在法国的“ 飓风” 战斗机便一架也不存在了， 数学家要求内阁否定这一决定， 最后丘吉尔让步了， 并将其余飞机全部撤回英国， 为下一步的国土保卫战保存了实力（ 第题）（ 第题） （ 浙江衢

16、州） 一个人工湖如图所示， 弦犃 犅是湖上一座桥， 已知桥犃 犅长 ， 测得圆周角犃 犆 犅 ， 则这个人工湖的直径犃 犇为（） 槡 槡 槡 槡 （ 广东广州） 如图，犃 犅切犗于点犅，犗 犃槡 ，犃 犅， 弦犅 犆犗 犃， 则劣弧犅 犆的弧长为（）槡 槡 （ 第题）（ 第题） （ 安徽） 如图，犗的半径为，犃、犅、犆是圆周上三点，犅 犃 犆 ， 则劣弧犅 犆的长为（） （ 湖南长沙） 已知犗、犗的半径分别是狉，狉 ， 若两圆相交， 则圆心距犗犗可能取的值是（） 二、填空题 （ 黑龙江齐齐哈尔） 用半径为， 圆心角为 的扇形围成一个圆锥， 则圆锥的高为 （ 湖北鄂州） 圆锥的底面直径是， 母线

17、长， 则圆锥的侧面积是 （ 福建莆田） 若扇形的圆心角为 ， 弧长为 ， 则扇形的半径为 （ 四川自贡） 如图，犃 犅 犆是正三角形， 曲线犆 犇 犈 犉叫做正三角形的渐开线， 其中弧犆 犇、 弧犇 犈、 弧犈 犉的圆心依次是犃、犅、犆， 如果犃 犅 ， 那么曲线犆 犇 犈 犉的长是（ 第 题）（ 第 题） （ 浙江温州） 如图，犃 犅是犗的直径， 点犆、犇都在犗上， 连结犆 犃、犆 犅、犇 犆、犇 犅， 已知犇 ，犅 犆， 则犃 犅长是 （ 江苏宿迁） 如图， 从犗外一点犃引圆的切线犃 犅，切点为犅， 连结犃 犗并延长交圆于点犆， 连结犅 犆， 若犃 ， 则犃 犆 犅（ 第 题）（ 第 题）

18、 （ 湖北黄冈） 如图， 在犗中，犕犃犖的度数为 ， 则圆周角犕犃犖三、解答题 （ 广东肇庆）如图， 在犃 犅 犆中，犃 犅犃 犆， 以犃 犅为直径的犗交犃 犆于点犈， 交犅 犆于点犇， 连结犅 犈、犃 犇交于（ 第 题）点犘求证：（）犇是犅 犆的中点；（）犅 犈 犆犃 犇 犆；（）犃 犅犆 犈 犇 犘犃 犇 （ 江苏盐城） 如图所示，犃 犆犃 犅，犃 犅 槡 ，犃 犆 ， 点犇是以犃 犅为直径的半圆犗上一动点，犇 犈犆 犇交直线犃 犅于点犈， 设犇 犃 犅（ ）（） 当 时， 求犅 犇的长；（） 当 时， 求线段犅 犈的长；（） 若要使点犈在线段犅 犃的延长线上， 则的取值范围是（ 直接写出

19、答案）（ 第 题） （ 浙江湖州） 已知， 如图， 在梯形犃 犅 犆 犇中，犃 犇犅 犆，犇 犃犇 犆， 以点犇为圆心，犇 犃长为半径的犇与犃 犅相切于犃， 与犅 犆交于点犉， 过点犇作犇 犈犅 犆， 垂足为犈（） 求证： 四边形犃 犅 犈 犇为矩形；（） 若犃 犅 ，犃 犇犅 犆， 求犆 犉的长（ 第 题）? 以算法为中心， 属于应用数学中国古代数学不脱离社会生活与生产的实际， 以解决实际问题为目标， 数学研究是围绕建立算法与提高计算技术而展开的如西汉末年（ 公元前世纪） 编纂的 周髀算经 ， 尽管是谈论盖天说宇宙论的天文学著作， 但却包含了许多数学内容， 在数学方面主要有两项成就： （）

20、提出勾股定理的特例及普遍形式； （） 测太阳高、 远的陈子测日汉， 为后来重差术（ 勾股测量法） 的先驱此外， 还有较复杂的开方问题和分数运算等 （ 浙江义乌） 如图， 已知犗的直径犃 犅与弦犆 犇互相垂直， 垂足为点犈犗的切线犅 犉与弦犃 犇的延长线相交于点犉， 且犃 犇 ， 犅 犆 犇（） 求证：犆 犇犅 犉；（） 求犗的半径；（） 求弦犆 犇的长（ 第 题） （ 湖北武汉） 如图， 点犗在犃 犘 犅的平分线上， 圆犗与犘 犃相切于点犆（） 求证： 直线犘 犅与圆犗相切；（）犘 犗的延长线与圆犗交于点犈若圆犗的半径为，犘 犆 求弦犆 犈的长（ 第 题）趋势总揽圆的有关性质与圆的有关计算是近

21、几年各地中考命题考查的重点内容， 题型以填空题、 选择题和解答题为主， 有时也出现阅读理解、 条件开放、 结论开放探索题这些新题型， 分值一般为 分 年中考有关命题的重点： 圆的有关性质的应用 直线和圆、 圆和圆位置关系的判定及应用 弧长、 扇形面积、 圆柱及圆锥的侧面积和全面积的计算 圆与相似三角形、 三角函数的综合运用以及有关的开放题、 探索题高分锦囊 熟练掌握圆的有关性质， 掌握求线段、 角的方法， 理解概念之间的相互联系和知识之间的相互转化 理解直线和圆的三种位置关系， 掌握切线的性质和判定，会根据条件解决圆中的动态问题 掌握由两圆半径的和或差与圆心距的大小关系来判定两圆的位置关系，

22、对中考试题中出现的阅读理解题、 探索题， 要灵活运用圆的有关性质， 进行合理推理与计算 如果在圆中求弦长， 一般是由圆心向弦做垂线， 利用垂径定理先求弦的一半的长， 如果有直径， 一般利用直径所对圆周角是 度来解题； 如果有切线， 一般均要将圆心与切点连结起来构造直角； 这些看似死其实活的方法在解决圆的题目时很方便 理解圆柱、 圆锥侧面展开图 对组合图形的计算要灵活运用计算方法解题常考点清单 圆： （） 在一个平面内， 线段犗 犃绕它固定的一个端点犗旋转， 另一个端点犃所形成的叫做圆（） 圆心为犗， 半径为狉的圆可以看成是所有到的距离等于的点组成的图形 弦与弧： （） 连结圆上任意两点的叫做弦

23、（） 圆上任意两点间的叫做圆弧， 简称弧 圆心角与圆周角： （） 顶点在的角叫做圆心角（） 顶点在， 并且两边都与圆的角叫做圆周角一、圆的有关性质 圆的对称性： 圆既是轴对称图形， 又是中心对称图形 垂径定理及其推论：（） 定理： 垂直于弦的直径， 并且平分弦所对的两条弧（） 推论： 平分弦（ 不是直径） 的直径于弦， 并且平分弦所对的 圆心角、 弧、 弦之间的关系：同圆或等圆中， 两个圆心角、 两条弧、 两条弦中有一组量， 它们所对应的其余各组量也 圆周角定理及其推论：（） 定理： 在同圆或等圆中， 同弧或等弧所对的圆周角都等于这条弧所对的圆心角的（） 推论： 半圆（ 或直径） 所对的圆周角

24、是， 的圆周角所对的弦是直径二、直线和圆的位置关系 几种位置关系的区别：? 具有较强的社会性在中国传统的数学文化中， 数学被儒家学派作为培养人的道德与技能的基本知识 六艺（ 礼、 乐、 射、 御、 书、 数）之一， 它的作用在于“ 通神明、 顺性命， 经世务、 类万物” ， 所以中国传统数学总是被打上中国哲学与古代学术思想的烙印， 往往与术数交织在一起同时， 数学教育与研究往往被封建政府所控制， 如唐宋时代的数学教育与科举制度、 历代数学家往往是政府的天文官员， 这些事例充分反映了这一事实直线和圆的位置关系相离相切相交图形公共点个数公共点名称无直线名称无圆心到直线的距离犱与半径狉的大小关系 圆

25、的切线的性质和判定：（） 性质： 如图，犆 犇为犗的切线，犅 犃为直径，犃为切点犅 犃犆 犇， 即圆的切线于过切点的半径（） 判定：经过半径的外端并且这条半径的直线是圆的切线如图，犗 犃为犗的半径，犆 犇犗 犃直线犆 犇是圆心到直线的距离等于圆的， 则这条直线是该圆的切线如图，犗 犃犆 犇，犗 犃狉犆 犇是三、三角形的外接圆、 内切圆 三角形的外接圆： 经过三角形的可以做一个圆， 这个圆叫做三角形的外接圆， 外接圆的圆心叫做这个三角形的外心 与三角形各边都的圆叫做三角形的内切圆， 内切圆的圆心叫做三角形的内心四、切线长与反证法 切线长： 经过圆外一点作圆的， 这点和切点之间的长， 叫做这点到圆

26、的切线长 切线长定理： 从圆外一点可以引圆的两条， 它们的相等， 这一点和圆心的连线这两条切线的夹角 反证法： 首先假设命题的结论， 由此经过推理得出， 由矛盾断定所作假设， 从而得到原命题成立， 这种方法叫做反证法五、圆和圆的位置关系位置外离外切相交内切内含图形公共点个数犱与犚、狉的数量关系易混点剖析 利用垂径定理进行证明或计算， 通常利用半径、 弦心距和弦的一半组成的直角三角形求解由于圆中一条弦对应的弧以及圆内的两条平行弦与圆心的位置关系有两种情况， 所以利用垂径定理计算时， 不要漏解 证明直线与圆的相切， 一般有两种情况：（） 已知直线与圆有公共点， 这时连结圆心与公共点的半径， 证明该

27、半径与已知直线垂直（） 不知直线与圆有公共点， 这时过圆心作与已知直线垂直的线段， 证明此线段的长与半径相等 在解决两圆相交问题时， 常添连心线， 公共弦等辅助线，使两圆半径、 圆心距、 公共弦长的一半集中于直角三角形中， 利用三角形的有关知识加以解决 等弧的弧长一定相等， 但弧长相等的弧不一定是等弧易错题警示【 例】（ 山东聊城） 如图，犗是犃 犅 犆的外接圆，犃 犅犃 犆 ，犅 犆 ，犘是犅 犆上的一个动点， 过点犘作犅 犆的平行线交犃 犅的延长线于点犇（） 当点犘在什么位置时，犇 犘是犗的切线？请说明理由（） 当犇 犘为犗的切线时， 求线段犇 犘的长【 解析】此题主要考查了切线的判定与性

28、质以及勾股定理和相似三角形的判定与性质， 根据已知得出犃 犅 犈犃 犇 犘是解题关键对切线的判定与性质定理混淆是解题的误区（） 根据当点犘是犅 犆的中点时， 得出犘 犅 犃犘 犆 犃， 得出犘 犃是犗的直径， 再利用犇 犘犅 犆， 得出犇 犘犘 犃， 问题得证（） 利用切线的性质， 由勾股定理得出半径长， 进而得出犃 犅 犈犃 犇 犘， 即可得出犇 犘的长【 答案】（） 当点犘是犅 犆的中点时，犇 犘是犗的切线理由如下：犃 犅犃 犆，犃 犅犃 犆又犘 犅犘 犆，犘 犅 犃犘 犆 犃犘 犃是犗的直径犘 犅犘 犆， 又犃 犅犃 犆，犘 犃犅 犆又犇 犘犅 犆，犇 犘犘 犃犇 犘是犗的切线（） 连结

29、犗 犅， 设犘 犃交犅 犆于点犈? 寓理于算， 理论高度概括由于中国传统数学注重解决实际问题， 再加上中国人的综合、 归纳思维， 所以中国传统数学不关心数学理论的形式化， 但这并不意味着中国传统数学仅停留在经验层次而无理论建树其实， 中国古代数学的算法中蕴涵着建立这些算法的理论基础， 中国古代数学家习惯把数学概念与方法建立在少数几个不证自明、 形象直观的数学原理之上， 如代数中的“ 率” 的理论、 平面几何中的“ 出入相补” 原理、 立体几何中的“ 阳马术” 等由垂径定理， 得犅 犈犈 犆 在 犃 犅 犈中， 由勾股定理， 得犃 犈犃 犅犅 犈槡 槡 设犗的半径为狉， 则犗 犈 狉在 犗 犅

30、犈中， 由勾股定理， 得狉 （ 狉）解得狉 犇 犘犅 犆，犃 犅 犈犇又 ，犃 犅 犈犃 犇 犘犅 犈犇 犘犃 犈犃 犘， 即犇 犘 解得犇 犘 【 例】（ 浙江金华） 如图， 已知犃 犅是犗的直径，点犆、犇在犗上， 点犈在犗外，犈 犃 犆犇 （） 求犃 犅 犆的度数；（） 求证：犃 犈是犗的切线；（） 当犅 犆 时， 求劣弧犃 犆的长【 解析】本题主要考察了切线的判定； 圆周角定理； 弧长的计算对公式及定义的记忆不牢或不准是学生最常见得错误在圆周角定理要强调“ 同弧” 的重要性【 答案】（）犃 犅 犆与犇都是弧犃 犆所对的圆周角，犃 犅 犆犇 （）犃 犅是犗的直径，犃 犆 犅 犅 犃 犆 犃

31、 犅 犆 ，犅 犃 犈犅 犃 犆犈 犃 犆 ，即犅 犃犃 犈犃 犈是犗的切线（） 如图， 连结犗 犆犗 犅犗 犆，犃 犅 犆 ，犗 犅 犆是等边三角形犗 犅犅 犆 ，犅 犗 犆 犃 犗 犆 劣弧犃 犆的长为 年山东省中考仿真演练一、选择题 （ 东阿县一模） 如图， 在犃 犅 犆中，犆 ，犃 犆，犃 犅 ， 点犘在犃 犆上，犃 犘 ， 若犗的圆心在线段犅 犘上，且犗与犃 犅、犃 犆都相切， 则犗的半径是（） （ 第题）（ 第题） （ 聊城一模） 如图， 顺次连结圆内接矩形各边的中点， 得到菱形犃 犅 犆 犇， 若犅 犇 ，犇 犉 ， 则菱形犃 犅 犆 犇的边长为（） 槡 槡 （ 山东实验中学模拟

32、） 将半径为 的圆形铁皮， 做成四个相同的圆锥容器的侧面（ 不浪费材料， 不计接缝处的材料损耗） ， 那么每个圆锥容器的底面半径为（） （ 滨州模拟） 如图， 将一个半径为， 圆心角为 的扇形犃 犗 犅， 如同放置在直线犾上（犗 犃与直线犾重合） ， 然后将这个扇形在直线犾上无摩擦滚动至犗 犃 犅 的位置， 在这个过程中， 点犗运动到点犗 的路径长度为（）（ 第题） （ 海阳模拟） 如图， 把正犃 犅 犆的外接圆对折， 使点犃与劣弧犅 犆的中点犕重合， 折痕分别交犃 犅、犃 犆于点犇、犈，若?对博弈问题的研究可以追溯到 世纪甚至更早， 但都是零星的、 片断的研究， 带有很大的偶然性， 很不系统

33、 世纪初， 塞梅鲁、 鲍罗和冯诺伊曼已经开始研究博弈的准确的数学表达冯诺依曼是生于匈牙利的天才数学家他不仅创立了经济博弈论， 还发明了计算机 年， 冯诺依曼和摩根斯特恩的 博弈论与经济行为 一书中提出的标准型、 扩展型和合作型博弈模型解的概念和分析方法， 标志着现代系统博弈理论的初步形成然而诺依曼的博弈论过于抽象， 使应用范围受到很大限制， 因此影响力很有限犅 犆 ， 则线段犇 犈的长为（）（ 第题） 槡 槡 二、填空题 （ 聊城一模） 已知两圆的圆心距犱 ， 两圆的半径长是方程狓 狓 的两根， 则这两圆的位置关系是 （ 山东实验中学模拟） 已知犗与犗两圆内含，犗犗 ，犗的半径为， 那么犗的半

34、径狉的取值范围是 （ 济宁模拟） 如图， 王虎使一长为 ， 宽为 的长方形木板， 在桌面上做无滑动的翻滚（ 顺时针方向） 木板上点犃位置变化为犃到犃到犃， 其中第二次翻滚被桌面上一小木块挡住， 使木板与桌面成 角， 则点犃翻滚到犃时共走过的路径长为 （ 结果保留）（ 第题） （ 日照模拟） 圆锥的底面半径为， 侧面积为 ， 则圆锥的高线长为 （ 济南模拟） 如图，犃 犅是犗的直径， 弦犆 犇犃 犅， 连结犗 犆、犃 犇，犗 犆 犇 ， 则犃（ 第 题）三、解答题 （ 聊城一模） 如图所示，犃 犅是犗的直径，犅 犇是犗的弦， 延长犅 犇到点犆， 使犇 犆犅 犇， 连结犃 犆， 过点犇作犇 犈犃

35、犆于犈（） 求证：犃 犅犃 犆； （） 求证：犇 犈为犗的切线（ 第 题） （ 德州一模） 已知如图（） ，犗的直径犃 犅 ，犃犕和犅 犖是它的两条切线，犇 犈切犗于点犈， 交犃犕于点犇， 交犅 犖于点犆（） 设犃 犇犿，犅 犆狀， 若犿，狀是方程狓 狓犪 的两个根， 求犿，狀（） 如图（） ， 连结犗 犇、犅 犈， 求证：犗 犇犅 犈（ 第 题） （ 德州模拟） 如图，犃 犅为犗的直径， 弦犆 犇犃 犅于点犈（） 当犃 犅 ，犆 犇 时， 求犗 犈的长；（）犗 犆 犇的平分线交犗于点犘， 当点犆在上半圆（ 不包括点犃、犅） 上移动时， 对于点犘， 下面三个结论：到犆 犇的距离保持不变；平分下

36、半圆；等分犇 犅其中正确的为， 请予以证明（ 第 题） （ 临沂模拟） 如图所示， 菱形犃 犅 犆 犇的顶点犃、犅在狓轴上， 点犃在点犅的左侧， 点犇在狔轴的正半轴上，犅 犃 犇 ， 点犃的坐标为（ ，）（） 求线段犃 犇所在直线的函数表达式；（） 动点犘从点犃出发， 以每秒个单位长度的速度， 按照犃犇犆犅犃的顺序在菱形的边上匀速运动一周，设运动时间为狋秒求狋为何值时， 以点犘为圆心、 以为半径的圆与对角线犃 犆相切？（ 第 题）?布丰投针问题（ ） 是第一个用几何形式表达概率问题的例子这个问题是 世纪法国数学家布丰和勒克莱尔提出的， 并记载于布丰 年出版的著作中 “ 在一平面上画有一组间距为

37、犱的平行线， 将一根长度为犔（犔犱） 的针任意投掷到这个平面上， 求此针与任意平行线相交的概率”布丰证明了该针与任意平行线相交的概率为犘犔犱利用这公式， 将这一试验重复进行多次， 并记下相交的次数， 便得到犘的经验值， 即可算出圆周率的近似值 年全国中考仿真演练一、选择题 （ 浙江丽水一模） 如图，犃 犅为犗的直径， 点犆、犇在犗上，犅 犃 犆 ， 则犃 犇 犆（） （ 第题）（ 第题） （ 四川泸县春期福集镇青龙中学中考模拟） 将量角器按如图所示的方式放置在三角形纸板上， 使点犆在半圆上点犃、犅的读数分别为 ， ， 则犃 犆 犅的大小为（） （ 北京西城区初三一模） 如图，犃 犅是犗的直径，

38、犃 犅，犃 犆是弦，犃 犆 槡 ，犃 犗 犆为（） （ 第题）（ 第题） （ 安徽马鞍山六中中考一模） 如图， 两正方形彼此相邻且内接于半圆， 若小正方形的面积为 ， 则该半圆的半径为（）（ 槡 ） 槡 槡 （ 安徽淮南市洞山中学第四次质量检测） 如图，犃 犅是犗的直径，犆、犇为圆上两点，犃 犗 犆 ， 则犇等于（） （ 第题）（ 第题） （ 浙江金华一模） 如图，犃 犅 犆内接于犗，犃 犇是犗的直径，犃 犅 犆 ， 则犆 犃 犇的度数是（） （ 福建福州模拟卷） 一条排水管的截面如图所示， 已知排水管的截面半径犗 犅 ， 截面圆圆心犗到水面的距离犗 犆是， 则水面宽犃 犅是（） （ 第题）（

39、 第题） （ 浙江衢州） 一个圆形人工湖如图所示， 弦犃 犅是湖上的一座桥， 已知桥犃 犅长 ， 测得圆周角犃 犆 犅 ， 则这个人工湖的直径犃 犇为（） 槡 槡 槡 槡 （ 湖南娄底） 若犗的半径为 ， 点犃到圆心犗的距离为 ， 那么点犃与犗的位置关系是（）点犃在圆外 点犃在圆上点犃在圆内不能确定二、填空题 （ 上海金山区中考模拟） 已知两圆的圆心距为， 其中一个圆的半径长为， 那么当两圆内切时， 另一圆的半径为 （ 广东深圳龙城中学质量检测） 如图， 点犃、犇在犗上，犅 犆是犗的直径，犇 ， 则犗 犃 犆（ 第 题）（ 第 题） （ 河南省阳市二中模拟） 如图，犃 犅切犗于点犃，犅 犗交犗

40、于点犆， 点犇是犆 犕犃上异于点犆、犃的一点， 若犃 犅 犗 ， 则犃 犇 犆的度数是 （ 江苏通州兴仁中学一模） 如图，犃 犅是半圆犗的直径，犗 犇犃 犆，犗 犇 ， 则弦犅 犆的长为（ 第 题） （ 北师大昆明附中） 两圆的半径分别为 和 ，圆心距为 那么这两圆的位置关系是（ 第 题） （ 北京大兴区模拟） 如图， 在犗中，犆 犇是直径，犃 犅是弦，犃 犅犆 犇于犕，犆 犇 ，犇犕犆 犕 ， 则弦犃 犅的长为 ?熊庆来（ ） ， 字迪之， 云南弥勒人， 岁考入云南省高等学堂， 岁赴比利时学采矿， 后到法国留学， 并获博士学位他主要从事函数论方面的研究， 定义了一个“ 无穷级函数” ， 国际

41、上称为熊氏无穷数熊庆来热爱教育事业， 为培养中国的科学人才， 做出了卓越的贡献 年， 他在清华大学任数学系主任时， 从学术杂志上发现了华罗庚的名字， 了解到华罗庚的自学经历和数学才华以后， 毅然打破常规， 请只有初中文化程度且年仅 岁的华罗庚到清华大学在熊庆来的培养下， 华罗庚后来成为著名的数学家我国许多著名的科学家都是他的学生在 多岁高龄时， 他虽已半身不遂， 还抱病指导两个研究生， 他们就是青年数学家杨乐和张广厚 （ 浙江泰顺七中模拟） 如图，犃 犅是犗的弦，犃 犅 ，犗的半径 ， 半径犗 犆犃 犅于点犇， 则犗 犇的长是 （ 第 题）三、解答题 （ 上海金山区中考模拟） 在平行四边形犃

42、犅 犆 犇中， 以点犃为圆心，犃 犅为半径的圆， 交犅 犆于点犈（） 求证：犃 犅 犆犈 犃 犇；（） 如果犃 犅犃 犆，犃 犅 ， 犅， 求犈 犆的长（ 第 题） （ 江苏徐州市模拟） 如图， 平行四边形犃 犅 犆 犇中， 以犃为圆心，犃 犅为半径的圆分别交犃 犇、犅 犆于点犉、犌， 延长犅 犃交圆于犈求证：犈 犉犉 犌（ 第 题） （ 江西南昌十五校联考） 如图，犅 犇是犗的直径，犃、犆是犗上的两点， 且犃 犅犃 犆，犃 犇与犅 犆的延长线交于点犈（） 求证：犃 犅 犇犃 犈 犅；（） 若犃 犇 ，犇 犈 ， 求犗半径的长（ 第 题） 已知， 如图所示，犅 犆与犃 犇的度数之差为 ， 弦犃

43、 犅与犆 犇交于点犈，犆 犈 犅 ， 则犆 犃 犅等于（） （ 第题）（ 第题） 如图，犃 犅犅 犆，犃 犅犅 犆 ， 弧犗 犃与弧犗 犆关于点犗中心对称， 则犃 犅、犅 犆、 弧犆 犗、 弧犗 犃所围成的面积是 两圆内切， 其中一个圆的半径为， 两圆的圆心距为， 则另一个圆的半径是（ 第题） 如图所示， 已知在 犃 犅 犆中，犃 犅 犆 ，犅 犃 犆 ，犃 犅 槡 ， 将犃 犅 犆绕顶点犆顺时针旋转至犃 犅 犆 的位置，且犃、犆、犅 三点在同一条直线上， 则点犃经过的最短路线的长度是 在一次数学探究性学习活动中， 某学习小组要制作一个圆锥体模型， 操作规则是： 在一块边长为 的正方形纸片上剪

44、出一个扇形和一个圆， 使得扇形围成圆锥的侧面时， 圆恰好是该圆锥的底面他们首先设计了如图所示的方案一， 发现这种方案不可行， 于是他们调整了扇形和圆的半径， 设计了如图所示的方案二（ 两个方案中， 圆与正方形相邻两边及扇形的弧均相切， 方案一中扇形的弧与正方形的两边相切）（） 请说明方案一不可行的理由；（） 判断方案二是否可行； 若可行， 请确定圆锥的母线长及其底面圆半径； 若不可行， 请说明理由（ 第题） 张宇同学是一名天文爱好者， 他通过查阅资料得知： 地球、 火星的运行轨道可以近似地看成是以太阳为圆心的两个同心圆， 且这两个同心圆在同一平面上（ 如图所示）由于地球和火星的运动速度不同，

45、所以二者的位置不断发生变化当地球、 太阳和火星三者处在同一条直线上， 且太阳位于地球、 火星中间时， 称为“ 合” ； 当地球、 太阳和火星三者处在同一条直线上， 且地球位于太阳、 火星中间时， 称为“ 冲”另外， 从地球上看火星与太阳， 当两条视线互相垂直时， 分别称为“ 东方照” 和“ 西方照”已知地球距太阳 千万千米， 火星距太阳 千万千米（） 分别求“ 合” “ 冲” “ 东方照” “ 西方照” 时， 地球与火星的距离； （ 结果保留准确值）（） 如果从地球上发射宇宙飞船登上火星， 为了节省燃料， 应选择在什么位置时发射较好？说明你的理由（ 注： 从地球上看火星， 火星在地球左、 右两

46、侧时分别叫做“ 东方照” “ 西方照” ）（ 第题） 如图，犗的内接正五边形犃 犅 犆 犇 犈的对角线犃 犇与犅 犈相交于点犕（） 请直接写出图中所有等腰三角形；（） 求证：犅犕犅 犈犕 犈（ 第题） 解析 过点犗向犃 犅作垂线犗 犇， 垂足为犇， 连结犗 犃，则犃 犇犃 犅槡 根据勾股定理得犗 犇 又犃 犆犃 犅槡 ， 所以犆 犇犃 犇犃 犆槡 在直角三角形犗 犇 犆中， 利用勾股定理得犗 犆的长是槡 （ ）槡槡槡 解析 如图， 连结犗犗、犗犗图形既关于犗犗所在直线对称， 又关于犗犗所在直线对称，犗犗犗犗，犗、犗、犗共线，犗、犗、犗共线犗，犗，犗的半径均为 ，犗，犗的半径均为 ，犗的直径为，

47、犗的直径为 犗犗 ，犗犗 犛四边形犗犗犗犗犗犗犗犗 （ ） 解析点犘坐标为（ ，） ，犗 犘 槡槡 点犃、犘均在以点犗为圆心， 以犗 犘为半径的圆上，犗 犃犗 犘槡 ， 槡 点犃在狓轴的负半轴上，点犃的横坐标介于 和 之间 解析犃 犅是犗的直径， 弦犆 犇犃 犅， 垂足为犕，犕为犆 犇的中点， 即犆 犕犇犕犅为犆 犇的中点， 即犆 犅犇 犅故选项、成立在犃 犆 犕和犃 犇犕中，犃犕犃犕，犃犕 犆犃犕犇 ，犆 犕犇犕，犃 犆 犕犃 犇犕（ ）犃 犆 犇犃 犇 犆故选项成立而犗 犕与犕犇不一定相等， 选项不成立 解析 如图， 连结犃 犈、犗 犈、犗 犇（ 第题）犃 犅是直径，犃 犈 犅 又犅 犈

48、犇 ，犃 犈 犇 犃 犗 犇 犃 犈 犇 犗 犃犗 犇，犃 犗 犇是等边三角形犅 犃 犆 点犈为犅 犆的中点，犃 犈 犅 ，犃 犅犃 犆犃 犅 犆是等边三角形，犈 犇 犆也是等边三角形， 且犈 犆犅 犆 犅 犗 犈犈 犗 犇 犅 犈和弦犅 犈围成的部分的面积犇 犈和弦犇 犈围成的部分的面积阴影部分的面积犛犈 犇 犆槡 槡 解析 因为两圆的半径之和 等于两圆的圆心距 所以根据两圆位置关系的判定， 可知两圆外切 解析 连结犗 犃， 设犗的半径为狉， 由于犃 犅垂直平分半径犗 犆，犃 犅槡 ， 则犃 犇犃 犅槡 ，犗 犇狉， 再利用勾股定理即可得出结论 解析 连结犗 犃， 则在 犃 犗 犘中，犗 犃

49、犘 犃 犃 犘 犗槡 槡 槡 解析 由半径为的小圆在半径为的大圆内滚动，且始终与大圆相切， 即可求得空白处的圆的半径为 （ ） 即可求得阴影部分的面积： 解析 此题可转化为求三角形内切圆的半径由勾股定理可得斜边为 ， 设内切圆半径为狉， 则利用面积法可得：狉（ ） ， 解得狉 从而管道为 （） 解析 本题直接告诉了两圆的半径及圆心距， 根据数量关系与两圆位置关系的对应情况便可直接得出答案外离， 则犘犚狉； 外切， 则犘犚狉； 相交， 则犚狉犘犚狉； 内切， 则犘犚狉； 内含， 则犘犚狉（犘表示圆心距，犚，狉分别表示两圆的半径） 解析 如图， 设半圆犃 犆的圆心为犇，犈犎与半圆相切于点犕， 连结

50、犇犕， 并延长犕犇交犅 犆于点犖， 交犉 犌于点犘， 则有犇犕犈犎，犕犘犉 犌（ 第 题）犕犘犈 犉， 且犕犘犈 犉犈 犉犃 犅，犕犘犃 犅犃 犇犇 犆，犅 犖犆 犖， 即点犖为半圆犅 犆的圆心点犘是切点犃 犅 ，犅 犆 ，犃 犆 犇犕，犇犖，犖 犘， 即犈 犉犕犘 同理可得犈犎 矩形犈 犉 犌犎的周长是 解析 在优弧犃 犇 犆上取点犇， 连结犃 犇，犆 犇犃 犗 犆 ，犃 犇 犆犃 犗 犆 犃 犅 犆犃 犇 犆 ，犃 犅 犆 犃 犇 犆 解析 连结犃 犇， 则犃 犇 犆犇 犃 犅 因为犅 犈是犗的直径， 则犇 犈 犅犇 犅 犈 因为同弧所对的圆 周 角 相 等， 所 以犇 犃 犅 犇 犈 犅