第7章.波动.ppt

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1、1,第21章 波动,2,第21章 波动,21.1 行波 21.2 简谐波21.3 物体的弹性形变21.4 弹性介质中的波速21.5 波的能量21.6 惠更斯原理与波的反射和折射21.7 波的叠加 驻波21.11多普勒效应,3,波动：振动在空间的传播过程叫做波动 波动是一种重要的运动形式,机械波（水波、声波、地震波）电磁波（无线电波、光、X-ray）物质波（电子波、中子波.）,种类:,各种波的本质不同，传播机理不同，但其基本传播规律相同,*机械波：机械扰动的传播。,本章讨论：机械波的特征和有关规律 :(1)波动的基本概念；(2)与波的传播特性有关的原理、现象和规律； (3)与波的叠加特性有关的原

2、理、现象和规律。,4,21.1 -21.2 行波，简谐波,一. 机械波的形成,t = T/4,t = T/2,t = 3T/4,t = T,t = 0,弹性绳上的横波,质元振动方向,5, 弹性媒质的质元受外界扰动而发生振动时， 媒质各部分间的弹性联系，会使振动传播， 这就形成了波动 机械波。, 波动是振动状态的传播，不是媒质的传播， 振动质元并未“随波逐流”。, 形成机械波的条件：波源 弹性媒质, “上游”质元依次带动“下游”质元振动。, 某时刻某质元的振动状态将在较晚的时刻 在“下游”某处出现。,6,二. 波的几何描述,波线：表示波的传播方向的射线（波射线）,波面：媒质中振动相位相同的点组成

3、的面 （等相面）,波阵面：某时刻波到达的各点所构成的面 （波前）,7,三. 波的分类,按波的性质：机械波，电磁波等,按波线与振动方向关系：横波，纵波,按波面形状：平面波，球面波，柱面波,按复杂程度：简谐波，复波,按持续时间：连续波，脉冲波,按波形是否传播：行波，驻波,.,8,1. 波速 u ：,振动状态传播的速度,一般由媒质的性质和波的类型决定，在色散媒质中，还与频率有关。,2. 周期 T ：,一个完整波通过波线上某点所需时间，由波源决定（波源、观测者均不动时）。,频率,角频率,四. 波的特征量,注意：波速 u 不是媒质质元运动速度。,9,3. 波长 ：,波线上相邻的振动状态相同的两质元间的距

4、离，由波源和媒质共同决定，反映波的空间周期。, 波数,方向：波的传播方向,大小：,10,某种物理量的扰动的传播称为行波。,五. 行波,11, 具有沿 +x 方向传播的性质。,同理 具有沿 x 方向传播的性质。,是行波波函数。,即, t 时刻 x 处的扰动在 t+t 时刻传到 x+x 处。,12,六. 简谐波,如果波传播的扰动是简谐振动，这样的波称为简谐波（余弦波，单色波）。,1. 一维平面简谐波的波函数,以在均匀、无限大、无吸收的（振幅不变）媒质中的机械横波为例，设：, 波沿 +x 方向传播, 波速为 u, x = 0 处质元振动方程,13,波函数为：,14,沿 -x 方向传播的波函数是什么？

5、,【思考】,注意：上面波函数都假设了 x = 0 处质元振动 的初相位为0。,15,波在某点的相位反映该点质元的“运动状态”，,所以简谐波的传播也是媒质振动相位的传播。,设 t 时刻 x 处的相位经 dt 传到 x +dx 处，有：, 简谐波的波速就是相速度。,相速度 up,16,2. 波函数的意义, x 一定，y t 给出 x 点的振动方程。, t 一定，y x 给出 t 时刻空间各点位移分布。,17,3. 如何求一维简谐波函数,波沿传播方向每增加 的距离，相位落后2：, 相位关系：某时刻某质元的相位（振动 状态）将在较晚时刻于“下游”某处出现。,18, 还需 3 条件：, 波的传播方向,

6、波长 （或 k, 或 u）, 某参考点 p 的振动方程：,19,【例1】,对 a 点左方的上游点，上式成立吗？,波长 ，沿 +x 方向传播，,已知 x = d 处的参考点 a 的振动方程为,波函数,【思考】, 任一点 x 的振动方程：,20,【例2】,求：反射波函数 y(x, t),解：,全反射， A 不变。,21,相位落后：,再考虑在反射壁 S 处，反射波相位突变 ，,l + (l x) = 2l x,波由 0 点经壁反射到 x 点传播的距离为：,22,【例3】,已知：沿 +x 方向传播的波在 x = 0点,解：,0点初相位为 -/2,的振动曲线如图示。,画 t = 0 时的波形图。,几何法

7、,23,21.3 物体的弹性形变,自学中着重搞清：线变、切变和体变的概念，以及与三种变化相应的材料的弹性模量。,24,21.4 弹性介质中的波速,一. 1 维波动方程,u 波速,任意平面波波函数都满足此微分方程，都是波动方程的解。,它是线性方程，所以由若干一维简谐波线性叠加组成的任一平面波也是解。,25,二. 机械波波速 u 与媒质性质的关系,26,27,因为 G n2 ，n1 光密媒质，n2 光疏媒质。,42,从光密媒质到光疏媒质，折射角r 入射角 i ，,当入射角 i 临界角 iC 时，产生全反射。,iC 临界角,43,四. 惠更斯原理的局限性,惠更斯原理可以解释波的衍射、反射和折射，但存

8、在不足： 不能解释波为何不能倒退； 波的强度及其分布； 不能正确说明某些波动现象，如干涉等。,全反射应用：光导纤维,44,21.7 波的叠加和驻波,一. 波的叠加原理,波传播的独立性：,两不同形状的正脉冲,大小形状相同的正负脉冲,45,现象：红、绿光束空间交叉相遇，红仍是红、绿仍是绿；听乐队演奏，仍可辨出不同乐器的音色、旋律。,波的叠加原理：在几列波相遇而互相交叠的区域中，某点的振动是各列波单独传播时在该点引起的振动的合成。,波传播的独立性：几列波可以保持各自特点（传播方向、振动方向、振幅、波长、频率）同时通过同一媒质，不受其它波的影响。,46,波的叠加原理由波动方程的线性所决定，当波的振幅、

9、强度过大时，对机械波，媒质形变与弹力的关系不再呈线性；对电磁波，介质不再是线性介质，叠加原理不再成立。,二. 波的干涉现象,波叠加时在空间出现稳定的振动加强和减弱的分布叫波的干涉。,相干条件：, 频率相同 振动方向相同 相位差固定,水波的干涉,47,点P 的两个分振动,常量,48,1 ) 合振动的振幅（波的强度）在空间各点的分布随位置而变，但是稳定的.,49,解,设 A 的相位较 B 超前，则,点P 合振幅,例 如图所示，A、B 两点为同一介质中两相干波源.其振幅皆为5cm，频率皆为100Hz，当点 A 为波峰时，点B 为波谷.设波速为10m/s，试写出由A、B发出的两列波传到点P 时干涉的结

10、果.,50,三. 驻波,设两列行波分别沿 +x 方向和 x 方向传播，,1. 驻波的描述,两列相干的行波沿相反方向传播而叠加时，就形成驻波，是一种常见的重要干涉现象。,在 x = 0 处，两列波的初相位均为 0：,+x 方向：,x 方向：,51,为简单，令,如图，各点都做简谐振动，振幅随位置 x 的不同而不同。, 不具备传播特征,52,各处不等大，出现了波腹（振幅最大处）和波节（振幅最小处）。相邻波节间距离 /2，测量波节间距可得行波波长。,没有x 坐标，故没有了相位的传播。驻波是分段振动 驻振动，两相邻波节间为一段。同一段振动相位相同；相邻段振动相位相反。, 振幅：, 相位：,2. 驻波的特

11、点,53,波节,波腹,54,合能流密度为, 能量：,没有单向能量传输 驻波不传播能量。驻波能量被“封闭”在相邻波节和波腹间的/4的范围内，在此区间质元间有能量交换：,能量由两端向中间传，,瞬时位移为0，,能量由中间向两端传，,势能 动能。,动能 势能。,势能为0，动能最大。,55,3. 的情形,设,此时仍可称“驻波”，但波节处有振动。,马达激励绳索弦驻波,水波盘演示衍射、干涉,【演示】,圆环弦驻波,56,四. 波在界面的反射，“半波损失”,入射波,反射波,57,（2）若 z1 z2 ，则 1 = 1,反射波：,相位关系,即波密波疏，在界面处反射波和入射波同相,即波疏波密，在界面处反射波有相位突

12、变 , 半波损失,58,入射波和反射波的波形：,59,2）S1 面反射波 y1， 设振幅为A1,求：,1）1区入射波 y1,4）使反射波 y1 和 y1 在 1 区干涉相消的 Dmin,3）S2 面上反射回 1 区的波 y1，设振幅为 A1,60,解：,1）,2）,61,3）,62,4）如何使 y1 和 y1 产生相消干涉：,令,令,y1 和 y1 合成的波仍是行波，,其振幅 A1合 由 1 1 决定。,63,相长干涉：,相消干涉：,1 1 = 2k (k = 0, 1, 2),1 1 = (2k +1) (k = 0, 1, 2),使 y1 和 y1 产生相消干涉应满足：,媒质 2 可作为隐

13、形涂层。,消声器原理也是利用波的干涉相消。,64,五. 简正模式,驻波可以通过界面的反射叠加产生。实际上，任何有边界的系统内都可以存在驻波。驻波本质是振动，是多自由度系统的集体振动。,类比弹簧振子系统可知：驻波系统也存在特定的振动频率，而且不止一个。一个频率对应一个稳定振动方式，称作系统的简正模式，相应频率称作简正频率或固有频率。,固有频率完全由驻波系统（包含边界条件）决定，与外界因素无关。,65,两端固定的弦中的简正模式,（u 是弦中波速）,固定点为波节：,一端固定，一端自由,两端自由,67,68,圆环弦上的驻波（简正模式）,此模型在量子力学早期是重要物理图像,69,求：声波在空气中的声速

14、u 。,解：,发生共鸣时形成驻波，,管口为波腹，水面为波节。,空气柱长度满足条件：,70,声速：,两次共鸣的频率不变 两次激发模式相同，,波长满足：,用横波示意声音的位移纵波,71,(3) 以B 为反射点求合成波，并分析波节，波腹的位置坐标,(1) 以D 为原点，写出波函数；,平面简谐波 t =0时刻的波形如图，此波波速为 u ，沿x 方向传播，振幅为A，频率为 ,(2) 以 B 为反射点，且为波节，若以 B 为 x 轴坐标原点，写出入射波，反射波方程；,例,解,(1),(2),求,B,D,x,72,(3),波腹,波节,73,21.11多普勒效应,一. 机械波的多普勒效应,多普勒效应：由于波源

15、或观察者的运动，使接收到的频率不同于波源频率的现象。,波源频率S ：波源在单位时间内振动的次数， 或发出的完整波的数目。,波的频率 ：单位时间内，媒质质元的振动 次数，或通过媒质中某点完整波的数目。,74,运动方向：在波源 S 和接收器 R 的连线方向。,接收频率R ：接收器（观察者）在单位时间 内接收的振动次数或完整波的数目。,参考系和速度：参考系是媒质，波源速度 vS 和接收器速度 vR 是相对媒质的速度。,符号规定：波源向着接收器运动 vS 0，背着 接收器运动 vS 0，背着波源运动 vR 0 。,75,R 接近 S ：,R 远离 S ：,1. 波源静止 vS = 0，接收器运动 vR

16、 0,波源静止，所以：,接收器运动，单位时间内接收的完整波个数发生变化：,76,波源运动前方波长缩短,2. 波源运动 vS 0，接收器静止 vR = 0,接收器静止，所以：,77,水波的多普勒效应，波源向左运动,78,3. 波源运动 vS 0，接收器运动 vR 0,这种情况下：,考虑接收器对媒质的运动，应有：,考虑波源对媒质的运动，应有：,（接收波的数目变）,（媒质中的波长变）,79,无相对运动情形：,横向运动情形：,机械波不存在横向多普勒效应,80,二. 电磁波的多普勒效应,光源和接收器同一直线上相对接近时，,多普勒红移（宇宙“大爆炸”论）,光源和接收器同一直线上相对远离时，,频率增大,频率

17、减小,频率变化与机械波的情形一样。,81,三. 激波,波源速度 vS 波速 u 时，后发出的波面将超越先发出的波面，形成锥形波面 冲击波。,马赫数：,对超音速飞机的最小飞行高度要有一定限制。,82,超音速子弹在空气中形成激波,83,多普勒测速仪,超声多普勒效应测血流速,84,【例】一静止声源 S 的频率S = 300Hz，声速 u = 330m/s，观察者 R 以速度 vR = 60m/s 向右运动，反射壁以速度 v = 100m/s 也向右运动。,解：,R 收到的声源发射波的频率：,求：R 测得的拍频?,（各量为绝对值，下同）,反射壁收到的声源发射波的频率：,85,R 收到的反射壁反射波的频

18、率：,拍频：,86,*7.10 复波，群速度,简谐波频率单一（单色波），在时间、空间上无限延续（波列无限长），除了频率和振幅外不携带任何信息，称为载波。,一. 复波,可按某种规律对作为载波的简谐波进行调制，有调幅、调频、调相等方式。被调制的简谐波是复波，可以携带和传递信息。,复波是非简谐波，由有限多或无限多个不同频率的简谐波叠加而成。,87,例如，把传播方向相同、振幅相同、频率相近、波速相近的两个简谐波叠加可得调幅波：,特点：质元振幅缓慢变化、相位迅速变化的 调幅波（Amplitude-Modulated wave）,88,调幅波又称波群或波包，波群整体移动速度（或波包移动速度）称为群速度。,

19、89,90,二. 群速度,可证明群速度，相速度，及它们之间关系为：,在介质中，群速度、相速度的求解都有赖于知道色散关系 (k) 或 u(k) 或 u() 。,91, 群速度是能量和信号传播的速度，是真实 的物理速度，不能超过真空中的光速，相 速度可以超过真空中的光速。, 对无色散介质，相速度为常数，du/dk = 0， 或 du/d = 0，波包的群速度等于相速度， 波包在传播过程中波形保持不变。, 对简谐波，不论是否是色散介质，群速度 总等于相速度。,对群速度几点说明：,92, 对色散介质， du/dk 0，或 du/d 0， 波包的群速度不等于相速度。 |du/dk| 越大，色散越严重，波包越不稳定。 只有在 |du/dk| = 0 或 |du/dk| 很小的情况下， 波包才稳定。 色散较大时，波包会扩散直到消失，此时 群速度将失去意义。,