3、动量与角动量.ppt

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1、1,船行“八面风”,2,3.1 冲量，动量，质点动量定理,3.2 质点系动量定理,3.3 动量守恒定律,3.4 变质量系统、火箭飞行原理,3.5 质心,3.6 质心运动定理,3.7 质点的角动量,3.8 角动量守恒定律,3.9 质点系的角动量,3.10 质心系中的角动量定理,前言,本章目录,3,前言,我们往往只关心过程中力的效果,力对时间和空间的积累效应。,力在时间上的积累效应：,平动,冲量,动量的改变,转动,冲量矩,角动量的改变,力在空间上的积累效应,功,改变能量,牛顿定律是瞬时的规律。,在有些问题中，,如：碰撞（宏观）、,（微观）,散射,4,3.1 冲量，动量，质点动量定理,定义：,力的冲

2、量（impulse）,质点的动量（momentum）,质点动量定理：,（微分形式）,（积分形式）,（theorem of momentum of a particle）,5,6,3.2 质点系动量定理 （theorem of momentum of particle system）,为质点 i 受的合外力，,为质点 i 受质点 j 的内力，,为质点 i 的动量。,对质点 i ：,对质点系：,由牛顿第三定律有：,7,所以有：,令,则有：,或,质点系动量定理（积分形式）,用质点系动量定理处理问题可避开内力。,系统总动量改变由外力的冲量决定，与内力无关。,8,3.3动量守恒定律,这就是质点系的动量守

3、恒定律。,即,几点说明： 1.动量守恒定律是牛顿第三定律的必然推论。 2.动量定理及动量守恒定律只适用于惯性系。,质点系所受合外力为零时，,质点系的总动量,不随时间改变。,（law of conservation of momentum）,9,4.若某个方向上合外力为零，,5.当外力内力,6.动量守恒定律是比牛顿定律更普遍、更基本,则该方向上动,尽管总动量可能并不守恒。,量守恒，,且作用时间极短时,（如碰撞），,可认为动量近似守恒。,的定律，,它在宏观和微观领域均适用。,7.用守恒定律作题，应注意分析 过程、系统,切惯性系中均守恒。,3. 动量若在某一惯性系中守恒，,则在其它一,和条件。,10

4、, 粘附 主体的质量增加（如滚雪球） 抛射 主体的质量减少（如火箭发射）,低速（v c）情况下的两类变质量问题：,下面仅以火箭飞行为例，讨论变质量问题。,3.4变质量系统、火箭飞行原理 （自学书3.4和本电子教案）,这是相对论情形，,不在本节讨论之列。,以随速度改变 m = m(v)，,情况下，,还有另一类变质量问题是在高速（v c）,这时即使没有粘附和抛射，质量也可,11,条件：燃料相对箭体以恒速u喷出,初态：系统质量 M，速度v (对地)，动量 M v,一. 火箭不受外力情形（在自由空间飞行）,1.火箭的速度,系统： 火箭壳体 + 尚存燃料,总体过程：i (点火) f (燃料烧尽),先分析

5、一微过程： t t +dt,末态：喷出燃料后,喷出燃料的质量：dm = - dM，,喷出燃料速度(对地)： v - u,12,火箭壳体 +尚存燃料的质量： M - dm,系统动量： ( M- dm)(v + d v) + - dM(v - u) ,火箭壳体 +尚存燃料的速度(对地)：v + d v,由动量守恒，有 M v = - dM(v - u) +( M- dm)(v + d v ),经整理得： Mdv = -udM,速度公式：,13,引入火箭质量比：,得,讨论：提高 vf 的途径 (1)提高 u（现可达 u = 4.1 km/s） (2)增大 N（受一定限制）,为提高N，采用多级火箭（一

6、般为三级）,v = u1ln N1+ u2ln N2+ u3ln N3,资料：长征三号（三级大型运载火箭） 全长：43.25m， 最大直径：3.35m， 起飞质量：202吨，起飞推力：280吨力。,14,t +dt时刻：速度 v - u， 动量dm(v - u),由动量定理，dt内喷出气体所受冲量,2.火箭所受的反推力,研究对象：喷出气体 dm,t 时刻：速度v (和主体速度相同)，,动量 vdm,F箭对气dt = dm(v - u) - vdm = - F气对箭dt,由此得火箭所受燃气的反推力为,15,例 质量为 m 的匀质链条，全长为 L，,开始时，下端与地面的距离为 h , 当链,条自由

7、下落在地面上时,所受链条的作用力？,L,h,解 设,链条在此时的速度,据动量定理,地面受力,m,求 链条下落在地面上的长度为 l ( lL )时，地面,dm,16,3.5质心（center of mass）,一. 质心的概念和质心位置的确定,定义质心 C 的位矢为：,质心位置是质点位置以,质量为权重的平均值。,为便于研究质点系总体运动，引入质心概念。,17,二.几种系统的质心, 两质点系统,m1 r1 = m2 r2, 连续体,18, “小线度”物体的质心和重心是重合的。,例如图示，,C,xC,求挖掉小圆盘后系统的质心坐标。,由对称性分析，质心C应在x轴上。,解：,令 为质量的面密度，则质心坐

8、标为：,19,3.6质心运动定理 （theorem of motion of center of mass）,一. 质心运动定理,即质点系的总动量,是质点系的“平均”速度,20,由, 质心运动定理,有,球往哪边移动？,该质点集中了整个质点系的质量和所受,质心的运动如同一个在质心位置处的质点的,运动，,的外力。,实际上是物体质心的运动。,在质点力学中所谓“物体”的运动，,思考,21,系统内力不会影响质心的运动，, 在光滑水平面上滑动,的扳手，, 做跳马落地动作的运,动员尽管在翻转，但, 爆炸的焰火弹虽然碎片四散，,但其质心仍在做抛物线运动,其质心仍做抛物线运动,例如：,其质心做匀,速直线运动,2

9、2,若合外力为零，,二 . 动量守恒与质心的运动,质点系动量守恒,若合外力分量为0，,质点系分动量守恒,质点系动量守恒和质心匀速运动等价！,相应的质心分速度不变,23,1. 质心系,质心系是固结在质心上的平动参考系。,质心系不一定是惯性系。,质点系的复杂运动通常可分解为：,在质心系中考察质点系的运动。,讨论天体运动及碰撞等问题时常用到质心系。,质点系整体随质心的运动；,各质点相对于质心的运动 ,24,2.质心系的基本特征,质心系是零动量参考系。,质心系中看两粒子碰撞,等值、反向的动量。,两质点系统在其,质心系中，,总是具有,25,3.7 质点的角动量（angular momentum of a

10、 particle）,一. 质点的角动量,角动量是质点运动中的一个重要的物理量，,在物理学的许多领域都有着十分重要的应用。,质点m对惯性系中的固,定点O的角动量定义为：,单位：kg m2/s,大小：,方向：,决定的平面（右螺旋）,26,质点作匀速率圆周运动时，,对圆心的角动量的大小为,方向圆面不变。,L = mvR，,同一质点的同一运动，其角动量却可以随固,定点的不同而改变。,例如：,方向变化,方向竖直向上不变,27,二. 质点的角动量定理，力矩,由,有：,定义力对定点 O 的力矩 (moment of force) 为：,称力臂,28,于是有,质点角动量定理,或,积分,质点角动量定理,称冲量

11、矩,力矩对时间的积累作用。,（积分形式）,（微分形式）,29,例 锥摆的角动量,对O点：,合力矩不为零，角动量变化。,对O点：,合力矩为零，角动量大小、方向都不变。,（合力不为零，动量改变！）,30,例 一半径为R的光滑圆环置于竖直平面内.一质量为m 的小球穿在圆环上,并可在圆环上滑动.小球开始时静止于圆环上的点A(该点在通过环心O的水平面上),然后从A点开始下滑.设小球与圆环间的摩擦略去不计.求小球滑到点B 时对环心O的角动量和角速度.,解 小球受重力和支持力作用,支持力的力矩为零,重力矩垂直纸面向里,由质点的角动量定理,31,考虑到,得,由题设条件积分上式,32,三. 质点对轴的角动量,1

12、. 力对轴的力矩,把对O点的力矩向过O,点的轴（如 z 轴）投影：,力对轴的力矩。,33,2.质点对轴的角动量,质点对轴的角动量,3.对轴的角动量定理,即, 质点对轴的 角动量定理,34,质点角动量守恒定律,（1） mv r sin =const.，,（2）轨道在同一平面内。,35,角动量守恒定律可导出行星运动的开普勒第二定律：,（书100页例3.18）, 质点对轴的角 动量守恒定律,角动量守恒定律是物理学的基本定律之一，,它不仅适用于宏观体系，,也适用于微观体系，,而且在高速低速范围均适用。,离心节速器 (KL018),36, 星云具有盘形结构：,pc 秒差距，1pc = 3.0861016

13、m,旋转的星云,37,星球具有原始角动量,星球所需向心力：,引力不能再使 r 减小 。,可以在引力作用下不断收缩。,粗略的解释：,引力使r到一定程度,r 就不变了，,但在z 轴方向却无此限制，,可近似认为引力：,38,3.9 质点系的角动量,质点系的角动量,（如何证？）, 质点系角动量定理,于是有：,39,质点的角动量定理质点系的角动量定理：,即证。,40,质点系角动量守恒定律,质点系角动量守恒和动量守恒是否相互独立？,思考,41,例,一根长为l的轻质杆，端部固结一小球m1 ，,碰撞时重力和轴力都通过O，,解：,选m1（含杆）+ m2为系统,另一小球m2以水平速度v0碰杆中部并与杆粘合。,求：

14、碰撞后杆的角速度,对O 力矩为零，故角动量守恒。,解得：,有,42,3.10 质心系中的角动量定理,一. 质心系中的角动量,O 是惯性系中的一个定点,C 是质心兼质心坐标系原点,对质心,对O点,C 对O,利用关系：,可以证明：,O系为惯性系,43,质点系对定点的角动量，等于质心对该定点的角动量（轨道角动量）加上质点系对质心的角动量（“自旋”角动量）,44,45,二. 质点系对质心的角动量定理：, 质心系中质点对质心的角动量定理,即有,46,这再次显示了质心的,尽管质心系可能不是惯性系，,但对质心来说，,角动量定理仍然成立。,特殊之处,和选择质心系来讨论问题的优点。,证：若质心系是非惯性系，,则外力矩中应包括,惯性力对质心的力矩：,设质心加速度为,则有,这正是即使质心系为非惯性系，但质点系对,质心的角动量仍能满足角动量定理的原因。,47,第三章结束,小结：动量与角动量的比较,角动量,矢量,与固定点有关,与内力矩无关,守恒条件,动量,矢量,与内力无关,守恒条件,与固定点无关,48,