高考数学二轮复习研讨会专题《数列》.doc

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1、【精品文档】如有侵权，请联系网站删除，仅供学习与交流高考数学二轮复习研讨会专题数列.精品文档.2011年高考数学二轮复习研讨会专题:数列九江市同文中学 张园和数列是高中数学的重要内容，又是学习高等数学的基础，所以在高考中占有重要的地位。高考对本章的考查比较全面，等差数列、等比数列的考查每年都不会遗漏。解答题多为中等以上难度的试题，突出考查考生的思维能力，解决问题的能力，试题大多有较好的区分度。有关数列的试题经常是综合题，经常把数列知识和指数函数、对数函数和不等式的知识综合起来，试题也常把等差数列、等比数列，求极限和数学归纳法综合在一起。探索性问题也是高考的热点，常在数列解答题中出现。本章中还蕴

2、含着丰富的数学思想，在主观题中着重考查函数与方程、转化与化归、分类讨论等重要思想，以及配方法、换元法、待定系数法等基本数学方法。应用问题考查的重点是现实客观事物的数学化，常需构造数列模型，将现实问题转化为数学问题来解决。一、教学要求本专题的教学要求有以下几点。1、了解数列的概念和几种简单的表示方法（列表、图象、通项公式），了解数列是一种特殊函数，理解数列的通项公式的意义。2、理解等差数列的概念；掌握等差数列的通项公式、前n项和公式，能运用公式解决一些简单问题。能在具体的问题情境中发现数列的等差关系，并能用有关知识解决相应的问题。了解等差数列与一次函数的关系。3、理解等比数列的概念；掌握等比数列

3、的通项公式、前n项和公式，能运用公式解决一些简单问题。能在具体的问题情境中发现数列的等比关系，并能用有关知识解决相应的问题。了解等比数列与指数函数的关系。探索等差、等比数列的通项公式和前n项和公式。4、数列教学，要注意的问题：(1) 教学中，应使学生了解数列是一种特殊函数。(2) 会根据简单数列的前几项写出数列的一个通项公式。(3) 教学中，要掌握数列中各量之间的基本关系但训练要控制难度和复杂程度，避免繁琐的计算、人为技巧化的难题。(4) 等差数列和等比数列有着广泛的应用，教学中应重视在具体的问题情境中，发现数列的等差关系或等比关系。这样做，既突出了问题意识，也有助于学生理解数列的本质。二、考

4、纲要求江西省2009年高考仍按教育部考试中心颁布的大纲实施，其中有关数列的部分是这样写的：考试内容：数列等差数列及其通项公式等差数列前n项和公式等比数列及其通项公式等比数列前n项和公式考试要求：(1) 理解数列的概念，了解数列通项公式的意义，了解递推公式是给出数列的一种方法，并能根据递推公式写出数列的前几项(2) 理解等差数列的概念，掌握等差数列的通项公式与前n项和公式，并能解决简单的实际问题。(3) 理解等比数列的概念，掌握等比数列的通项公式与前n项和公式，并能解决简单的实际问题。三、试题特点1、考情统计 2005年高考各地的16套试卷中，每套试卷均有1道数列解答题试题，处于压轴位置的有6道

5、。数列解答题属于中档题或难题。其中，涉及等差数列和等比数列的试题有11道，有关递推数列的有8道，关于不等式证明的有6道。另外，等比求和的错位相减法，广东卷的概率和数列的交汇，湖北卷的不等式型的递推数列关系都是高考试题中展现的亮点。2006年高考各地的18套试卷中,有18道数列解答试题。其中与函数综合的有6道，涉及数列不等式证明的有8道，北京还命制了新颖的“绝对差数列”。值得一提的是，其中有8道属于递推数列问题，这在高考中是一个重点。2007年高考各地的各套试卷中都有数列题，有7套试卷是在压轴题的位置，有9套是在倒数第二道的位置，其它的一般在第二、三的位置，几乎每道题涉及到递推数列，有9道涉及到

6、数列、不等式或函数的综合问题，安徽省还出现了一道数列应用题。2008年高考各地的各套试卷中都有数列题，也都是几乎每道题涉及到递推数列， 数列、不等式或函数的综合问题。综上可知，数列解答题是高考命题的一个每年必考且难度较大的题型，其命题热点是与不等式交汇、呈现递推关系的综合性试题。其中，以函数迭代、解析几何中曲线上的点列为命题载体，有着高等数学背景的数列解答题仍将是未来高考命题的亮点，而以考查学生归纳、猜想、数学试验等能力研究性试题也将成为高考命题的一个新亮点。2、主要特点数列是高中代数的重要内容之一，也是与大学衔接的内容，由于在测试学生逻辑推理能力和理性思维水平，以及考查学生创新意识和创新能力

7、等方面有不可替代的作用，所以在历年高考中占有重要地位，近几年更是有所加强。 数列解答题大多以数列为考查平台，综合运用函数、方程、不等式等知识，通过运用递推思想、函数与方程、归纳与猜想、等价转化、分类整合等各种数学思想方法，考查学生灵活运用数学知识分析问题和解决问题的能力，其难度属于中、高档难度。高考对本章的考查比较全面，等差数列、等比数列的考查每年都不会遗漏一般情况下都是一个客观题和一个综合解答题。数列的综合题难度都很大，甚至很多都是试卷的压轴题，它不仅考查函数与方程、转化与化归、分类讨论等重要思想，还涉及了配方法、换元法、待定系数法、放缩法等基本数学方法其中的高考热点探索性问题也出现在近年高

8、考的数列解答题中。3、考查知识(1) 考查数列、等差数列、等比数列等基本知识、基本技能。(2) 与函数、方程、不等式、解析几何等知识相结合，考查学生在数学学习和研究过程中知识的迁移、组合、融会，进而考查学生的学习潜能和数学素养。(3) 以应用题或探索题的形式出现，为考生展现其创新意识和发挥创造能力提供广阔的空间。四、试题类型下面我以2008年高考试题为例，大致概括一下高考数列试题的常见类型。只谈数列本身，不涉及数列与向量、三角或解析几何等知识的交汇。类型一：考查等差、等比数列的基本问题等差、等比数列是两类最基本的数列，它们是数列部分的重点，也是高考考查的热点。等差、等比数列的定义、通项公式、前

9、n项的和等基本知识一直是高考考查的重点，这方面考题的解法灵活多样，技巧性强，考查的目的在于测试考生灵活运用知识的能力，这个“灵活”就集中在“转化”的水平上。江西卷5 在数列中， ，则( )A B C D解：选。 ，江西卷19 数列为等差数列，为正整数，其前项和为，数列为等比数列，且，数列是公比为64的等比数列，。(1) 求；(2) 求证。解：（1）设的公差为，的公比为，则为正整数，依题意有 由知为正有理数，故为的因子之一，解得，故。(2), 全国文19 在数列中，。(1) 设，证明：数列是等差数列；(2) 求数列的前项和。解：（1），则为等差数列，。(2) ,两式相减，得。全国文18 等差数列

10、中，且成等比数列，求数列前20项的和。解：设数列的公差为，则，。 由成等比数列得，即，整理得，解得或。当时，；当时，于是。类型二：考查递推数列的通项公式问题对于由递推式所确定的数列的通项公式问题，通常可对递推式进行变形，从而转化为等差、等比数列问题来解决，这类问题一直是高考久考不衰的题型。天津卷20 在数列中，且（）第(2)问：求数列的通项公式。解：由（）得，是首项为1，公比为的等比数列。，。将以上各式相加，得所以当时，上式对显然成立四川卷20 设数列的前项和为，已知。第(2)问：求的通项公式。解：当时，由（）知，即；当时，由：，两边同时除以得。可设，是等比数列，公比为，首项为。类型三：考查数

11、列与不等式的综合问题数列与不等式都是高中数学重要内容，一些常见的解题技巧和思想方法在数列与不等式的综合问题中都得到了比较充分的体现以两者的交汇处为主干，构筑成知识网络型代数推理题，在高考中出现的频率相当高，占据着令人瞩目的地位。陕西卷22 已知数列的首项，(1) 求的通项公式；(2) 证明：对任意的，；(3) 证明：。解：（1），又，是以为首项，为公比的等比数列，(2) 由（1）知，(3) 由（2）知，对任意的，有取，则 浙江卷22 已知数列，,，记，。求证：(1) ；(2) ；(3) 。解：(1)证明：用数学归纳法证明当时，因为是方程的正根，所以。假设当时，因为 ，所以即当时，也成立。根据和

12、，可知对任何都成立。(2)证明：由，（），得因为，所以由及得，所以。(3)证明：由，得，所以，于是故当时，又因为，所以。类型四：考查存在性和探索性问题这类题突出了对学生的探究、发现和创造能力的考查，有的试题对此考查全面且达到了一定的深度，体现了研究性学习思想。江苏卷19 (1) 设是各项均不为零的等差数列（），且公差，若将此数列删去某一项得到的数列(按原来的顺序)是等比数列。当n = 4时，求的数值；求的所有可能值； (2) 求证：对于一个给定的正整数n (n4)，存在一个各项及公差都不为零的等差数列，其中任意三项(按原来顺序)都不能组成等比数列。解：(1) 当n=4时, 中不可能删去首项或末

13、项，否则等差数列中连续三项成等比数列，则推出d=0。若删去，则，即化简得，得; 若删去，则，即化简得，得. 综上，得或。当n=5时, 中同样不可能删去，否则出现连续三项。若删去，则，即化简得，因为，所以不能删去；当n6时，不存在这样的等差数列。事实上，在数列中，由于不能删去首项或末项，若删去，则必有，这与矛盾；同样若删去也有，这与矛盾；若删去中任意一个，则必有，这与矛盾。(或者说：当n6时，无论删去哪一项，剩余的项中必有连续的三项).综上所述，。(2) 假设对于某个正整数n，存在一个公差为d的n项等差数列，其中()为任意三项成等比数列，则，即，化简得 （*）由知，与同时为0或同时不为0。当与同

14、时为0时，有与题设矛盾。故与同时不为0，所以由（*）得，因为，且x、y、z为整数，所以上式右边为有理数，从而为有理数。于是，对于任意的正整数，只要为无理数，相应的数列就是满足题意要求的数列。例如n项数列1，满足要求。 湖北卷21 已知数列和满足：,其中为实数，为正整数。(2) 试判断数列是否为等比数列，并证明你的结论；(3) 设,为数列的前项和.是否存在实数，使得对任意正整数，都有?若存在，求的取值范围；若不存在，说明理由。解：(2)解：因为bn+1=(-1)n+1an+1-3(n-1)+21=(-1)n+1(an-2n+14)=(-1)n（an-3n+21）=bn，又b1x-(+18),所以

15、当18时，bn=0(nN+)，此时bn不是等比数列；当18时，b1=(+18) 0,由上可知bn0，所以(nN+)。故当18时，数列bn是以(18)为首项，为公比的等比数列。(3) 由(2)知，当18，bn=0，Sn=0，不满足题目要求。18，故知bn= -(+18)()n-1，于是可得Sn=- 要使aSnb对任意正整数n成立，即a-(+18)1()nb (nN+) 令，当n为正奇数时，1f(n)f(n)的最大值为f(1)=,f(n)的最小值为f(2)= ,于是，由式得a-(+18),当a3a存在实数，使得对任意正整数n,都有aSnb,且的取值范围是(b-18,-3a-18)。五、复习建议在二

16、轮复习中，如何做到有针对性，高效率，是每个老师都应认真思考的问题。就数列这一部分而言，我个人有以下几点想法或体会。1、基础题要确保，难题要有所为有所不为基础题主要考查等差、等比数列的概念、性质、通项公式、前n项和等内容，对基本的计算技能要求不是很高，建议要强化方程思想在解题中的作用(基本量)，知道前n项和与通项的关系。对中等及偏下的学生不必介绍过多解题技巧，对基础较好的学生，可适当介绍。例5.1.1 设数列是各项均为实数的等比数列，为其前项和，若，则( )A. 150 B. C. 150或 D. 400或方法一：当时，显然不合题意，故。于是解得：。所以，选A.方法二：设，易知成等比数列，所以或

17、所以选C.两种算法得到不同的结果。那么问题出现在哪里？运用解法二应注意什么？象这些基础性的，在复习时一定要学生弄清楚，不可一知半解。对试卷中放在最后的压轴数列题，重点应放在前一问，基础较好的应冲刺最后一问，不能刻意求全，能做到分步得分就行。同时不能放弃数列常规题的复习教学，这仍是一个重点，这是一项“根深叶茂”的基础工程，至关重要。2、关于递推数列问题递推数列求通项确实不属于考试大纲的要求，大纲中的规定是“了解递推公式是给出数列的一种方法，并能根据递推公式写出数列的前几项”。但是递推公式只是向学生呈现了一种陌生情境，让学生转换化归为已知数列来解决，也就是让学生运用已有的数列知识去解决新的数列问题

18、，即“能力立意”，递推关系只是能力立意的载体，真正考查的是转换与化归等数学思想方法。从近几年的高考来看，递推之风盛行。不过，江西这边情况稍有不同。最近几年的数列题如下：2005年江西卷第(21)题 已知正项数列中 （）求证；（）求通项2006年江西卷第(22)题 已知数列满足：，且。(1) 求数列的通项公式；(2) 证明：对于一切正整数，不等式。2007年江西卷第(22)题 设正整数数列满足：，且对于任何，有 （1）求； （2）求数列的通项。2008年江西卷第(19)题 数列为等差数列，为正整数，其前项和为，数列为等比数列，且，数列是公比为64的等比数列，。(1) 求；(2) 求证。前三年均为

19、递推数列，但08年风平浪静，09年还会风起云涌么？我觉得，对于09年的高考数列题我们不必去“预测”，不管形式如何变化，对于递推数列还是要认真复习。但生源好的学校可以适当加强，生源一般的学校无须舍本求末得不偿失。高考以能力立意，这里的能力是指：思维能力，对现实生活的观察分析力，创造性的想像能力，探究性实验动手能力，理解运用实际问题的能力，分析和解决问题的探究创新能力，处理、运用信息的能力，新材料、新情景、新问题应变理解能力。其重点是概念观点形成和规律的认识过程，它往往蕴藏在最简单、最基础的题目之中。如果知识的熟练程度达不到，一味钻研综合题、难题，反而会影响能力的提高。所以无论一轮复习还是二轮复习

20、都应该将重点放在基础知识、基本技能的训练上，对于学生提出的一些基础性的问题要认真对待。例5.2.1 已知，数列满足，证明：。有个同学这样考虑：对于函数，则，这说明它在区间上是递增的，但要证明的数列却是单调递减的，不是说数列是定义在正整数集上的函数么？很是困惑。对于数列的单调性与函数的单调性的关系问题，必须要提醒学生注意。其一，因为数列在任何一点处都不可导，因此研究其单调性不能直接对求导；其二，数列的单调性与对应函数的单调性的关系如何，要看给出的关系式是通项公式还是递推式。如果给出的是通项公式，则函数在上单调递增(减)数列单调递增(减)；如果给出的是递推式:，则有函数单调递增且()数列单调递增(

21、减)；函数单调递减且数列是一个摆动数列，不具有单调性，但和都是单调数列，且单调性相反。我刚才说到，递推数列的复习不可小视。但如何抓住重点，把握难点？谈点个人看法。由于该内容在考试大纲中没有一个明确的说法，所以具体教学时难以把握教学要求，难以控制难度，造成这项内容极易膨胀。有的教师受一些参考资料的影响，对学生进行递推数列的系统教学，讲解由递推关系求通项的各种类型各种方法，包括一阶的，二阶的，整式的、分式的，甚至特征方程也讲。结果呢？时间和精力花了不少，学生解数列题的能力却不见长进，到头来不仅不会做数列题，而且由于增加了学生不少的负担，也把宝贵的复习时间浪费了。我认为，求通项不应是递推数列教学的全

22、部内容，甚至还不是主要内容。能通过直接求出通项而解决的问题往往不会使我们感到为难，大量的、有难度的问题都不是靠求出通项去解决，而是靠弄清数列“项的特征”后而解决的，因为数列“项”的特征清楚了，许多问题也就解决了。所以可以这样认为：递推数列教学的重点不是求通项，而是通过递推关系式确定数列“项”的特征，其中求通项公式只是确定数列“项”的特征的一种方法，它是解决递推数列基础。为了研究数列“项”的特征，最关键的是要对递推式进行“恰当的变形”。由于对递推式的变形没有固定的模式，如何变形不仅与条件式的结构有关，还也问题的形式有关，要实现条件与结论的联系需要用到观察、归纳、类比、猜想、推理等思想方法的综合应

23、用，这成了递推数列教学的难点。由于要突破这个难点所要用到的是学生“观察、归纳、类比、猜想、推理、计算、证明等思想方法的组合运用”，这正是学生综合数学素养的体现，也正是学生迁移能力和学习潜能的反应，要使学生在解这类问题时表现出色，必须在平时教学中对所有教学内容都充分挖掘教材的思想性，充分揭示数学的本质，让学生在掌握“陈述性知识”的同时掌握好数学中的“程序性知识”。把握住了递推数列教学的方向，教学时就不会患得患失、无所适从，就不必在求通项方面大做文章大加拓展，只要讲清了数列中应该挖掘的等量与不等量关系下的“累加法、叠乘法、迭代法、恒等变形法” 等就可以了。这样，我们的教学就回归到了本位挖掘数学思想

24、，揭示数学本质.例5.2.2 (08浙江卷22) 已知数列，。记，。求证：当时， (1)；(2)；(3) 。首先我们不难发现由递推关系式是很难求出通项公式来的，为了探寻an的特征，我们用数学归纳法先证明（1）当时，即数列an是递增数列，由此不难得出an1()，又由0，得，所以，这就是数列an的“项”的特征，有了它，后面两个问题就好解了。其中（3）的证法可以是：这样解显得更自然、流畅。3、试卷讲评或习题讲解时要讲到点子上不要用教师过早的“引导”限制、代替学生的思维，要重视思维过程的指导，暴露如何想？怎么做？谈来龙去脉，重视通性通法的运用。多让学生感到自然，与你共鸣。少让学生感到突然，强加给学生。

25、努力使学生觉得，你老师想到的，我也差不多能够想到。少让学生感到，只有你老师自己能够想到，我怎么想也想不到。如果学生总觉得“老师你真聪明”，那将不是一件好事。例如，数列和不等式的联系一直是高考的一个热点，所以也是我们高考复习的一个重点。这种递推不等式问题新颖多变，综合性强，时常被设置为压轴题，成为高考的热点和亮点问题。从近年的试题来看，这类问题具有证法多样性、思维灵活性、问题新颖性、联系广泛性、形式多变性、全面综合性，我们在复习中也应该采取进一步的措施，以培养学生的能力。用数学归纳法证明与有关的递推不等式，归纳过程往往会有一定的困难，或者根本证不出来，此时要强化命题，或增加起点，或两次运用归纳假

26、设才能顺利地完成归纳过渡。在处理问题时，务必要充分暴露思维的过程，并且要调动学生的积极思维，否则效果不会很好。例如，关于 为常数型不等式的证明，若用放缩法来证，一般考虑对放缩：，其中为一个等比数列的通项，即，那么接下来的任务即寻找公比了。于是，。从而已知即可得公比。有了放缩的尺度，就不会出现放缩过大或过小。举两个例子。例5.3.1(07四川卷22)求证：。分析：令，则。令，所以，可设。证明：，于是。所以如果教学时没有向学生说明清楚是怎么来的，而是照搬答案，那么学生只能认为老师高明，而无法学会自己如何去分析。例5.3.2 (08浙江卷22) 已知数列，,，记，。求证：当时，(1) ；(2) ；(

27、3) 。分析：先寻找放缩的方法。令，由得。记，则。下面只须证明，即证。证明：因为且，所以。由（1）知当时，。于是，即，从而，得：4、重视数列的实际应用我这里主要是指递推思想方法在解题中的应用。数列是一类特殊的函数，其递推思想是解决问题的一种重要的思想和方法，利用递推思想解题能体现深刻独特、简洁明快的特点，而且许多考题均涉及到这一点。因此，我们在复习过程中要重视这一点，努力培养学生的递推意识，以期在有关考题的解答过程中灵活运用。例5.4.1 将圆分成个扇形，有种不同颜色可供选择，每个扇形用种不同颜色之一染色，要求有公共边的扇形颜色不同，问有多少种染色方法？设有种方法，将扇形按顺时针编号为，从1开

28、始依次对扇形染色，使得除1和外，有公共边的扇形不同色，得到种不同的染色方法。当1和颜色不同，有种；当1和颜色相同，有种。因此，。不难求得：。据此，可解决以下一系列类似问题：（1）在一个正6边形的六个区域栽种观赏植物（如图1），要求同一块区域中种同一种植物，相邻的两块区域种不同的植物，现有4种不同植物可供选择，则有 种栽种方案。（2）将一环形花坛分成A、B、C、D四块（如图2）,现有4种不同的花供选种，且相邻的块种不同的花，则不同的种法总数为；（2008年高考题）（3）某城市在中心广场建造一个花园，花园分6个部分（如图3），现要栽种4种不同颜色的花，每部分栽种一种且相邻部分不能栽种同样颜色的花，不同的栽种方法有 种。（2003年高考题）图1 图2 图3例5.4.2 包含甲在内的个人练习传球，设传球次，球首先从甲手中传出，第次仍传给甲，共有多少种不同的传球方法？设传球次，第次传给甲的传球方法种数为，不传给甲的方法种数为，则，于是，可以求出：。这样的子例子很多，在各种考试题中均有出现。有的是概率与数列，有的是数列的实际应用题，在此不一一列举。以上是我通过对近年高考数列题的分析，在参考了其他老师的意见的基础上，提出的对2009年高考数列复习的一些粗浅看法(有的是个人的体会或不成熟的做法)。水平有限，未知所云，不当之处敬请指正。