数学实验教学大纲.ppt

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1、差分方程建模示例1:人口增长模型, Malthus 模型,设xn是某人类群体在第n个时间段(例如年)末时的总数，若在单位时间段内人口相对增长率为r（出生率与死亡率之差）,那么人口增长数与原人口数成正比,从而,xn+1 xn r xn,即 xn+1 = a xn,其中 a=r+1.,这是一个如下线性映射的迭代 f (x) = a x,从而 xn= a xn1= a2xn2 = an x0,Malthus的结论：人口增长呈几何级数,约35年增加一倍，与17001961年世界人口统计结果一致,与近年统计结果有误差，由a 1,xn趋向无穷，模型在人口长期预测方面必定是失效的.,., Logistic模

2、型,生存资源是重要的因素，修改的模型为：,xn+1 xn= r xn b xn2,其中 b xn2为竞争或约束项，r、b 称生命系数记a=r+1，那么,xn+1= a xn- bxn2,数据观察 (迭代计算与国家统计局发表数字比较),基本接近存在极限值,这是一个如下非线性映射的迭代 f(x)=ax-bx2,四问题的讨论和分析, Logistic映射,通过变量代换简化为logistic 映射 f(x)=a x(1- x)， x在0,1内变化,相应的迭代为 xn+1=a xn(1-xn),从0,1内点x0出发，由Logistic映射的迭代形成了一个序列，即,xn=f n(x0), n = 0,1,

3、2,序列xn称为x0的轨道, 数值迭代,1倍周期分叉现象, 当0a 1时，由于0xnaxn+1 xn 0 物种逐渐灭亡, 当1a3时，任何(0,1)中初始值的轨道趋于 x*=1-1/a其中x*是方程f(x)=x的解，为映射f 的不动点(周期1点)例：a=1.5时 xn 1/3.,两个不动点x1*, x2* ,一个稳定(吸引),另一个不稳定，轨道xn趋向稳定点,这两个数满足, 当3a1+61/2时， xn 绕着两个数 x3*，x4*振动,例a =3.2 x2k-1 0.799455 x2k o.513045, 当1+61/2a3.5440903506时, 从任意的点x0出 发的轨道将逐渐沿着四个

4、数值振动,例a=3.45 x4k 0.44391661 x4k+1 0.84768002 x4k+2 0.44596756 x4k+3 0.85242774,也称为周期2点,对应轨道称周期2轨道.(原来周期点失稳),这四个数满足,称为周期4点，对应轨道称周期4轨道(原有周期点又失稳),若a再增大，周期4点又会失稳，而产生新的稳定周期8点，这个周期不断加倍的过程将重复无限次，会依次出现周期16点，周期32点. ，(请考虑什么是周期n) 这种过程称为倍周期分叉.相应的分叉值c1=3, c2=1+61/2构成一个单调增加的数列ck.其极限值为c*=3.569945557391。,分叉值如何求?,任务

5、：求分叉值和画分叉图,依赖于数值方法,2浑沌与遍历性,当c*a4时，Logistic映射进入浑沌区域.反映出的是：, 遍历性：点 x0的轨道不趋向任何稳定的周期轨道, 它的轨道在(0,1)(或其中某些区间)内的任何一个子区间(a,b)内都会出现无数次.这是浑沌的, 敏感性： 轨道表现出对初始条件的强烈敏感性,即不同初始值，即使它们离得非常近，它们的轨道也终将以某种方式分离., 存在周期小窗口 浑沌区域内某些地方仍有倍周期分叉，例如a3.835附近, Feigenbaum常数 比值(ck-ck-1)/(ck+1-ck)在k 趋于无穷时，趋于常数 q =4.6692016这常数的意义在于普适性，例

6、如周期3窗口也适用，还适用其他映射,任务：验证遍历性、敏感性 周期3窗口的分叉、(结合Feigenbaum常数 ),五. 图象方法, 蛛网迭代,在以xn为横坐标、xn+1为纵坐标的第一象限作抛物线弧： xn+1a xn(1- xn), 作图的过程,任取(0,1)中的点x0,可以通过作图来取得迭代的数值序列xn,从而也通过图象直观地看出由 x0出发的轨道的变化. 这作图的过程颇象蜘蛛织网,故称为蛛网迭代., 1a3 从(0,1)中任何初值出发的轨道趋向不动点 (周期1点),3a61/2+1 从任何初值出发的轨道趋向周期2点,61/2+1a 3.54409035从任何初值出发的轨道趋向周期4点,

7、a=3.58轨道进入浑沌状态, a= 4 轨道的浑沌性表现充分,蛛网迭代的优点是轨道非常直观形象.缺点是当周期数较大时不易看清轨道变化细节, 密度分布图, 密度 从一个初始点 x0出发，由迭代所 产生的序列xn (n一般很大)在区间 0,1上的概率分布密度., 具体算法 将0,1区间分成m个长度为h=1/m的小区间，序列xnnN=0 落在各个小区间ih,(i+1)h的个数为ki,则该序列落在各小区间的概率（即密度)为,pi=ki/N i=0,1,2,m, 密度图 横轴为区间 0,1, 纵轴为概率 p.每个小区间上的细柱线的高度等于该区间上密度, a=3.2 (m=100 N=10000 x0=

8、 0.1), a=3.45,(这是周期4情况),(这是周期2情况), a=3.55,(周期8的情况),以上密度图显示在 0ac*的情况下,xn只有极少数落在周期点以外的小区间,而最终以几乎相等的概率落在周期点所在的小区间。, a=3.6,(进入浑沌区),(最浑沌状态), a= 4,任务：用蛛网迭代的方法在计算机上作图, 考察Logstic映射在a逐步变化时由同 一点出发的轨道情况.,任务：用密度图的方法在计算机上作图,考 察Logstic映射在a逐步变化时由同一 初值点出发的xn的分布.,考察映射,进一步的任务, 试考察当a逐渐增大时, 有没有倍周期分叉情况出现? 求出第一个分叉值和第二个分叉值 利用Feigenbaum常数估计第三个分叉值和浑 沌可能在何时出现 验证第三个分叉值, 作出分叉图 与Logistic映射的分叉图比较, 作出蛛网迭代或密度分布图,然后由1/2开始慢慢地增加其值, 用数值方法和用密度图的方法考察由初始值出发的轨道，能否看到倍周期分叉的情况?, 考察帐篷映射,先取,