巧思妙解高考数学.doc

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1、【精品文档】如有侵权，请联系网站删除，仅供学习与交流巧思妙解高考数学.精品文档.巧思妙解2011年高考数学题（北京卷）1.（文19）已知椭圆的离心率为，右焦点为（2,0）.斜率为1的直线与椭圆交于A,B两点，以AB为底边作等腰三角形，顶点为.（1）求椭圆的方程；（2）求PAB的面积. 【参考答案】（1）（2）设直线l的方程为由得设A、B的坐标分别为AB中点为E，则.因为AB是等腰PAB的底边，所以PEAB. 所以PE的斜率解得m = 2.此时方程为解得所以 所以|AB|=.此时，点P（3，2）到直线AB：的距离所以PAB的面积S=巧思 椭圆的方程中，y2的系数是x2系数的3倍，故由直线方程和椭

2、圆方程合成的方程组中，消去x得关于y的一元二次方程，一定式子比较简单、运算比较方便。 求出xA = 0或yA = 2 = yp后，便知PAB又是直角三角形（?APB为直角），故其面积可用PA2计算，而不必先求P到AB的距离d、再用ABd计算。 注意点P的坐标为（-3, 2），而椭圆的方程中，也有b = 2，故可猜想点A（0, 2）；再令xB = - 3,得B（-3, -1），果然有kAB = 1,于是PAB又是直角三角形妙解解法1：设l：x = y2n , PDAB于DAD =BD.代入G： y2- ny + n2- 3 = 02yD = yA + yB = n，且lPD：x + y + 1

3、= 0 .yD = n - = n = 1 y2- y - 2 = 0 yA = 2 = ypPAx轴PBy轴 SPAB = PA2 = .解法2：椭圆G的上端点为C（0,2） PCy轴，PC= 3.作PDx轴，且使PD= 3D（-3,-1）在G上.kCD = 1AB与CD重合SPAB = SPCD = .【评注】 有关平面解析几何的命题，经常会出现一次方程和二次方程合成的方程组。如果x2的系数大于y2的系数（指绝对值），就要消去y得关于x的一元二次方程；否则便反之 三角形的面积公式，除了底高，还有其他形式；即使采用“底高”，也要适当地选取“底”和“高”特别是遇到直角三角形时，更要注意选取的适

4、当、得当、恰当。 观察命题条件的特点，分析命题结论的要求，揣测命题内含的本意，可能出现“意想不到”的“拍案惊奇”，收获“喜出望外”的“信手拈来”。2.（理19）已知椭圆.过点（m,0）作圆x2 + y2 = 1的切线l交椭圆于A，B两点.（1）求椭圆G的焦点坐标和离心率；（2）将表示为m的函数，并求的最大值.【参考答案】（1）焦点坐标为，离心率为.（2）由题意知，m1.当时，切线l的方程为，点A、B的坐标分别为此时.当m = 1时，同理可得.当m1时，设切线l的方程为由.设A、B两点的坐标分别为，则.又由l与圆所以由于当时，所以.因为AB=2.且当时，|AB|= 2，所以|AB|的最大值为2.

5、巧思 将直线l的方程设为x = ty + m型（l与y轴不垂直），可避免对其位置的分类讨论，且式子比y = k（x - m）简单。 由直线方程和椭圆方程消去x，得到关于y的一元二次方程，同样可以解决问题，并且式子比较简单、容易运算。 利用“x1、x2是方程ax2+bx+c=0的两个根x1 - x2=”，可以避免求出两根之和、两根之积以及繁琐的运算。妙解（2）由题可设l：x = t y + m= 1m2= t2 + 1. 由l、G（t y + m）2 + 4 y2= 4（t 2+ 4）y 2+ 2t my + m2- 4 = 0 = 4 t 2m2 - 4（t 2+ 4）（m2- 4）= 64

6、-16（m2- t 2）= 48AB=yA-yB= =2m=时，ABmax= 2. 【评注】 直线方程的待定式，既可设为y = f（x）型，也可设为x = g（y）型由于“习惯作用”，我们通常只想到采用前者而忽略了采用后者。 含有二元一次方程和二元二次方程（不含一次项）的方程组中，未知数x和y的“地位”是“平等”的：既可消去y得关于x的一元二次方程，也可消去x得关于y的一元二次方程由于“习惯作用”，我们通常只想到采用前者而忽略了采用后者。“习惯作用”实质是“思维定势”。考虑问题不能受“思维定势”的影响，解决问题不能受“思维定势”的影响，而要“因地制宜”、“随机应变”！3.（文20）若数列An：

7、a1，a2,，an（n2）满足ak+1 - ak= 1（k = 1,2, n -1），则称数列An为E数列，记S（An）= a1 + a2,+ + an.（1）写出一个E数列An满足a1 = a3= 0；（2）若，n = 2000，证明：E数列An是递增数列的充要条件是= 2011；（3）在a1 = 4的E数列An中，求使得S（An）= 0成立的n的最小值.【参考答案】（1）（2）必要性：因为E数列An是递增数列，所以ak+1 - ak= 1（k = 1,2,1999）,所以An是首项为12，公差为1的等差数列，所以a2000 = 12 +（2000 1）1 = 2011.充分性：由于a200

8、0 - a19991，a1999 - a19981，a2 - a11，所以a2000 - a119999，即a2000a1+1999.又因为a1 = 12，a2000 = 2011,所以a2000 = a1 + 1999.故ak+1 - ak = 10（k = 1,2,1999）,即An是递增数列.综上，结论得证.（3）对首项为4的E数列An，由于a2 a1 - 1 = 3，a3 a2 - 12，a8 a7 1-3，所以 a1 + a2 + + ak 0（k = 2,3,8）.所以对任意的首项为4的E数列An，若S（An）= 0，则必有n9.又a1 = 4的E数列A9：4,3,2,1,0,-1

9、,-2,-3,-4满足S（An）= 0，所以n的最小值是9.巧思（2）中，“必要性”和“充分性”不必分开证明，利用“等价于”或者“当且仅当”，便可合并操作、同时进行；如此，则“快刀斩乱麻”而显得“干脆利落”。（3）中，利用一个显然的道理：“E数列An中，a1 = 4 0，若尽快地（最小的n）满足S（An）= 0，则An必为递减数列”，便可迅速得解，而不必证明“n9”。妙解（2）,ak+1 - ak= 1（k = 1,2,n -1）a20002011,当且仅当ak+1 - ak = 1（k = 1,2,n -1）时，a2000 = 2011.故E数列An是递增数列a2000 = 2011.（3）

10、题设 E数列An为递减数列时，n最小n = 42 + 1 = 9为最小.【评注】 对于“充要条件”一类命题的证明，不一定“按部就班”地先证明“充分性”、后证明“必要性”（或者交换两者顺序），而应考虑是否可以“合二而一”遇到相关元素之间的等价性（或者图形的唯一性）比较明显时，这种可能性就往往存在。 对于一些道理十分浅显、明显的问题，我们不必“舍近求远”地“自寻烦恼”，甚至于“舍本逐末”地“故弄玄虚”，而“回归自然”的解题方法倒是不妨一试的。4.（理20）若数列An： a1，a2,，an（n2）满足ak+1 - ak= 1（k = 1,2, n -1），则称数列An为E数列，记S（An）= a1

11、+ a2,+ + an（1）写出一个满足，且S（An）0的E数列An；（2）若，n = 2000，证明：E数列An是递增数列的充要条件是= 2011；（3）对任意给定的整数n（n2），是否存在首项为0的E数列An，使得S（An）= 0？如果存在，写出一个满足条件的E数列An；如果不存在，说明理由。【参考答案】（1）（2）（同文20）（3）令ck = ak+1 - ak（k = 1,2, n -1）,则ck =1.因为a2 = a1 + c1，a3 = a1 + c1 + c2 , an = a1+ c1 + c2 + + cn -1,所以S（An）= na1 +（n -1）c1 +（n -2）

12、c2 +（n -3）c3 + + cn -1=（n -1）+（n -2）+ + 1（1 - c1）（n -1）+（1 - c2）（n -2）+ +（1- cn -1）=-（1 - c1）（n -1）+（1 - c2）（n -2）+ +（1- cn -1）.因为ck =1，所以1 - ck 为偶数（k = 1,2, n -1）,所以（1 - c1）（n -1）+（1 - c2）（n -2）+ +（1- cn -1）为偶数.所以要使S（An）= 0，必须使为偶数，即4整除n（n -1），亦即n = 4m或 n = 4m + 1（m N）.当n = 4m（m N）时，E数列An的项满足a4k -1

13、= a4k -3 = 0，a4k -2 = - 1，a4k = 1（k = 1,2, m）时，有a1 = 0，S（An）= 0；当n = 4m + 1（m N）时，E数列An的项满足a4k -1 = a4k -3 = 0，a4k -2 = - 1，a4k = 1（k = 1,2, m）时，有a1 = 0，S（An）= 0；当n = 4m + 2或n = 4m + 3（m N）时，n（n -1）不能被4整除，此时不存在E数列An，使得a1 = 0，S（An）= 0.巧思 由a1 = 0，ak+1 - ak= 1（k = 1,2, n -1）便知：E数列An的奇数项是偶数，偶数项是奇数；进而得知：

14、使得S（An）= 0的数列中，偶数项的个数是偶数，而奇数项则不限，因此n = 4m或n = 4m + 1（m N）。如此，则“一干二净、一清二楚”。 要作出满足条件的E数列An，只要列举数列0,1,0，-1,0,1,0，-1（依次循环），便将n = 4m时和n = 4m + 1时的情况合并给出，而无须用许多字母和符号详细地描述，更无须先后“分别介绍”（实际表达式一样）。如此，则“一目了然、一览无遗”。妙解（3）a1 = 0，ak+1 - ak= 1（k N） a1,a3是偶数，a2,a4是奇数S（A4m）、S（A4m+1）是偶数，S（A4m+2）、S（A4m+3）是奇数（m N）.S（A4m+

15、2） 0，S（A4m+3） 0，而可能 S（A4m）= 0，S（A4m+1）= 0，且由数列：0,1,0，-1,0,1,0，-1（依次循环）便知，可以满足要求.【评注】 整数的性质：奇数个奇数的和是奇数，偶数个奇数的和是偶数；奇数偶数 = 奇数，奇数奇数 = 奇数，奇数偶数 = 偶数；两个连续整数中必有一个奇数、一个偶数掌握这些性质，可对某些与整数有关的问题有所帮助，教师应向学生适当举例介绍。 能够用初级的知识快速解决的问题，就不必用高级的学问“不慌不忙”地“细嚼慢咽”；能够用浅显的道理简单说明的问题，就不必用深奥的理论“煞有介事”地“旁征博引”；要让广大学生能够听得懂、学得会、用得上对此，我

16、们应引起重视、引以为鉴。【小结】数学是美的，“简洁美”是其中之一，也是主要的数学美，解决数学问题应当力求简洁、简明、简单、简便，力求创优创新、尽善尽美。亦即：应当探求尽可能简明的思路、尽可能简便的解法，探求尽可能简洁的语句、尽可能简短的表述。 如果某个数学问题的解答过程比较复杂、步骤比较冗长，我们就要思考：这个解法算得上“较好”吗？“很好”吗？“极好”吗？还能够“改变”吗？“改造”吗？“改进”吗？亦即：教师传输给学生的知识，不仅应当是“正品”，而且还应当是“精品”、“极品”。“通解通法”固然需要掌握，然而知识的灵活运用对于培养学生的能力更加重要、必要甚至首要，何况高考综合题一般也不是仅用“通解通法”就能奏效的：尽管教师“千回万回”地讲解，学生“千遍百遍”地练习，最后面对试卷，许多人还是一筹莫展、百思不解这个问题更值得我们思考、思索、思虑