高中数学数形结合习题 .docx

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1、精品名师归纳总结1. 假设对任意 xR ，不等式x ax 恒成立，就实数 a 的取值范畴是C可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结A a1B a 1C a1D a 1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结22. 假设圆xy24 x4 y100 上至少有三个不同点到直线l : axby0 的距离为可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结5,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结2 2 ,就直线 l 的倾斜角的取值范畴是 1212 3 在 以 下 四 个 函 数 中 ， 满 足 性 质 ：“ 对 于 区 间 1,

2、2 上 的 任 意x1, x2 x1x2 ，可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结| f x1f x2 | | x2x1 | 恒成立”的只有A可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结A 1f xxfxB| x |Cf x2 xDf xx2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结4.假设直线 yxk 与曲线 x1y 2恰有一个公共点，就 k 的取值范畴是可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结k2 或-1,14. yxk

3、可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结表示一组斜率为 1 的平行直线，x表示 y 轴的右半圆。如图可知，1y 2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结 简要评述 数形结合思想的敏捷运用，此题可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可以进一步拓展，x1y 2 ， y1x2 等。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结5. 假设关于x的方程x24 x5m 有四个不相等的实根，就实数m 的取值范畴为可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结 。1m5题型解析例 1方程 sin2x=sinx 在区间 0，2解的个

4、数为yA 1B2 C3D 4gofx分析：解方程fx=gx的问题归结为两个函数y=f x与 y=g x的交点横坐标，特殊是求方程近似解时此方法特别有效。1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结解:如图在同一坐标系内，作出y=sin2x ，x 0,2 。 g=sinx ，x 0,2 的图有三个交点，故方程sin2x=sinx 在0,2 内有三个解。一般情形下将方程化为一端为曲线，一端为动直线时，解题较为简洁，考查规律思维能力与运算才能，仍表达了化归与转化和分类争论的思想。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结练习 设 fx是定义在 R上以 2 为周期的函数 , 对于 K Z

5、用Zk 表示区间 2k-1,2k+1,已知 x可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结 Z0 时, 有 fx=x2 。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结(1) 求 fx在Zk 上的解析式。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结2(2) 对于自然数 K, 求集合MK =a| 使方程 fx=ax在 Zk 上有两个不相等的实根 。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结解

6、1 如右图 从图形可以看出 fx= x2 k。y可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结2 如以下图 由 fx=ax,xZk , 得 x2k 2 =axox可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结即 x2 -4k+ax+4k2 =0, 考察函数 fx=x2 -4k+ax+4k 2 ， x 2k-1,2k+1的图可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结象位置 , 依题意该函数图象在 2k-1,2k+1内必与 x 轴有两个不同交点。就有 0yf2k-1 0f2k+1 02k2k-

7、14k+a/2 2k+1o2k-12k+1x从中解得 :0a 1/2k+1,k N可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结故 M K=a|0a 1/2k+1,kN 。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结例 2已知三点A1， m2， Bm1，5， Cm2，4m3m0 ，问 m 为何值时，可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结dABBC 最小，并求最小值分析： 依据三个点横坐标的特点可知，它们在坐标系中是从左到右依次排列的，当且仅当它们共线时， dABBC 最小可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结解：依题意知

8、，当三点共线时dABBC 最小，此时kABkBC ，可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结 kAB5m23m， kBC4m354m2 ，可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结m11mm2m1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结 3m m4m2 ，2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结解得 m3 舍去或 m1，4 m1，可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结此时三个点分别为A1，3， B2，5，C 3，7 ，可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师

9、归纳总结 dABBCAC7323122 5 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结练习 已知点M 3，5 ，在 y 轴和直线 yx 上分别找一点 P 和 N，使得MNP的周长最可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结小可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结分析：作点M 3，5 关于 y 轴和直线 yx 的对称点M 1， M 2 ，就MPM 1P ，可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结MNM 2N ，所以 MNP的周长等于M1PPNM 2 N ，当且仅当M 1，

10、 M 2， P 三可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结点共线时取最小值，所以点P，N应为直线M 1M 2 和 y 轴与直线 yx 的交点可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结解：作点M 3，5 关于 y 轴和直线 yx 的对称点M 1， M 2 ，可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结就点 M 1， M 2 的坐标分别为 3，5，5，3 ，由两点式得 y5x3 ，3553可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结整理得 x4 y170 ，即为直线M 1M 2 的

11、方程，可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结易得它和 y 轴和直线 yx 的交点坐标分别为0 17 ，17 17可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结，455可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结即使得MNP周长最小的点P 和 N 的坐标分别为0 17 ，17 17可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结，455评注：此题利用对称思想为线段找到了“替身”，从而将问题转化成了两点之间线段最短的问题可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结例 3.已知点P a， b 在直线mxy10 上，且a2b22a1

12、的最小值为2 ，求 m可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结的值2222解：ab2a1a1b ，可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结 它 是 点P a， b和 点 1，0之 间 的 距 离 ， 它 的 最 小 值 就 是 点 1，0到 直 线可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结mxy10 的距离，由点到直线的距离公式可得m12 ，m213可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结平方得 m22m12m22 ，可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结整理得 m120 ，可编辑资料 - - - 欢迎下载

13、精品名师归纳总结 m1评注： 此题通过挖掘代数式的几何意义，将点点距转化成了点线距，这种以距离为背景的题型时有显现，请同学们留意训练和总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结练习 .求点P1，4 到直线l : m1x2m ym50 的距离 d 的最大值可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结分析：对直线方程 m1x2m ym50 整理后，我们会发觉它表示过定点可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结Q1，2的一条直线，由于点线之间垂线段最短，所以d PQ ，当且仅当 PQ

14、l 时取等可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结号，即此时 d 取得最大值 PQ 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结解： m1x2m ym50 可化为 x2 y5mxy10 ，可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结它表示过直线x2 y50 和 xy10 交点的直线可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结解方程组x2 y50，得两直线交点为Q1，2 ，可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结xy10，即直线 l 恒过定点 Q1，2 ，当 PQl 时 d

15、 取最大值 PQ ，可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结 PQ1 1242222 ，可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结 d 的最大值为 22 例 4.已知， a2a-b， 求证：【分析与解】读完题目与任何一个图形好像很难联系起来，我们在对已知条件的分析中，去寻找解题的灵感.a2a-b，即为 ba-a2.要证 b，那么 a 与 k 如何取得联系了？4可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结令.这样一来，一个二次函数的图形显现了，它对解题有帮忙吗？二次函数 ga的图象的对称轴为上单调递增， 又 bga，【反思】 在分析已知条件时找到了一个能够帮忙我们解决问题的图形

16、，而正是这个图形的启示，以后的思路畅通无阻了.数形结合， 发生在解题过程中的任何时刻，我们绝不是刻意的去追求或细心的去构造直观的几何图形，而这个在解题时特别有用的直观图往往总是在对问题透彻明白之后突然显现的， 这就是解题中的灵感 .例 5.已知实数 a、b，满意 a+b=1.求证： a-32+b+4 2 2.【摸索与分析】此题看似一不等式证明题，但是我们通过分析，不等式左端是距离的平方的形式， 由已知条件， 我们可以把问题转化为点在直线上的位置关系，进而由点到直线的距离公式求解 .证明： 不等式左端可视为点Pa， b到点 Q3， -4的距离的平方，而点Pa，b可看作直线l： x+y=1 上的任

17、意一点，于是问题转化为点P 在直线 l 上什么位置时线段PQ 最短，当然是 PQ l 时点 Q 到 l 的距离最短，所以如以下图【反思】此题我们主要是利用点到直线的距离公式的几何意义解题.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结练习 .已知：a，b，c 为正实数。 求证 :2 a+b+c a2b2 +b2c2 +ca 2a+b+c 。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结225可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结2分析 :由欲证不等式中的ab联想到勾股定理 ,DabcC可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结

18、可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结2把 a 2b2 看作边长分别为 a,b 的矩形的对角线 , 因此 , 我们 c可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结22可以构造如下图的图形。以a+b+c 为边构成正方形 ABCD,b可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结就 AC= 2 a+b+c,AE=a2b2 ,EF=b2c 2 ,FC=ca, AB可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结22而AC AE+EF+FC AD+CD可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结所以有2 a+b+c a 2b2 +b 2c2 +ca 2a+b+c 。可编辑资料 -

19、- - 欢迎下载精品名师归纳总结注: 观看、联想是构造图行, 创新解题的关键。注：有些题目假设按常规的代数解法需要争论, 比较烦琐且易产生遗漏现象, 我们这样构造利用图象分析 , 得出答案特别直观简洁。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结例 6 不等式 ax4 xx2的解集是 0, 4 , 就 a 的取值范畴是 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结A. a0B.a4C.a0D.a0可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结分析 : 分别作出 yax 与 y4 xx2的图象 , 从图象上很简洁得到结论.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 -

20、- - 欢迎下载精品名师归纳总结解:令 yax , y4xx2 0x4 ,y可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结yax 是过原点且斜率为 a 的直线 ,2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结y4xx2 0x4是圆心在 2,0x可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结半径为 2 的圆在 x 轴及 x 轴上方的部分 ,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结不等式4xx2ax 的几何意义是半圆在0, 4 上恒处于直线的上方 如图 ,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可知 a0 是, 上述结论成立

21、,a 的取值范畴是 a0 . 选 C.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结综合自测6可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结1. 设a,bR, a 22b 26,就ab 的最小值是 3可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结2.设奇函数 fx 的定义域为 -， 0 0， + 且在 0，+ 上单调递增， f1 0，就不等式1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结f xx0 的解集是。2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结2. 解析：由已知画出y=fx 的图象可知：y当 x -1， 0 1，+ 时 f

22、x 0当 x-， -1 0，1 时 fx 0可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结又 xx1 x12111-1 O1x可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结241616可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结 f xx10 成立，就必有2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结11171117可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结0 xx- 2 1,解之得：4 x 0 或2 x4可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结3. 抛物线y22 x 上的点 P 到直线 yx4 有最短的距离 ,就 P

23、的坐标是可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结解析 :1. 设直线 yxm与y22 x 相切 ,联立整理得 x22m1xm20 ,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结由4m124m20 ,得 m11,这时得切点 ,1,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结22可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结4. 设 F 为抛物线2y4xA， B， CFAFBFC0的焦点，为该抛物线上三点， 假设，可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结就 FAFBFC6可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结5:已知向量 OB2,0,向量 OC2, 2 ,向量

24、CA2 cos,2 sin,就向量可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结OA 与向量 OB 的夹角的取值范畴是答案 :1. 由 CA2 cos,2 sin ,知点 A 在以C 2,2为圆心 ,2 为半径的圆周上 如图 ,过原点 O 作可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结圆 C 的切线OA ,A 为切点 ,由 OC2 2 ,AC 2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结知AOC,有AOB6,4612可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结过点 O 作另一切线OA , A 为切点 ,就AOB5,4612, 512 12可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师

25、归纳总结7可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结6. 直 线 y2k 与 曲 线9k2 x2y218k 2x kR,且k0的 公 共 点 的 个 数 为可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结存在实数 k ，使得方程恰有 2 个不同的实根存在实数k ，使得方程恰有4 个不同的实根存在实数 k ，使得方程恰有 5 个不同的实根存在实数k ，使得方程恰有8 个不同的实根其中假命题的个数是 4 7关于 x 的方程 x212| x21|k0 ，给出以下四个命题：可编辑资料 - - - 欢迎

26、下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结2设 ux1 ,化原式为：|u |2|u |k ，可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结画出函数y |u|2|u|的图象，看使u-1 的解的个数，可知假命题的个数为0。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结max a,ba,ab可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结8. 对a,bfxR ,记就maxx1 , xb, ab 就函数2xR的最小值是 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料

27、 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结x1x2221x1x2x可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结解析：由2 ，1yy=|x-2|y=|x+|1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结x1xfxx2x212如右图213f minxf22y|-1o 2xy可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结9. 假如实数 x、y 满意 x2y3，那么的最大值是。x可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结如图，联结圆心 C 与切点 M，就由 OMCM，又 Rt OMC中，MCOC=2， CM= 3Ox所以， OM=1，得 yMC 3xOM8可编辑资料 - - - 欢迎下载精

28、品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结y10. 求函数1 x 22 x的最大值。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结解：由定义知1-x2 0 且 2+x 0可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结 -1 x 1，故可设 x=cos， 0 ， ，就有可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结ysincos2sin cos0 2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可看作是动点 M cos， sin 0， 与定点 A -2， 0连线的斜率，可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结而动

29、点 M 的轨迹方程x cosy sin， 0 ， ，即 x2y21y 0 ， 1 是半圆。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结设切线为 AT ， T 为切点， |OT|=1， |OA|=211k AT3 ， 0 k AM 3可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结3即函数的值域为 0 ， 33，故最大值为3。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结11. 求函数 u解： 设x2 t2t4 ， y46t 的最值。6t ，就uxy可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总

30、结且x22 y216 0x4， 0y22 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结所给函数化为以u为参数的直线方程y xu ，可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结2它与椭圆 x2 y 216 在第一象限的部分包括端点有公共点，如图 umin22可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结相切于第一象限时， u 取最大值yxu22可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结x 22 y2163x4ux2u160可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结解，得u 26，

31、取 u26u max2612. 已知： acos +bsin =c, acos +bsin =cab0, k , kZ9可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结求证：cos22c2a2b 2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结分析： 解决此题的关键在于由条件式的结构联想到直线方程进而由 A 、B 两点坐标特点知其在单位圆上 仍要依据图形的性质分析清晰结论的几何意义，这样才能巧用数形结合方法完成解题证明 :在平面直角坐标系中，点Acos ,sin与点 Bcos , sin是直线 l:ax+by=c 与单位圆 x2+y 2=1 的两个交点如图从而： AB 2=cos cos 2+sin sin 2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结=22cos d又单位圆的圆心到直线l 的距离| c |a2b 2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结1由平面几何学问知 OA 2 2 AB 2=d2 即可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结122 cos4d 2c 2a 2b可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结