高中数学不等式知识点总结教师版 .docx

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1、精品名师归纳总结高中数学不等式专题老师版一、高考动态考试内容：不等式不等式的基本性质不等式的证明不等式的解法含肯定值的不等式考试要求：1懂得不等式的性质及其证明2把握两个不扩展到三个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数的定理，并会简洁的应用3把握分析法、综合法、比较法证明简洁的不等式4把握简洁不等式的解法5懂得不等式 a - b a+b a + b 二、 不 等 式 学问要点1. 不等式的基本概念可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结（1） 不等等号的定义：ab0ab; ab0ab; ab0ab.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结（2） 不等式的分类：肯定不等式。条件

2、不等式。冲突不等式.（3） 同向不等式与异向不等式.（4） 同解不等式与不等式的同解变形.2. 不等式的基本性质1 abba对称性可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结2 ab,bcac 传递性可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结3 abacbc 加法单调性可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结4 ab, cdacbd 同向不等式相加可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结5 a6 a.b,cdb, c0a cbacbcd 异向不等式相减可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结7 ab,c0acbc 乘法单调性可编辑资料 - - - 欢迎下载精品

3、名师归纳总结8 ab 0,cd0acbd同向不等式相乘可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结9 ab0,0cdab 异向不等式相除cd可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结10ab,ab01 1 倒数关系ab可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结11 ab0anbn nZ, 且n1 平方法就可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结12 ab0n an b nZ,且n1

4、 开方法就可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结3. 几个重要不等式可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结1 如aR, 就 | a |0, a20可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结2 如a、bR , 就a2b22ab 或a2b22 | ab |2ab 当仅当 a=b 时取等号可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结3假如 a,b 都是正数，那么abab. 当仅当 a=b 时取等号2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结极值定理：假设x, yR, xyS, xyP, 就：可编辑资料 - - - 欢

5、迎下载精品名师归纳总结1 假如 P 是定值 , 那么当 x=y 时， S 的值最小。2 假如 S 是定值 , 那么当 x=y 时， P 的值最大 .利用极值定理求最值的必要条件：一正、二定、三相等 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结(4) 如a、b、cR, 就 abc33 abc 当仅当 a=b=c 时取等号可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结(5) 如abba0, 就ab2 当仅当 a=b 时取等号可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结(6) a0时，| x |ax2a2xa 或xa;| x |ax2a2a

6、xa可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结7 如a、bR, 就| a | b| | ab | |a |b |可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结4. 几个闻名不等式1平均不等式：假如 a,b 都是正数，那么211aba2ab2b 2 当仅当 a=b 时.2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结ab取等号即：平方平均算术平均几何平均调和平均a、b 为正数：可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结特殊的， ab ab 222ab当 a = b 时， ab 222abab可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结22222222可编辑资料 - - - 欢

7、迎下载精品名师归纳总结abc 3a c 32 a,b, c2R,a2b c时取等 1 2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结幂平均不等式： a1a2.an a1na2.an 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结注：例如：acbd 2a 2b 2 c 2d 2 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结常用不等式的放缩法：1111111 n2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结2nn1nn1nn n1n1n可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结 n

8、1n111nn12nnn1nn1n1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结2柯西不等式：如a1, a2 , a 3 , anR, b1 , b2 ,b3,bnR;就可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结（ a ba ba ba b 2a 2a2a 2a 2 b 2b2b 2b 2 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结1 12 23 3n n123n123n可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结a当且仅当1b1a2a3b2b3an 时取等号bn可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结3琴生不等式特例

9、与凸函数、凹函数假设定义在某区间上的函数fx,对于定义域中任意两点x1 , x2 x1x2 , 有可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结f x1x2 2f x1 2f x2 或f x1x2 2f x1 2f x2 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结就称 fx为凸或凹函数 .5. 不等式证明的几种常用方法比较法、综合法、分析法、换元法、反证法、放缩法、构造法.6. 不等式的解法1整式不等式的解法根轴法.步骤：正化，求根，标轴，穿线偶重根打结，定解.特例 一元一次不等式 axb 解的争论。2一元二次不等式ax +bx+c0

10、a 0 解的争论 .2分式不等式的解法：先移项通分标准化，就可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结f x0g xf x g x0;f x0g xf x g x0 g x0可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结3无理不等式：转化为有理不等式求解f x0可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结1f xg xg x0定义域可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结f xg x可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结2f x0f x03f x0可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结 f xg xg x0或fxg xg x0可编辑资料 - - - 欢迎

11、下载精品名师归纳总结f xg x 2g x0f x2 g x可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结4. 指数不等式：转化为代数不等式可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结a f x ag x a1f xg x;a f x a g x 0a1f xg x可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结f x aba0,b0f x lg alg b可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结5对数不等式：转化为代数不等式f x0f x0可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结log af xlog a g x a1g x0;log af xlog a g x0a1g

12、 x0可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结6含肯定值不等式f xg xf xg x可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结1 应用分类争论思想去肯定值。2 应用数形思想。3 应用化归思想等价转化可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结| f x |g xg x0g xf xgx可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结| f x |g xg x0 fx , g x不同时为0或g xf x0g x或f xg x可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结注：常用不等式的解法举例x 为正数：可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结2 x1x1 2x1x

13、1x1 2 34可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结22327可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结2 x2 1x 2 1x 212423可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结 yx1x 2y 2 3y可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结223279可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结类似于 ysinx cos 2xsinx1sin2 x ， | x111| | x | x与 同号，故取等 2 xxx可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结三、利用均值不等式求最值的方法ab可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结均值不等式

14、2aba0，b0， 当且仅当 a b 时等号成立是一个重要的可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结不等式，利用它可以求解函数最值问题。对于有些题目， 可以直接利用公式求解。但是有些题目必需进行必要的变形才能利用均值不等式求解。下面是一些常用的变形方法。一、配凑可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结1. 凑系数例 1. 当 0x4 时，求 yx82x 的最大值。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结解析：由 0x4 知， 82x0 ，利用均值不等式求最值，必需和为定值或积为定可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳

15、总结值，此题为两个式子积的形式，但其和不是定值。 留意到 2x将 yx82 x 凑上一个系数即可。82x8 为定值， 故只需可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结yx82 x1 2x82x21 2 x282x 282可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结当且仅当 2 x82 x ，即 x 2 时取等号。所以当 x 2 时， yx82x 的最大值为 8。评注： 此题无法直接运用均值不等式求解，但凑系数后可得到和为定值，从而可利用均值不等式求最大值。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结2. 凑项例 2. 已知 x5 ，

16、求函数 f4 x4 x214x5的最大值。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结解析：由题意知 4 x50 ，第一要调整符号，又4x214x不是定值，故需5可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结对 4x2 进行凑项才能得到定值。 x5 ，54x04可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结f x4 x214x554x1354x可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结254 x 15 4 x3231可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结当且仅当 54x154x，即 x1 时等号成立。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结评注：此题需要调整项的

17、符号，又要配凑项的系数，使其积为定值。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结3. 别离例 3. 求 yx 27 x10 x1 的值域。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结x1解析：此题看似无法运用均值不等式，不妨将分子配方凑出含有x 1 的项，再将其别离。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结x27 x10y x1 25x144 x15可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结x1x1x1当 x10 ，即 x1 时可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结y2 x41 x159 当且仅当 x 1 时取“”号。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归

18、纳总结当 x10 ，即 x1 时可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结y52 x1 41 当且仅当 x 3 时取“”号。x1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结x27 x y10 x 1 的值域为 ， 19 ， 。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结x1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结评注：分式函数求最值，通常化成ymg xAg xB A0， m0 ， gx 恒正可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结或恒负的形式，然后运用均值不等式来求最值。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总

19、结二、整体代换例 4. 已知 a0， b0 ， a2b1 ，求 t11的最小值。ab可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结解法 1 ：不妨将 11 乘以 1 ，而 1 用 a 2b 代换。ab可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结 11111a2b可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结abab12ba2 ab2ba3ab322b aab32 2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结当且仅当 2baa时取等号，由b2baa21 ab，得2a2b1b12可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结a21即2b1211时， tab的最小值为 322 。可编

20、辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结解法 2 ：将11 分子中的 1 用 a ab2b 代换。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结a2b aa b b2b a1a b2b a3a b23222b a2b a可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结评注：此题奇妙运用“1 ”的代换，得到 t3a，而与b a的积为定值，即b可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可用均值不等式求得t三、换元11 的最小值。ab可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结例 5. 求函数 yx 2x2 的最大值。5可编辑资料 -

21、- - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结解析：变量代换，令tx2 ，就 xt 2当 t 0 时， y 02 t0 ，就yt2t 21可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结当 t0 时， y12t1 t122 2t 14 t可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结当且仅当 2t12，即 t时取等号。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结t2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结故 x3 时， y 22max。4可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结评注： 此题通过换元法使问题得到了简化，而且将问题转化为熟识的

22、分式型函数的求最值问题，从而为构造积为定值制造有利条件。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结四、取平方例 6. 求函数 y2x152x 12x5 的最大值。2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结解析：留意到 2x1与52 x 的和为定值。y 22 x152 x 2422 x152 x42x152 x8又 y0 ，所以 0y223可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结当且仅当 2 x152 x ，即 x时取等号。2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结故 ymax22 。评注：此题将解析式两边平方构造出“和为定值”，为利用均值不等式制造了条件。 总之，

23、我们利用均值不等式求最值时，肯定要留意“一正二定三相等”，同时仍要留意一些变形技巧，积极制造条件利用均值不等式。高中数学一轮复习专讲专练教材回扣+考点分类 +课堂内外 +限时训练：基本不等式一、挑选题111. 假设 a 0，b 0，且 ln a b 0，就a b的最小值是 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结A. 14B1C 4D 8可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结解析： 由 a 0， b 0， ln a b 0，得ab 1， a 0， b 0.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢

24、迎下载精品名师归纳总结11故 a b11 1 4.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结abababa b 21 222可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结当且仅当 ab1. 2时，上式取等号答案： C1a2. 已知不等式 x yx y 9 对任意正实数 x， y 恒成立，就正实数a 的最小值为A 2B 4C 9D 1 61axy可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结解析： x yx y 1 a yxa.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结 x 0， y 0，a 0，axy可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结 1y x a1 a 2a.可

25、编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结由 91 a 2a，得 a 2a80， a 4a2 0. a 0， a2， a4， a 的最小值为 4.答案： B可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结x3. 已知函数 f x lg5x 4 m 的值域为 R，就 m的取值范畴是 5A 4， B 4，C ， 4 D ， 4x4x4解析：设 g x 5 5x m，由题意 g x 的图像与 x 轴有交点， 而 5 5x 4，故 m 4，应选 D.答案： Dxy4. 当点 x， y 在直线 x3y 20 上移动时，表达式3 27 1 的最小值为 A 3B 5C 1D 7解析： 方法一：由 x 3

26、y 2 0，得 3y x 2.xyx3yxx 2 3 27 1 3 3 1 3 3 1x9 3 3x 1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结x23 x9x 17. 39x可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结当且仅当 3 x，即 3 3，即 x 1 时取得等号3可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结xyx3yx3y2方法二： 3 27 1 3 3 12 3 3 123 1 7.答案： D5已知 x 0，y 0， x2y 2xy 8，就 x 2y 的最小值是 A 3B 4911C. 2D. 2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结解析： 2xy x2 y

27、 x 2y22，可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结2原式可化为 x 2y 4 x 2y 320.又 x0， y 0， x 2y4. 当 x2， y 1 时取等号 答案： Bxy11可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结62021 苍山调研 已知 x 0， y0， lg2 lg8 lg2 ，就x 3y的最小值是 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结A 2B 22x 3yyC 4D 23可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结x解析： 由 lg2 lg8 lg2 ，得 lg2 lg2.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结1 x 3y 1111

28、x3y x 3y 2 4.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结， x 3yx3y答案： C二、填空题2113yx2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结7设 x、y R，且 xy 0，就 x y2x2 4y的最小值为可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结2112x 42 21可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结解析：y2x2y 1 44x y x2y21 4 24 9.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结2 212当且仅当 4x y x2y2时等号成立，即 | xy| 2 时等号成立 .答案

29、： 982021 台州调研 假设实数 a，b 满意 ab 4a b1 0 a1 ，就 a 1 b2 的最小值为解析： ab 4a b 10，4a 1 b a 1 ， ab 4a b1. a1 b 2 ab 2a b 2 6a 2b 14a 1 6a a 1 2 14a 13 2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结 6a6 6a8 aa1 1 116可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结 6 a 1 a 15.1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结 a 1， a 1 0.6原式 6 a 1 a152 66 15 2

30、7. 1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结当且仅当 a 1 21，即 a 2 时等号成立最小值为 27.答案： 2792021 聊城质检 经观测，某大路段在某时段内的车流量y 千辆 / 小时 与汽车的平920v均速度 v 千米 / 小时 之间有函数关系： y v2 3v 1 600 v 0 ，在该时段内，当车流量y最大时，汽车的平均速度v千米 / 小时 解析： v 0，可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结 y9201 6009201 6009208011.08 ，3可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结vv 32vv 3可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结当且仅当 v答案： 40三、解答题1 600v，即 v 40 千米 / 小时时取等号 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结10已知 x 0， y 0， z 0，且 x y z 1.149可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结求证：x y z36.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结解析： x 0，y 0， z 0，且 x y z1，可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结149149y4x