三重积分的计算方法及经典例题 .docx

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1、精品名师归纳总结三重积分的运算方法：三重积分的运算是化为三次积分进行的。 其实质是运算一个定积分一重积分和一个二重积分。从次序看：可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结假如先做定积分z 2f x, y, z dz，再做二重积分z1F x, ydD，就是“ 投影可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结法，也即“先一后二。步骤为：找及在 xoy 面投影域 D。多 D 上一点x,y“穿线确定 z 的积分限，完成了“先一这一步定积分 。进而按二重积分的运算步骤运算投影域D 上的二重积分，完成“后二可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结这一步。f x, y, zdvz 2Dz

2、1f x,y, zdzd可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结假如先做二重积分f x,Dzy, zd再做定积分c 2F z dz ，就是“ 截面法，c1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结也即“先二后一。步骤为：确定 位于平面 zc1与zc2 之间，即 z c1 , c2 ，可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结过 z 作平行于 xoy 面的平面截，截面Dz 。区域D z 的边界曲面都是 z 的可编辑资料 - - - 欢

3、迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结函数。运算区域D z 上的二重积分f x, y, z dDzc 2，完成了“先二这一步二可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结重 积 分 。 进 而 计 算 定 积 分F z dzc1， 完 成 “ 后 一 这 一 步 。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结f x, y, z dvc2c1Dzf x,y, zddz可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结当被积函数 fz仅为 z 的函数与 x,y 无关

4、，且D z 的面积 z 容可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结易求出时，“截面法尤为便利。为了简化积分的运算，仍有如何挑选适当的坐标系运算的问题。可 以按以下几点考虑：将积分区域投影到 xoy 面，得投影区域 D平面（1） ） D 是 X 型或 Y 型，可挑选直角坐标系运算当的边界曲面中有较多的平面时，常用直角坐标系运算可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结（2） ） D 是圆域或其局部，且被积函数形如f x 2y 2 ,f y 时，可x可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结挑选柱面坐标系运算 当 为圆柱体或圆锥体时， 常用柱面坐可编辑资料 - - - 欢迎下载

5、精品名师归纳总结标运算3 是球体或球顶锥体，且被积函数形如f x2y 2z2 时，可选可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结择球面坐标系运算以上是一般常见的三重积分的运算方法。 对 向其它坐标面投影或 不易作出的情形不赘述。三重积分的运算方法小结：1. 对三重积分，采纳“投影法仍是“截面法，要视积分域及被积函数 fx,y,z的情形选取。一般的， 投影法先一后二：较直观易把握。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结截面法先二后一：Dz 是在 z 处的截面，其边界曲线方程易写错，故较难一些。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结特别的，对D z 积分时， fx,y,z

6、 与 x,y 无关，可直接运算SD 。因而中只可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结z要z a, b , 且 fx,y,z 仅含 z 时，选取“截面法更佳。2. 对坐标系 的选取，当为柱体，锥体，或由柱面，锥面，旋转抛物面与其它曲面所围成的形体。被积函数为仅含 z 或 zf x2y 2 时，可考虑用 柱面坐标运算。三重积分的运算方法例题：可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结补例 1：运算三重积分Izdxdydz，其中为平面 xy z1 与三个坐标面可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结x0, y0, z0 围成的闭

7、区域。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结解 1“投影法 1.画出及在 xoy 面投影域 D.2. “穿线 0z 1xy可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结0X 型 D： 0x 1y 1x可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结0： 00x 1y 1xz 1xy可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结3. 运算可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结Izdxdydz11 x1 xdxdyyzdz11 xxdx1 1x2y) dy1112x y21x y

8、1 y 3 1dx可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结1116 0x3 dx0001 x603 x220x3140 22 030x4 1124可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结解 2“截面法 1.画出。2.z0,1过点 z 作垂直于 z 轴的平面截得 D z 。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结Dz 是两直角边为 x,y 的直角三角形， x3.运算1z, y1z可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结Izdxdydz10Dzzdxdy dz1z0D zdxdydz1zzSD dz0可编辑资料 - -

9、 - 欢迎下载精品名师归纳总结111z 1 xydzz 1 1z1zdz1 z2z 2z3 dz102022 024可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结补例 2：运算x 2y 2 dv ，其中是 x2y 2z2 和 z=1 围可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结成的闭区域。解 1“投影法zx 21. 画出及在 xoy 面投影域 D.由 z12 y2消去 z，可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结得 x 2y21 即 D：x 2y21可编辑资料 - - - 欢迎下载精

10、品名师归纳总结2. “穿线 x2y2z1，可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结X 型 D：1x1221xy1x可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结:3. 运算1x 222x yy 1x 2z 1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结11 x111 x2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结x2y2 dvdxdyx211 x2x 2y 2y 2 dzdxx 211 x 2y2 1x2y 2 dy6可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结注：可用柱坐标运算。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归

11、纳总结解 2“截面法1. 画出。 2.z 0,1过点 z 作垂直于 z 轴的平面截得 D： x 2y 2z2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结z02D z ：0rz可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结用柱坐标运算02:0rz0z1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结1x 2y2 dv3. 运算x 2y2 dxdy dz1 2zdr 2dr dz12 1 r03 z dz12 z3dz可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结0Dz00003306可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结补例 3：

12、化三重积分 If x, y, zdxdydz为三次积分，其中：可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结zx 22 y 2及z2x 2 所围成的闭区域。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结解： 1.画出及在 xoy 面上的投影域 D.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结zx 2由z22 y 2x 2消去 z，得 x2y 21可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结即 D：x2y 21可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结2. “穿线 x 22 y2z2x 2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结X 型 D：1 x1221xy1x可编辑资

13、料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结：1x 2x 22 y2y1x2z2x 2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结3. 运算 If x, y, zdxdydz11 x2dx2 x 2dyf x, y, z dz可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结11 x2x 2 2 y 2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结注：当 f x, y, z 为的解析式时可用柱坐标运算。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结补例 4：运算zdv，其中为 z6x 2解 1“投

14、影法y 2及zx 2y 2所围成的闭区域。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结1. 画出及在 xoy 面投影域 D， 用柱坐标运算可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结xr cos由 yr sin zz化的边界曲面方程为： z=6-r2， z=r可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结2. 解z6r 2得rzr2D： r022 即0r2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结“穿线2rz6r0r:0 r2r2z6r 2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳

15、总结3. 运算zdv6 r 2Drzdzrdrd22drdr006 r 2rzdz22r 1 z2026 r 2 dr可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结20解 2“截面法r 6r 2 2r 2 dr236r013r 2r 5 dr92。3可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结1. 画出。如图：由 z6r 2 及zr 围成。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结2. z0,6 0,2 2,612可编辑资料 - - - 欢

16、迎下载精品名师归纳总结1 由 z=r 与 z=2 围成。z0,2 ， Dz ： rz021 ： 0rz0z2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结2由 z=2 与 z= 6r 2 围成。z2,6 ， D z ： r6z02可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结2： 02r6zz6可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结3. 运算zdv=zdv12zdv2z0Dz1rdrd dz6z2Dz2rdrd dz可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - -

17、 欢迎下载精品名师归纳总结2z1zSD dz06z 2zSDdz222zz dz06z62z) dz23z dz066z2z dz9223可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结2注：被积函数 z 是柱坐标中的第三个变量，不能用其次个坐标r 代换。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结补例 5：运算x 2y2 dv ，其中由不等式 0ax 2y 2z2A ， z0 所确可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结定。x解：用球坐标运算。由yzcos sin cossin sin得 的边界曲面的球坐标方程： aA可编辑资料 -

18、 - - 欢迎下载精品名师归纳总结P，连结 OP=，其与 z 轴正向的夹角为，OP=。P可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结在 xoy 面的投影为 P ，连结 OP夹角为 。，其与 x 轴正向的可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结 ： aA ， 0， 022可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结 x2y 2 dv22Add00a2 sin 22 sin d= 2sin 3 12055 A d可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎

19、下载精品名师归纳总结= 2 A55a5 2sin 3d02 A55a 5 2134A515aa5 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结三重积分的运算方法练习可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结1. 运算（ x2y 2 dv ，其中是旋转面 x 2y22 z 与平面 z=2,z=8 所围成可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结的闭区域。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结2. 运算 （ xz dv ，其中 是锥面 z所围成可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结x2y 2与球面 z1x 2y2的闭区域。为了检测三重积分运算的把握情形， 请同学们根据样题的格式，独立完成以上的练习，答案后续。可编辑资料 - - - 欢迎下载