一元积分总结.docx

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1、精品名师归纳总结不定积分一、 不定积分性质与概念1 原函数定义：假如在区间I 上,可导函数 Fx 的导数为 fx ,即对任一 x I 都有Fx ） =fx 或者 dFx=fxdx那么函数 Fx 就称为 fx 在区间 I 上的原函数连续函数肯定有原函数（连续就可导,可导即有原函数）2 积分定义：在区间I 上,函数 fx 的带有任意常数项的原函数称为fx 在区间 I 上的不定积分,记作f xdx可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结如 Fx 为 fx 的一个原函数, 就f xdxF xCC 为常数（切记 不要遗忘常数C）可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结3 原函数与不定积分

2、的关系：互为逆运算例3x 2dx可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结3由于 x3x 2 ,所以x是x2 的一个原函数,因此33x2 dxxC 3可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结基本积分表 肯定要记熟 kxdxkxC1x dxxC 1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结1 dx xln | x |C可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结xa x dxaC （ a0 ,a 1）可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结ln a ex dxexCcos xdxsin xCsin xdxcos xC

3、可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结sec2xdxtan xC可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结csc x 2dxcot xC可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结secx tan xdxsecxC可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结csc x cot11x 21xdxdxcsc xCarcsin xC可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结1x2 dxarctan xC可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结shxdxchxCchxdxshxC4 不定积分的性质性质 1 设函数 f

4、x 及 gx 的原函数存在,就可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结f xg x dxf xdxg x dx可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结性质 2 设函数 fx 的原函数存在, k 为非零常数,就kf xdxkf x dx（两条性质记住, 你在做题的时候对于性质把握不好,做题的时候不要遗忘性质有时候可简化运算）例可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结x x 25dx x 2x5 xdx5x 2 dx5xdx5x 2 dx5xdx72 x 27310 x 2C3可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结二、 不定积分运算1 换元积分法（第一类换元和其次

5、类换元）2 分部积分法（记住基本类型,做题时看属于哪类,套用方法） 第一类换元对于第一类换元法,总结可归纳为将dx 凑成被积函数的变量,再套用基本公式例2 cos2 xdxcos2xd2xsin 2xC分析：被积函数是个多项式2cos2x,变量是 2x ,想方法把 dx 变成 d2x,而 d2x=2dx可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结1dx3 2x11232xd32x可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结1 ln | 322x |C可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结分析：有公式1 dx xln | x |C

6、 ,所以可以把 3+2x 看成一个整体, dx 变成 d3+2x ,但1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结d3+2x= 2dx ,所以原式前要加2x2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结3x2令uxdx2就xu2, dxd u2du可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结原式（ u2）2u 3du2u4u4u 3u 14u 24u 3 duu 1 du4u 2 du4u 3 du可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结ln uu 12u 2Cln | x2 |4x22C x2 2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结分析： 被积函数显现两个变

7、量,考虑换元,一般带根号的,带多项式几次幂的会考虑换元的问题,换元以后问题会变得简洁x 22 xedxx 22edxex 2C可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结分析：被积函数x 222xe,由 2x 和组成,观看得到dx =2xdx ,所以可以将 2x 拿到 d 后面,令可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结x2=u ,eu dueuC最终把 x 2 代入得到可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结x1x2 dx可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结11x2 d 12x 2 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结1 121 1x2 2C112

8、3可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结1 13x2 2C可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结分析：被积函数中有x,而考虑到 dx2=2xdx ,进一步可得 d（ 1-x 2） =-2xdx ,积分符号前提取出 - 1 ,便可利用基本公式求解2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结（仍有些三角,反三角的不定积分求解的问题 PPT 上有,可以看看。三角函数的一些公式, 基本三角公式, 极化和差公式, 万用公式,三角恒等式等要记熟, 在求解三角的不定积分的时候可用来化简）可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结两角和公式sinA+B = sinAcosB+c

9、osAsinB sinA-B = sinAcosB-cosAsinB cosA+B = cosAcosB-sinAsinB cosA-B = cosAcosB+sinAsinB三角函数公式可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结tanA+B =tanAtanB可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结1- tanAtanB可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结tanA-B =tanAtanB可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结1tanAtanB可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结cotA+B =cotAcotB -1可编辑资料 - - - 欢迎下

10、载精品名师归纳总结cotBcotA可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结cotA-B =cotAcotB1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结倍角公式tan2A =1cotB2tanA tan 2 AcotA可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结Sin2A=2SinA.CosACos2A = Cos2A-Sin 2A=2Cos2A-1=1-2sin2A三倍角公式sin3A = 3sinA-4sinA 3cos3A = 4cosA3-3cosAtan3a = tanatan+a tan-a33半角公式可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结sinA =12

11、cos A 2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结cos A =12tan A =121cos A 2cos A cosA可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结cotA =21cos A1cosA可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结tan A = 1cos A =sin A可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结2和差化积sin A1cos A可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结sina+sinb=

12、2sinab cos ab22可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结asina-sinb=2cos2b sin ab 2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结acosa+cosb = 2cos2b cosab 2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结abcosa-cosb = -2sin2tana+tanb= sin absin ab 2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结cosa cosb积化和差1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结sinasinb = -2cosa+b-cosa-b可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结cos

13、acosb =sinacosb = cosasinb =万能公式1 cosa+b+cosa-b21 sina+b+sina-b21 sina+b-sina-b2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结sina=12 tan a2tan a 22可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结1cosa=1tantana 22a) 22可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结tana=12 tan a2tan a 22可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结其次类换元法和第一类相反,是变化被积函数,主要用于以下三种情形：可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结1）

14、 假如被积函数中含有a 2x 2可作变换 x=a sint 或 x=a cost可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结2） 假如被积函数中含有a 2x 2可作变换 x=a tant或 x=a sht 用的不多 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结3） 假如被积函数中含有x2a 2可作变换 x=a sect或 x=a cht 用的不多 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结假如被积函数中含有根式n axb ,就可直接令 n axbt ,将根式消去例可编辑资料 - - -

15、 欢迎下载精品名师归纳总结13x2令 3 x2= t,就 x=t 322, dx3t dt原式 =3t 2dt1t3t11t +1dt3t22tln t1C323 x2 23 3 x23ln3 x21分析：含有根式3x2 ,所以令3x2=ta 2x2x4dx设x1, 那么 dxtdt 就t 2a21 2dt 2原式 =tt1t 41 a 2t 212 t dt当t0时原式 =-12 a 2a 2t 211 2 d a 2t 21a 2t 23a132322Ca 2x23a x23C当t0时 可得相同结果dxC分析：虽然有代换公式但是,存在分母,采纳倒代换,排除分母中的变量x可编辑资料 - -

16、- 欢迎下载精品名师归纳总结dx4 x 29令x3 tan t,就 dx3 sec2 tdt223 sec2 tdt原式23atan t211sectdt1 ln secttantC22324 x29xtanttan txsect2331124 x29ln secttan tC1lnxC12233可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结1ln 2 x24 x29C可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结分析：这是利用代换,属于其次类代换,也可以用后面提到的公式dx可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结21xx原式 =dxdx1=2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名

17、师归纳总结225x15x14242可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结令x-15 sin t , d x1 5 costdt可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结22225 costdt可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结原式 =255 sin2 t44costdttC cost可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结arc2x1C5可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结分析：依据 1）假如被积函数中含有a2x 2可作变换 x=a sint 或 x=a cost可编辑资料 - - - 欢迎下载精

18、品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结想方法显现补充公式： tan xdxa 2x2ln cos x,然后通过代换一步步求解C可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结cotxdxln sin xC可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结sec xdxln secxtan xC可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结csc xdxln csxcot xC可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结dx1 arctan xC可编辑资料 - - - 欢迎

19、下载精品名师归纳总结a 2x 2dxx 2a 2aa1 ln xaC 2 axa可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结dxarcsin xC可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结a2x 2dxx 2a 2aln xx 2a2 C可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结dxx 2a2ln xx2a 2C可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结公式挺多的,熟记可以削减运算,多做做题,然后可以熟识一下换元法总结：在解答不定积分的时候,用换元法,要么换d 后面的 x,要么换前面被积函数,其目的都是转换成基本形式, 然后

20、依据基本公式轻松得出答案。在其次类换元的时候要留意令被积函数=u 时,要解出 dx,就是先解出x=什么,然后对 x 关于 u 求导,具体看例题分部积分法利用两个函数乘积的求导法就,就uv dxuvu vdx简洁归纳为一个公式：udvuvvdu假如是两个函数乘积的形式,可以考虑分布积分法例xcosxdx可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结xd sin xxsin xsin xdxx 幂函数 cosx 三角函数 保留幂函数可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结xsin xcosxC分析： 被积函数是两个基本函数即幂函数和三角函数的乘积,考虑分部积分。 在使用分部积分的时候,主

21、要是将一个基本函数提到d 的后面即对一个基本函数先求导。xexdx可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结xdexxexex dxxexexCx 幂函数指数函数保留幂函数可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结x2ex dxx2dexx2 exex dx2x2ex2 xexdxx2 幂函数 ex 指数函数 保留幂函数可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结x2 ex2xdexx2ex2 xexex dx可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结x2 ex2 xex2exC可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总

22、结像这个题用到了两遍分部积分法x ln xdx1ln xdx21 x2 ln x1x2 d ln x222可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结1 x2 ln x1xdxx 幂函数 lnx 对数函数 保留幂函数可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结221 x2 ln x1 x2C24x arctan xdx1arctanxdx2 2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结1 x2 arctan xx2d arctanx 21x2x2 arctanxdxx 幂函数arctanx 反函数 保留反函数可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结21x211x21x2

23、arctanxdx21x21x2 arctanx1dx1dx21x2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结1 x2 arctan xx 2arctanxC可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结这个题涉及到有理式积分,后面会提到,用的方法仍是分部积分法到了这,你可能会有点疑问,遇到两个相乘的,被积函数应当保留哪个,哪个应当提到d后面去了？教你个口诀：反对幂三指意思是遇到两个基本函数相乘,被积函数保留的考虑次序是反函数,对数函数,幂函数,三角函数,指数函数。也不能说肯定这样,但是应付你学的应当肯定没问题, 我们解答也是依据这么个次序来的。这几个基本函数形式应当吧,不知道问度娘,

24、 我不给你说明白。然后咱在从第一题来看,我用红字给你标出了趁热打铁再来几个典型点的题：可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结ex sin xdx可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结sinxdexex sinxexd sin x可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结xe sinxxe cos xdx可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结ex sin xcos xdexex sin xex cos xexd cos x可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结ex sinxex cos xex sinx

25、dx可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结到这你会发觉等号右边红色的和左边一开头一样就原式 = 1xx可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结2xedxe sin xecos x +C可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结令xt, 就xt 2 ,dx2tdt ,于是可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结原式 =2tet dt到这里一切就明白了吧可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结sec3 xdx可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结sec xdtan xsecx tan xtan xd

26、secx可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结secx tan xtan2x secxdx可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结secx tan xsecxsec21 dx可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结secx tan xsec3 xdx12sec3 dxsecx tan xsecxdxsecxdx可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结1 secx tan x 2ln secxtan xC可编辑资料 -

27、- - 欢迎下载精品名师归纳总结到这里两种方法都整理完了,这里面的题不算太难,你看看,然后自己再做一遍,PPT 上面的题有的有些难度,看不懂的就问我,免费询问,询问电话18858262262最终是有理函数的积分P x可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结两个多项式的商称为有理函数,又称有理分式Q x可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结P x 的次数小于 Q x 称为真分式,否就称为假分式假分式化为真分式利用多项式除法可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结2x4x23x21分子4次,分母为 2次,假分式用多项式除法,分子分母同除以x21可编辑资料 - - - 欢迎

28、下载精品名师归纳总结2x4x23x212x214可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结原式=2 x2P x41+ x21可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结真分式Q x,假如分母可以分解为两个多项式的乘积,Q xQ1xQ2x可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结切 Q1x ,Q2x 没有公因式, 那么它可以分拆成两个真分式之和P xP1Q xQ1xP2x,xQ2x可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结便于运算例x1x25x6 dx可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结分母 x25 x6=x3x2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结

29、可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结就可设x1AB=可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结x25 x6x3x2等式两边去分母得x1A x2B x3即x+1=A+Bx-2A-3B对应系数相等A+B=1 2A+3B=-1 A=4,B=-3原式 =4dx3 dx4ln x33ln x2Cx-3x-2分析：在化成两个有理式相加的时候,系数A ,B 的确定是关键,此题中分母可以化成两个多项式相乘, 取两个多项式分别为两个有理式的分母,由于题目中的分子是一次,而分子中也只有一次的x,可确定 A B 中可定没有 x 的系数,依据对应系数相等得出A B可编辑资料 - - - 欢迎下载精品

30、名师归纳总结x3dxx1x21可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结被积函数中分母两个因式有公因式,需再次分解成2x1x1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结x3AxBCx1x21x1 2x1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结x3 AxB x1C x12可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结x3 ACx2 AB2C xBC可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结AC0AB2C1 BC-3A1,B-2, C-1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结原式=x2dx1 dx可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结x1 2x1可编

31、辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结x11dx1 dx可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结2x11dx2x11d xx11) 1 dx可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结x1 x12x1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结ln x11ln x1C x1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结分析：在确定A B C 的时候,要留意,由于分子为x-3,分母一个x22 x1 ,一个 x1 ,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结而分子 x3 ,所以分子一个为Ax+B ,一个为 C。在确定分子的时候,第一形式要正确才可以用采纳对应系数法求解,怎么确定？观看分子分母,然后凑, 只能多做点题才简洁看出来。可编辑资料 - - - 欢迎下载