概率论与数理统计 - 2.ppt

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1、1,数理统计部分,第六章 样本及抽样分布,第七章 参数估计,第八章 假设检验,数理统计是具有广泛应用的一个数学分支.它以概率论为理论基础，根据试验或观察得到的数据，来研究随机现象，对研究对象的客观规律作出种种合理的估计和判断。,数理统计主要内容,第六章 样本及其抽样分布 第1节 总体与样本,数理统计学是一门以数据为基础的学科. 数理统计学的任务就是如何获得样本和利用样本，从而对事物的某些未知方面进行分析、推断并作出一定的决策。,3,例如：生产厂家声称他们生产的灯泡平均寿命不低于6000小时，如何验证厂家说法的真伪？由于灯泡寿命试验是破坏性试验，不可能把整批灯泡逐一检测，只能抽取一部分灯泡进行检

2、验，通过这部分灯泡的寿命数据来推断整批灯泡的平均寿命。以部分数据信息来推断整体未知参数，就是数理统计研究问题的基本方式。,4,总体：研究对象的全体；或试验全部观察值 个体：总体中的成员/每个可能的观察值总体的容量：总体中包含的个体数；有限总体：容量有限的总体；无限总体：容量无限的总体，通常将容量非常大的有限总体也按无限总体处理。,5,6,例：1）了解某校大学生“做过家教（包括正在做家教）”的比例。 总体是该校大学生全体。这是一个有限总体，每个大学生有许多指标，比如性别，年龄，身高，体重，高考成绩。现在我们关心的是学生是否“做过家教”这一指标。,2）了解某城市的空气质量情况，关注该城市的PM2.

3、5值。总体是城市上空一定范围内的空气，这是一个无限总体，描述空气质量有许多指标，而我们仅关心PM2.5值。,7,3）药厂研究某种药物在人体中的吸收情况。总体是全体国民，这是一个有限总体，但数量非常巨大，我们常把它看成无限总体。,8,为了采用数理统计方法进行分析，首先要收集数据，数据收集方法一般有两种。,（1）通过调查、记录收集数据。如为了调查大学生是否“做过家教”，可以进行问卷调查；要了解PM2.5值，需要在城市设立若干监测站点，定时收集PM2.5数据。,9,（2）通过实验收集数据。如为了了解药物吸收情况，首先要进行试验设计，并征集若干志愿者，按试验设计方案将他们分成若干组，监测他们服药后不同

4、时间点身体中药物含量，记录相应的数据。,关于数据的收集（调查数据和实验数据）可以根据数据本身的特点有多种不同的方法和设计，有专门的课程讲授，本课程不作详细介绍。,实际中人们通常只关注总体的某个（或几个）指标。总体的某个指标X, 对于不同的个体来说有不同的取值, 这些取值构成一个分布, 因此X可以看成一个随机变量. 有时候直接将X称为总体. 假设X的分布函数为F(x), 也称总体X具有分布F(x).,10,11,如何推断总体分布的未知参数（或分布）？,12,需要从总体中抽取一部分个体, 根据这部分个体的数据，并利用概率论的知识等作出分析推断.,被抽取的部分个体叫做总体的一个 样本.,方 法,简单

5、随机样本：满足以下两个条件的随机样本(X1,X2,Xn)称为容量是n的简单随机样本。 1 代表性: 每个Xi与X同分布； 2 独立性: X1,X2,Xn是相互独立的随机变量。 说明：后面提到的样本均指简单随机样本。,13,获得简单随机样本的抽样称为简单随机抽样。如何进行简单随机抽样?,14,对于有限总体, 采用放回抽样.,但当总体容量很大的时候,放回抽样有时候很不方便, 因此在实际中当总体容量比较大时,通常将不放回抽样所得到的样本近似当作简单随机样本来处理.,对于无限总体, 一般采取不放回抽样.,15,解：(1),16,注意：(1)一个样本(容量为n)是指n个独立与总体分布相同的随机变量.(2

6、) 对样本进行一次观测，得到实际数值(n个) 称为样本观察值（或样本值）.(3)一般情形下，两次观测，样本值是不同的.,17,18,19,19,20,第2节 统计量与常用统计量,样本中包含了许多信息。对于推断总体的参数或分布而言，有些是有用的，重要的信息，有些则并不重要。,上例的样本至少提供了两种信息：1）10个灯泡的平均寿命; 2）灯泡寿命的序号(如6394是第1个).,有用且重要的信息,不重要信息,从样本中提取有用的信息来研究总体的分布及各种特征数.构造统计量.,23,统计量：样本的不含任何未知参数的函数。,常用统计量：,24,常用统计量：,25,26,27,例2 接上一讲例2，总体为88

7、，75，70，63，总体均值为74，总体方差为83.5.计算全部16个样本的样本均值，样本方差和样本二阶中心矩.,28,与总体均值74相同,与总体方差83.5相同,比总体方差小,当总体数字特征未知时,29,这些非常直观的想法，有什么理论依据吗？这部分内容我们会在后面介绍。,30,第3节,在数理统计中, 用于描述抽样分布的分布函数，除了正态分布外，最重要的三个分布分别为: 下面分别给出这三个分布的定义，密度函数，图形，性质和分位数等等。,32,33,34,35,36,37,38,39,40,William Gosset(1876-1937)1908年提出t-分布,41,42,43,44,45,46,47,48,第4讲 单个正态总体的抽样分布,50,51,（2）证略.,52,53,54,55,56,57,说明：S2除以(n-1)主要是为了保证对方差的无偏估计,58,第5节 两个正态总体的抽样分布,60,61,62,63,64,思考:,65,66,第42讲例2,