多元函数积分学.ppt

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1、主讲人：汪凤贞,多元函数微分学,一元函数与多元函数的区别在于自变量由一个变为多个，由于都是函数，因此有许多相类似的定义、概念和定理，但也有不同之处。一元函数与多元函数的区别在于自变量由一个变为多个。n元函数是指含有n个自变量的函数，二元及二元以上的函数以二元函数的研究为主。这是因为一二元函数书写简单，形象直观；更重要的是二元与其他多元函数之间没有本质的区别，只是形式是上的不同。,一、平面点集、二维空间 定义：有序实数对的集合（，）， 称为二维空间，表为或。 与平面直角坐标系的关系：与直角坐标系的全体点之间的关系有一一对应关系。因此将它们二者不加区别：如（，）与点（，）。,x,o,y,两点间的距

2、离：设（，）与（，）是的任意两 点,则称非负数 为点与 的距离。记作|。,、邻域 定义 平面点集(x ,y) | 称为点 P（，）的圆形邻域。表为 U（，），其 中邻域半径；邻域中心。 平点集(,) |-| ，|-| 称为点P(a,b)方形邻域,也可表为 U(p, ),几何意义： 圆形邻域是指与点（，）的距离小于 的全体点的集合.,x,y,o,.p,x,y,o,.a,b,.,2,方形邻域是指由直线与所围成的方形邻域。,性质：点的任意一圆形邻 域内的点存在点的某一个 方形邻域， 反之点的任意 方形邻域里总存在点的某 一个圆形邻域。两点说明：、根据邻域的性质已知点的方形邻域与原形邻域互相包含，因此

3、这两种邻域只是形式不同而无本质区别。故以后所论的“点的邻域”泛指这两中邻域，所以统一用符号（，）表示。 b、如果不须要强调邻域的半径 时,也记邻域为U(p),x,y,o,.,去心邻域平面点集(x,y)| 与(x,y)|x-a|，|y-b|0，使（p，）E，则称p是E的内点。 若0，使（p， )E= ，则称p是E的外点。,.p,E,E,.P,若 0，在邻域（P， ）内都既含中的点又 含有不属于E中的点，则称p是E的点，E的全体界点 称为E的边界。,E,.P,.P,4、有界集与无界集 若 r0，使平面点集E U（ O，r），则称E 为有界集。其中O为坐标原点，否则称E为无界集。 即若 r0， ,使

4、 称E为无 界集。,例如1、平面点集E=(x,y)|x-2|1，| y-1|2 有 界集。因为E （0，3）；,x,y,o,.,.,.,.p,y=-1,Y=3,X=1,X=3,例2、F=(x,y)| 是有界集。,x,y,R=2,r=1,G=（x，y）| 是无界集。指出点集E、F、G的内点，外点，边界点与边界。 可以看到 平面点集的界点可能属于它，也可能 不属于它。平面点集的内点必属于它，外点必不 属于它。,5、开区域与闭区域 .定义：设E为平面点集，若E中的任意一点都是E的内点，且E内任意两点都可用属于E的折线连接起来，则称E是开区域。开区域连同它的边界点集称为闭区域。,E,.A,.B,C.,.A,.B,几点说明由定义可知开区域与闭区域是开区间与闭区间的推广。如果无须特别指明区域的开闭性是时，可简称为平面区域。 平面点集不一定是开区域与闭区域。,如：E=（x，y）|x-2| 1，|y-1|2既不是开区域也不是闭区域。包含其全部内点与部分边界点。 F=（x，y）|xZ，y N，显然F中的每一个点都不是F的内点，但都是F的界点。F既不是开区域也不是闭区域（因为在（P， ）内既有F中的点P，也有非F中的点）,x,y,o,.,p,6、平面区域的直径 定义：设E为平面区域，则称正数 sup| | 称为E的直径。表为d（E）。,E,.A,.B,