2018年全国各地高考数学(理科试卷及答案).docx

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1、精选优质文档-倾情为你奉上专心-专注-专业2018 年高考数学理科试卷（江苏卷）数学数学一、填空题：本大题共一、填空题：本大题共 14 小题，每小题小题，每小题 5 分，共计分，共计 70 分分请把答案填写在请把答案填写在答题卡相应位答题卡相应位置上置上1已知集合8 , 2 , 1 , 0A，8 , 6 , 1 , 1B，那么BA2若复数z满足izi21，其中 i 是虚数单位，则z的实部为3已知 5 位裁判给某运动员打出的分数的茎叶图如图所示，那么这 5 位裁判打出的分数的平均数为4一个算法的伪代码如图所示，执行此算法，最后输出的S的值为5函数 1log2xxf的定义域为6某兴趣小组有 2 名

2、男生和 3 名女生，现从中任选 2 名学生去参加活动，则恰好选中 2 名女生的概率为精选优质文档-倾情为你奉上专心-专注-专业7已知函数222sinxxy的图象关于直线3x对称，则的值是8在平面直角坐标系xOy中，若双曲线0, 012222babyax的右焦点0 , cF到一条渐近线的距离为c23，则其离心率的值是9 函数 xf满足 Rxxfxf4， 且在区间2 , 2(上， 02,2120 ,2cosxxxxxf，则 15ff的值为10如图所示，正方体的棱长为 2，以其所有面的中心为顶点的多面体的体积为11 若函数 Raaxxxf1223在, 0内有且只有一个零点， 则 xf在1 , 1上的

3、最大值与最小值的和为12在平面直角坐标系xOy中，A为直线xyl2:上在第一象限内的点，0 , 5B，以AB为 直 径 的 圆C与 直 线l交 于 另 一 点D 若0CDAB， 则 点A的 横 坐 标为精选优质文档-倾情为你奉上专心-专注-专业13在ABC中，角CBA、所对的边分别为cba、，120ABC，ABC的平分线交AC于点D，且1BD，则ca4的最小值为14已知集合NnnxxA, 12|，NnxxBn,2|将BA的所有元素从小到大依次排列构成一个数列 na，记nS为数列 na的前n项和，则使得112nnaS成立的n的最小值为二二、解答题解答题：本大题共本大题共6小题小题，共计共计90分

4、分请在请在答题卡指定区域答题卡指定区域内作答内作答，解答时应写出文字解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤说明、证明过程或演算步骤15 （本小题满分 14 分）在平行六面体1111ABCDABC D中，1111,AAAB ABBC求证： （1）11ABABC平面；（2）111ABB AABC平面平面16 （本小题满分 14 分）已知, 为锐角，4tan3，5cos()5 （1）求cos2的值；（2）求tan()的值精选优质文档-倾情为你奉上专心-专注-专业17 （本小题满分 14 分）某农场有一块农田，如图所示，它的边界由圆 O 的一段圆弧MPN（P 为此圆弧的中点）和线段 MN 构成已知圆

5、 O 的半径为 40 米，点 P 到 MN 的距离为 50 米现规划在此农田上修建两个温室大棚，大棚内的地块形状为矩形 ABCD，大棚内的地块形状为CDP，要求,A B均在线段MN上，,C D均在圆弧上设 OC与 MN 所成的角为（1）用分别表示矩形ABCD和CDP的面积，并确定sin的取值范围；（2）若大棚内种植甲种蔬菜，大棚内种植乙种蔬菜，且甲、乙两种蔬菜的单位面积年产值之比为4:3求当为何值时，能使甲、乙两种蔬菜的年总产值最大18 （本小题满分 16 分）如图，在平面直角坐标系xOy中，椭圆 C 过点1( 3, )2，焦点12(3,0),( 3,0)FF，圆 O 的直径为12FF（1）求

6、椭圆 C 及圆 O 的方程；（2）设直线 l 与圆 O 相切于第一象限内的点 P若直线 l 与椭圆 C 有且只有一个公共点，求点 P 的坐标；精选优质文档-倾情为你奉上专心-专注-专业直线 l 与椭圆 C 交于,A B两点若OAB的面积为2 67，求直线 l 的方程19 （本小题满分 16 分）记( ),( )fx g x分别为函数( ), ( )f x g x的导函数若存在0 x R，满足00()()f xg x且00()()fxg x，则称0 x为函数( )f x与( )g x的一个“S 点”（1）证明：函数( )f xx与2( )22g xxx不存在“S 点”；（2）若函数2( )1f

7、xax与( )lng xx存在“S 点”，求实数 a 的值；（3）已知函数2( )f xxa ，e( )xbg xx对任意0a ，判断是否存在0b ，使函数( )f x与( )g x在区间(0,)内存在“S 点”，并说明理由20 （本小题满分 16 分）设na是首项为1a，公差为 d 的等差数列， nb是首项为1b，公比为 q 的等比数列（1）设110,1,2abq，若1|nnabb对1,2,3,4n 均成立，求 d 的取值范围；（ 2 ） 若*110,(1, 2mabmqN， 证 明 ： 存 在dR， 使 得1|nnabb对精选优质文档-倾情为你奉上专心-专注-专业2,3,1nm均成立，并求

8、d的取值范围（用1,b m q表示） 精选优质文档-倾情为你奉上专心-专注-专业数学数学( (附加题附加题) )21 【选做题选做题】本题包括本题包括 A、B、C、D 四小题四小题，请选定其中两小题请选定其中两小题，并在相应的答题区域内并在相应的答题区域内作答作答若多做，则按作答的前两小题评分解答时应写出文字说明、证明过程或演算若多做，则按作答的前两小题评分解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤步骤A选修 41：几何证明选讲(本小题满分 10 分)如图，圆 O 的半径为 2，AB 为圆 O 的直径，P 为 AB 延长线上一点，过 P 作圆 O 的切线，切点为 C若2 3PC ，求 BC 的长

9、B选修 42：矩阵与变换(本小题满分 10 分)已知矩阵2312A（1）求A的逆矩阵1A；（2）若点 P 在矩阵A对应的变换作用下得到点(3,1)P，求点 P 的坐标C选修 44：坐标系与参数方程(本小题满分 10 分)在极坐标系中，直线 l 的方程为sin()26，曲线 C 的方程为4cos，求直线 l被曲线 C 截得的弦长D选修 45：不等式选讲(本小题满分 10 分)若 x，y，z 为实数，且 x+2y+2z=6，求222xyz的最小值精选优质文档-倾情为你奉上专心-专注-专业【必做题】第【必做题】第 22 题、第题、第 23 题，每题题，每题 10 分，共计分，共计 20 分分请在请在

10、答题卡指定区域答题卡指定区域内作答，解内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤学科学科#网网22（本小题满分 10 分）如图，在正三棱柱 ABC-A1B1C1中，AB=AA1=2，点 P，Q 分别为 A1B1，BC 的中点（1）求异面直线 BP 与 AC1所成角的余弦值；（2）求直线 CC1与平面 AQC1所成角的正弦值精选优质文档-倾情为你奉上专心-专注-专业23(本小题满分 10 分)设*nN，对 1，2，n 的一个排列1 2niii，如果当 s0） ，则年总产值为 4k800（4sincos+cos）+3k1600（cossincos）=80

11、00k（sincos+cos） ，0，2） 设 f（）= sincos+cos，0，2） ，则222( )cossinsin(2sinsin1)(2sin1)(sin1)f 令( )=0f，得=6，当（0，6）时，( )0f，所以 f（）为增函数；精选优质文档-倾情为你奉上专心-专注-专业当（6，2）时，( )0，设32( )3h xxxaxa因为(0)0(1)1 320hahaa ，且 h（x）的图象是不间断的，所以存在0 x（0，1） ，使得0()0h x，令03002e (1)xxbx，则 b0函数2e( )( )xbf xxag xx ，则2e (1)( )2( )xbxfxxg xx

12、 ， 由 f（x）与 g（x）且 f（x）与 g（x） ，得22ee (1)2xxbxaxbxxx，即00320030202ee (1)2e (1)2e (1)xxxxxxaxxxxxxx（*）此时，0 x满足方程组（*） ，即0 x是函数 f（x）与 g（x）在区间（0，1）内的一个“S点”因此，对任意 a0，存在 b0，使函数 f（x）与 g（x）在区间（0，+）内存在“S 点”20本小题主要考查等差和等比数列的定义本小题主要考查等差和等比数列的定义、通项公式通项公式、性质等基础知识性质等基础知识，考查代数推理考查代数推理、转化与化归及综合运用数学知识探究与解决问题的能力满分转化与化归及综

13、合运用数学知识探究与解决问题的能力满分 16 分分解： （1）由条件知：112(,)nnnand b因为1|nnabb对 n=1，2，3，4 均成立，即1 12|()1|nnd对 n=1，2，3，4 均成立，即 11，1d3，32d5，73d9，得7532d精选优质文档-倾情为你奉上专心-专注-专业因此，d 的取值范围为7 5 , 3 2（2）由条件知：111(1) ,nnnabnd bbq若存在 d，使得1|nnabb（n=2，3，m+1）成立，即1111 |1|2,3,(1()nbndbqb nm，即当2,3,1nm时，d 满足1111211nnqqbdbnn因为(1, 2mq，则112n

14、mqq，从而11201nqbn，1101nqbn，对2,3,1nm均成立因此，取 d=0 时，1|nnabb对2,3,1nm均成立下面讨论数列121nqn的最大值和数列11nqn的最小值（2,3,1nm） 当2nm时，111 2222111()()()nnnnnnnnqqnqqnqn qqqnnn nn n，当112mq时，有2nmqq，从而1() 20nnnn qqq因此，当21nm时，数列121nqn单调递增，故数列121nqn的最大值为2mqm设( )()2 1xf xx，当 x0 时，ln2 1(0(n)l 2 2)xfxx ，所以( )f x单调递减，从而( )f xf（0）=1当2

15、nm时，111112 111()()( )nnnqq nnfqnnnn，因此，当21nm时，数列11nqn单调递减，故数列11nqn的最小值为mqm因此，d 的取值范围为11(2),mmb qb qmm精选优质文档-倾情为你奉上专心-专注-专业数学数学( (附加题附加题) )参考答案参考答案21 【选做题】【选做题】A选修 41：几何证明选讲本小题主要考查圆与三角形等基础知识，考查推理论证能力满分本小题主要考查圆与三角形等基础知识，考查推理论证能力满分 10 分分证明：证明：连结 OC因为 PC 与圆 O 相切，所以 OCPC又因为 PC=2 3，OC=2，所以 OP=22PCOC=4又因为

16、OB=2，从而 B 为 RtOCP 斜边的中点，所以 BC=2B选修 42：矩阵与变换本小题主要考查矩阵的运算、线性变换等基础知识，考查运算求解能力满分本小题主要考查矩阵的运算、线性变换等基础知识，考查运算求解能力满分 10 分分解解： （1）因为2312A，det( )22 1 310 A，所以 A 可逆，从而1A2312（2）设 P(x，y)，则233121xy ，所以13311xy A，因此，点 P 的坐标为(3，1)C选修 44：坐标系与参数方程本小题主要考查曲线的极坐标方程等基础知识，考查运算求解能力满分本小题主要考查曲线的极坐标方程等基础知识，考查运算求解能力满分 10 分分解：解

17、：因为曲线 C 的极坐标方程为=4cos，所以曲线 C 的圆心为（2，0） ，直径为 4 的圆因为直线 l 的极坐标方程为sin()26，则直线 l 过 A（4，0） ，倾斜角为6，所以 A 为直线 l 与圆 C 的一个交点设另一个交点为 B，则OAB=6连结 OB，因为 OA 为直径，从而OBA=2，所以4cos2 36AB 精选优质文档-倾情为你奉上专心-专注-专业因此，直线 l 被曲线 C 截得的弦长为2 3D选修 45：不等式选讲本小题主要考查柯西不等式等基础知识，考查推理论证能力满分本小题主要考查柯西不等式等基础知识，考查推理论证能力满分 10 分分证明：证明：由柯西不等式，得222

18、2222()(122 )(22 )xyzxyz因为22 =6xyz，所以2224xyz，当且仅当122xyz时，不等式取等号，此时244333xyz，所以222xyz的最小值为 422 【必做题】本小题主要考查空间向量本小题主要考查空间向量、异面直线所成角和线面角等基础知识异面直线所成角和线面角等基础知识，考查考查运用空间向量解决问题的能力运用空间向量解决问题的能力满分满分10分分学科学科%网网解解：如图，在正三棱柱ABCA1B1C1中，设AC，A1C1的中点分别为O，O1，则OBOC，OO1OC，OO1OB，以1,OB OC OO 为基底，建立空间直角坐标系Oxyz因为AB=AA1=2，所以

19、1110, 1,0 ,3,0,0 ,0,1,0 ,0, 1,()()()()(2 ,3,0,2 ,0,1,2)()ABCABC（1）因为P为A1B1的中点，所以31(,2)22P，从而131(,2)(0,2,222),BPAC ，故111| 14|3 10|cos,|20| |52 2BP ACBP ACBPAC 精选优质文档-倾情为你奉上专心-专注-专业因此，异面直线BP与AC1所成角的余弦值为3 1020（2）因为Q为BC的中点，所以3 1(,0)22Q，因此3 3(,0)22AQ ，11(0,2,2),(0,0,2)ACCC 设n=（x，y，z）为平面AQC1的一个法向量，则10,0,A

20、QAC nn即330,22220.xyyz不妨取( 3, 1,1)n，设直线CC1与平面AQC1所成角为，则111|25sin|cos|,| |552CCCCCC| nnn，所以直线CC1与平面AQC1所成角的正弦值为5523 【必做题必做题】本小题主要考查计数原理本小题主要考查计数原理、排列等基础知识排列等基础知识，考查运算求解能力和推理论证考查运算求解能力和推理论证能力满分能力满分 10 分分解解： （1）记()abc为排列 abc 的逆序数，对 1，2，3 的所有排列，有(123)=0(132)=1(213)=1(231)=2(312)=2(321)=3，所以333(0)1(1)(2)2

21、fff，对 1，2，3，4 的排列，利用已有的 1，2，3 的排列，将数字 4 添加进去，4 在新排列中的位置只能是最后三个位置因此，4333(2)(2)(1)(0)5ffff（2）对一般的 n（n4）的情形，逆序数为 0 的排列只有一个：12n，所以(0)1nf逆序数为 1 的排列只能是将排列 12n 中的任意相邻两个数字调换位置得到的排列，所以(1)1nfn为计算1(2)nf，当 1，2，n 的排列及其逆序数确定后，将 n+1 添加进原排列，n+1精选优质文档-倾情为你奉上专心-专注-专业在新排列中的位置只能是最后三个位置因此，1(2)(2)(1)(0)(2)nnnnnfffffn当 n5

22、 时，112544(2)(2)(2)(2)(2)(2)(2)(2)nnnnnffffffff242(1)(2)4(2)2nnnnf，因此，n5 时，(2)nf222nn精选优质文档-倾情为你奉上专心-专注-专业绝密绝密启用前启用前2012018 8 年普通高等学校招生全国统一考试年普通高等学校招生全国统一考试数数学（理学（理） （北京卷）（北京卷）本试卷共 5 页，150 分。考试时长 120 分钟。考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效。考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。学科:网第一部分（选择题共 40 分）一、选择题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题列出的四个选

23、项中，选出符合题目要求的一项。（1）已知集合 A=x|x|2，B=2，0，1，2，则 AB=（A）0，1（B）1，0，1（C）2，0，1，2（D）1，0，1，2（2）在复平面内，复数11i的共轭复数对应的点位于（A）第一象限（B）第二象限（C）第三象限（D）第四象限（3）执行如图所示的程序框图，输出的 s 值为（A）12（B）56（C）76（D）712精选优质文档-倾情为你奉上专心-专注-专业（4）“十二平均律”是通用的音律体系，明代朱载堉最早用数学方法计算出半音比例，为这个理论的发展做出了重要贡献 十二平均律将一个纯八度音程分成十二份， 依次得到十三个单音，从第二个单音起，每一个单音的频率与

24、它的前一个单音的频率的比都等于122若第一个单音的频率为 f，则第八个单音的频率为（A）32 f（B）322 f（C）1252 f（D）1272 f（5）某四棱锥的三视图如图所示，在此四棱锥的侧面中，直角三角形的个数为（A）1（B）2（C）3（D）4（6）设 a，b 均为单位向量，则“33abab”是“ab”的（A）充分而不必要条件（B）必要而不充分条件（C）充分必要条件（D）既不充分也不必要条件（7）在平面直角坐标系中，记 d 为点 P（cos，sin）到直线20 xmy的距离，当，m 变化时，d 的最大值为（A）1（B）2（C）3（D）4（8）设集合( , )|1,4,2,Ax yxyax

25、yxay则（A）对任意实数 a，(2,1)A（B）对任意实数 a， （2，1）A（C）当且仅当 af（0）对任意的 x（0，2都成立，则 f（x）在0，2上是增函数”为假命题的一个函数是_（14）已知椭圆22221(0)xyMabab：，双曲线22221xyNmn：若双曲线 N 的两条渐近线与椭圆 M 的四个交点及椭圆 M 的两个焦点恰为一个正六边形的顶点，则椭圆 M 的离心率为_；双曲线 N 的离心率为_三三、解答题共解答题共 6 小题，共小题，共 80 分分。解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程。解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程。学学科网科网（15） （本小题 13 分）在ABC

26、中，a=7，b=8，cosB=17（）求A；（）求 AC 边上的高（16） （本小题 14 分）如图，在三棱柱 ABC-111ABC中，1CC 平面 ABC，D，E，F，G 分别为1AA，AC，11AC，1BB的中点，AB=BC=5，AC=1AA=2精选优质文档-倾情为你奉上专心-专注-专业（）求证：AC平面 BEF；（）求二面角 B-CD-C1的余弦值；（）证明：直线 FG 与平面 BCD 相交（17） （本小题 12 分）电影公司随机收集了电影的有关数据，经分类整理得到下表：电影类型第一类第二类第三类第四类第五类第六类电影部数14050300200800510好评率0.40.20.150.

27、250.20.1好评率是指：一类电影中获得好评的部数与该类电影的部数的比值假设所有电影是否获得好评相互独立（） 从电影公司收集的电影中随机选取 1 部， 求这部电影是获得好评的第四类电影的概率；（）从第四类电影和第五类电影中各随机选取 1 部，估计恰有 1 部获得好评的概率；（）假设每类电影得到人们喜欢的概率与表格中该类电影的好评率相等，用“1k”表示第 k 类电影得到人们喜欢， “0k”表示第 k 类电影没有得到人们喜欢（k=1，2，3，4，5，6） 写出方差1D，2D，3D，4D，5D，6D的大小关系（18） （本小题13分）设函数( )f x=2(41)43axaxaex（）若曲线y=

28、f（x）在点（1，(1)f）处的切线与x轴平行，求a；（）若( )f x在x=2处取得极小值，求a的取值范围（19） （本小题 14 分）已知抛物线 C：2y=2px 经过点P（1，2） 过点 Q（0，1）的直线 l 与抛物线 C 有两个不同的交点 A，B，且直线 PA 交 y 轴于 M，直线 PB 交 y 轴于 N（）求直线 l 的斜率的取值范围；（）设 O 为原点，QMQO ，QNQO，求证：11为定值精选优质文档-倾情为你奉上专心-专注-专业（20） （本小题14分）设 n 为正整数，集合 A=12|( , ,),0,1,1,2, nnt tttkn 对于集合 A 中的任意元素12(,)

29、nx xx和12(,)ny yy，记M（，）=111122221(|)(|)(|)2nnnnxyxyxyxyxyxy（）当 n=3 时，若(1,1,0)，(0,1,1)，求 M（, ）和 M（, ）的值；（）当 n=4 时，设 B 是 A 的子集，且满足：对于 B 中的任意元素, ，当, 相同时，M（，）是奇数；当, 不同时，M（，）是偶数求集合 B 中元素个数的最大值；（） 给定不小于 2 的 n， 设 B 是 A 的子集， 且满足： 对于 B 中的任意两个不同的元素, ，M（，）=0写出一个集合 B，使其元素个数最多，并说明理由学科&网绝密绝密启用前启用前2012018 8 年普通高等学校

30、招生全国统一考试年普通高等学校招生全国统一考试理理科科数学试题参考答案数学试题参考答案一、选择题1A2D3B4D5C6C7C8D二、填空题963nan1012112312313y=sinx（答案不唯一）14312；三、解答题（15） （共 13 分）解：（）在ABC 中，cosB=17，B（2，），sinB=24 31cos7B精选优质文档-倾情为你奉上专心-专注-专业由正弦定理得sinsinabAB7sin A=84 37，sinA=32B（2，），A（0，2），A=3（）在ABC 中，sinC=sin（A+B）=sinAcosB+sinBcosA=3114 3()2727 =3 314如图

31、所示，在ABC 中，sinC=hBC，h=sinBCC=3 33 37142，AC 边上的高为3 32（16） （共 14 分）解： （）在三棱柱 ABC-A1B1C1中，CC1平面 ABC，四边形 A1ACC1为矩形又 E，F 分别为 AC，A1C1的中点，ACEFAB=BCACBE，AC平面 BEF（）由（I）知 ACEF，ACBE，EFCC1又 CC1平面 ABC，EF平面 ABCBE平面 ABC，EFBE如图建立空间直角坐称系 E-xyz由题意得 B（0，2，0） ，C（-1，0，0） ，D（1，0，1） ，F（0，0，2） ，G（0，2，1） 精选优质文档-倾情为你奉上专心-专注-专

32、业=(2 0 1)=(1 2 0)CDCBuuu ruur， ，设平面 BCD 的法向量为()a b c，n，00CDCBuuu ruurnn，2020acab，令 a=2，则 b=-1，c=-4，平面 BCD 的法向量(214)， ，n，又平面 CDC1的法向量为=(0 2 0)EBuur，21cos=21|EBEBEBuuruuruurnnn由图可得二面角 B-CD-C1为钝角，所以二面角 B-CD-C1的余弦值为2121（）平面 BCD 的法向量为(214)， ，n，G（0，2，1） ，F（0，0，2） ，=(02 1)GFuuu r，2GF uuu rn，n与GFuuu r不垂直，GF

33、 与平面 BCD 不平行且不在平面 BCD 内，GF 与平面 BCD 相交（17） （共 12 分）解： （）由题意知，样本中电影的总部数是 140+50+300+200+800+510=2000，第四类电影中获得好评的电影部数是 2000.25=50故所求概率为500.0252000（）设事件 A 为“从第四类电影中随机选出的电影获得好评”，事件 B 为“从第五类电影中随机选出的电影获得好评”故所求概率为 P（ABAB）=P（AB）+P（AB）=P（A） （1P（B） ）+（1P（A） ）P（B） 由题意知：P（A）估计为 0.25，P（B）估计为 0.2故所求概率估计为 0.250.8+0

34、.750.2=0.35（）1D4D2D=5D3D6D（18） （共 13 分）解：（）因为( )f x=2(41)43axaxaex，所以 f （x）=2ax（4a+1）ex+ax2（4a+1）x+4a+3ex（xR）精选优质文档-倾情为你奉上专心-专注-专业=ax2（2a+1）x+2exf (1)=(1a)e由题设知 f (1)=0，即(1a)e=0，解得 a=1此时 f (1)=3e0所以 a 的值为 1（）由（）得 f （x）=ax2（2a+1）x+2ex=（ax1）(x2)ex若 a12，则当 x(1a，2)时，f (x)0所以 f (x)0 在 x=2 处取得极小值若 a12，则当

35、x(0，2)时，x20，ax112x10所以 2 不是 f (x)的极小值点综上可知，a 的取值范围是（12，+）（19） （共 14 分）解： （）因为抛物线 y2=2px 经过点 P（1，2） ，所以 4=2p，解得 p=2，所以抛物线的方程为 y2=4x由题意可知直线 l 的斜率存在且不为 0，设直线 l 的方程为 y=kx+1（k0） 由241yxykx得22(24)10k xkx 依题意22(24)410kk ，解得 k0 或 0kb0)的左焦点为F，上顶点为B. 已知椭圆的离心率为53，点A的坐标为( ,0)b，且6 2FBAB.（I）求椭圆的方程；（II）设直线l：(0)ykx

36、k与椭圆在第一象限的交点为P，且l与直线AB交于点Q.若5 2sin4AQAOQPQ(O为原点) ，求k的值.(20)( (本小题满分本小题满分 1414 分分) )已知函数( )xf xa，( )logag xx，其中a1.（I）求函数( )( )lnh xf xxa的单调区间；（II）若曲线( )yf x在点11( ,()xf x处的切线与曲线( )yg x在点22(, ()xg x处的切线平行，证明122lnln()lnaxg xa ；（III）证明当1eea 时，存在直线l，使l是曲线( )yf x的切线，也是曲线( )yg x的切线.精选优质文档-倾情为你奉上专心-专注-专业参考答案

37、：参考答案：一、选择题：本题考查基本知识和基本运算每小题一、选择题：本题考查基本知识和基本运算每小题 5 5 分，满分分，满分 4 40 0分分（1）B（2）C（3）B（4）A（5）D（6）A（7）C（8）A二、填空题：本题考查基本知识和基本运算每小题二、填空题：本题考查基本知识和基本运算每小题 5 5 分，满分分，满分 3 30 0分分（9）4i（10）52（11）112（12）12（13）14（14）(4 8)，三、解答题三、解答题（15）本小题主要考查同角三角函数的基本关系，两角差的正弦与余弦公式，二倍角的正弦与余弦公式，以及正弦定理、余弦定理等基础知识，考查运算求解能力满分 13 分（

38、）解：在ABC中，由正弦定理sinsinabAB，可得sinsinbAaB，精选优质文档-倾情为你奉上专心-专注-专业又由sincos()6bAaB，得sincos()6aBaB，即sincos()6BB，可得tan3B 又因为(0)B，可得B=3（）解：在ABC中，由余弦定理及a=2，c=3，B=3，有2222cos7bacacB，故b=7由sincos()6bAaB，可得3sin7A因为ac，故2cos7A 因此4 3sin22sincos7AAA，21cos22cos17AA 所以，sin(2)sin2 coscos2 sinABABAB4 31133 3727214（16）本小题主要考

39、查随机抽样、离散型随机变量的分布列与数学期望、互斥事件的概率加法公式等基础知识考查运用概率知识解决简单实际问题的能力满分 13 分（）解：由已知，甲、乙、丙三个部门的员工人数之比为 322，由于采用分层抽样的方法从中抽取 7 人，因此应从甲、乙、丙三个部门的员工中分别抽取 3 人，2 人，2 人（）（i）解：随机变量X的所有可能取值为 0，1，2，3P（X=k）=34337CCCkk（k=0，1，2，3）所以，随机变量X的分布列为X0123P13512351835435随机变量X的数学期望11218412()0123353535357E X （ii）解：设事件B为“抽取的 3 人中，睡眠充足的

40、员工有 1 人，精选优质文档-倾情为你奉上专心-专注-专业睡眠不足的员工有 2 人”；事件C为“抽取的 3 人中，睡眠充足的员工有 2 人，睡眠不足的员工有 1 人”，则A=BC，且B与C互斥，由（i）知，P(B)=P(X=2)，P(C)=P(X=1)，故P(A)=P(BC)=P(X=2)+P(X=1)=67所以，事件A发生的概率为67（17）本小题主要考查直线与平面平行、二面角、直线与平面所成的角等基础知识考查用空间向量解决立体几何问题的方法考查空间想象能力、运算求解能力和推理论证能力满分 13 分依题意，可以建立以D为原点，分别以DA ，DC，DG的方向为x轴，y轴，z轴的正方向的空间直角

41、坐标系（如图），可得D（0，0，0），A（2，0，0），B（1，2，0），C（0，2，0），E（2，0，2），F（0，1，2），G（0，0，2），M（0，32，1），N（1，0，2）（）证明：依题意DC=（0，2，0），DE=（2，0，2）设n n0=(x，y，z)为平面CDE的法向量，则0000DCDE，nn即20220yxz，不妨令 z=1，可得n n0=（1，0，1）又MN =（1，32，1），可得00MN n，又因为直线MN平面CDE，所以MN平面CDE精选优质文档-倾情为你奉上专心-专注-专业（）解：依题意，可得BC =（1，0，0），(12 2)BE ，CF =（0，1，2）设n

42、n= （x，y，z） 为平面BCE的法向量， 则00BCBE ，nn即0220 xxyz ，不妨令z=1，可得n n=（0，1，1）设m m=（x，y，z）为平面BCF的法向量，则00BCBF ，mm即020 xyz ，不妨令z=1，可得m m=（0，2，1）因此有 cos=3 10|10m nm n，于是 sin=1010所以，二面角EBCF的正弦值为1010（）解：设线段DP的长为h（h0，2），则点P的坐标为（0，0，h），可得( 12)BPh ， ，易知，DC=（0，2，0）为平面ADGE的一个法向量，故22cos5BP DCBP DCBP DCh ，由题意，可得225h =sin60

43、=32，解得h=330，2 所以线段DP的长为33.（18）本小题主要考查等差数列的通项公式，等比数列的通项公式及前n项和公式等基础知识.考查等差数列求和的基本方法和运算求解能力.满分 13 分.（I）解：设等比数列na的公比为q.由1321,2,aaa可得220qq.精选优质文档-倾情为你奉上专心-专注-专业因为0q ，可得2q ，故12nna.设等差数列nb的公差为d，由435abb，可得134.bd由5462abb，可得131316,bd从而11,1,bd故.nbn所以数列na的通项公式为12nna，数列nb的通项公式为.nbn（II） （i）由（I） ，有1 2211 2nnnS，故1

44、112 (1 2 )(21)2221 2nnnkknnkkTnnn.（ii）证明：因为11212()(222)222(1)(2)(1)(2)(1)(2)21kkkkkk+kT +bbkkkkkkkkkkkk ，所以，324321221()2222222()()()2(1)(2)3243212nnnnkkkkTbbkknnn.（19）本小题主要考查椭圆的标准方程和几何性质、直线方程等基础知识 考查用代数方法研究圆锥曲线的性质 考查运算求解能力，以及用方程思想解决问题的能力满分 14 分（）解：设椭圆的焦距为 2c，由已知知2259ca，又由a2=b2+c2，可得 2a=3b由已知可得，FBa，2

45、ABb，由6 2FBAB，可得ab=6，从而a=3，b=2所以，椭圆的方程为22194xy（）解：设点P的坐标为（x1，y1），点Q的坐标为（x2，y2） 由已知有y1y20，故12sinPQAOQyy又因为2sinyAQOAB，而OAB=4，故22AQy由5 2sin4AQAOQPQ，可得 5y1=9y2精选优质文档-倾情为你奉上专心-专注-专业由方程组22194ykxxy，消去x，可得12694kyk易知直线AB的方程为x+y2=0，由方程组20ykxxy，消去x，可得221kyk由 5y1=9y2，可得 5（k+1）=23 94k ，两边平方，整理得25650110kk，解得12k ，或

46、1128k 所以，k的值为111228或（20）本小题主要考查导数的运算、导数的几何意义、运用导数研究指数函数与对数函数的性质等基础知识和方法.考查函数与方程思想、化归思想.考查抽象概括能力、综合分析问题和解决问题的能力.满分 14 分.（I）解：由已知，( )lnxh xaxa，有( )lnlnxh xaaa.令( )0h x，解得x=0.由a1，可知当x变化时，( )h x，( )h x的变化情况如下表：x(,0)0(0,)( )h x0+( )h x极小值所以函数( )h x的单调递减区间(,0)，单调递增区间为(0,).（II）证明：）证明：由( )lnxfxaa，可得曲线( )yf

47、x在点11( ,()xf x处的切线斜率为1lnxaa.由1( )lng xxa，可得曲线( )yg x在点22(, ()xg x处的切线斜率为21lnxa.精选优质文档-倾情为你奉上专心-专注-专业因为这两条切线平行，故有121lnlnxaaxa，即122(ln )1xx aa.两 边 取 以a为 底 的 对 数 ， 得212log2log ln0axxa， 所 以122lnln()lnaxg xa .（ III ） 证 明 ：证 明 ： 曲 线( )yf x在 点11( ,)xx a处 的 切 线l1：111ln()xxyaaaxx.曲线( )yg x在点22(,log)axx处的切线l2

48、：2221log()lnayxxxxa.要证明当1eea 时，存在直线l，使l是曲线( )yf x的切线，也是曲线( )yg x的切线，只需证明当1eea 时，存在1(,)x ，2(0,)x ，使得l1和l2重合.即只需证明当1eea 时，方程组1112121lnln1lnloglnxxxaaaxaax aaxa有解，由得1221(ln )xxaa，代入，得111112lnlnln0lnlnxxaax aaxaa.因此，只需证明当1eea 时，关于x1的方程有实数解.设函数12lnln( )lnlnlnxxau xaxaaxaa，即要证明当1eea 时，函数( )yu x存在零点.2( )1

49、(ln )xu xaxa ， 可知(,0)x 时，( )0u x；(0,)x时，( )u x单调递减，又(0)10u ，21(ln )2110(ln )auaa ，故存在唯一的x0，且x00，使精选优质文档-倾情为你奉上专心-专注-专业得0()0u x，即0201 (ln )0 xax a.由此可得( )u x在0(,)x上单调递增， 在0(,)x 上单调递减.( )u x在0 xx处取得极大值0()u x.因为1eea ，故ln(ln )1a ，所以0000002012lnln12lnln22lnln()ln0lnln(ln )lnlnxxaaau xax aaxxaaxaaa.下面证明存在

50、实数t，使得( )0u t .由（I）可得1lnxaxa ，当1lnxa时，有2212lnln12lnln( )(1ln )(1ln )(ln )1lnlnlnlnaau xxaxaxaxxaaaa ，所以存在实数t，使得( )0u t 因此，当1eea 时，存在1(,)x ，使得1()0u x.所以，当1eea 时，存在直线l，使l是曲线( )yf x的切线，也是曲线( )yg x的切线.#精选优质文档-倾情为你奉上专心-专注-专业2018 年普通高等学校招生全国统一考试年普通高等学校招生全国统一考试上海数学试卷时间 120 分钟，满分 150 分一、填空题（本大题共有一、填空题（本大题共有