2011年重庆市高考数学试卷(文科)答案与解析(共13页).doc

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1、精选优质文档-倾情为你奉上2011年重庆市高考数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题（共10小题，每小题5分，满分50分）1（5分）（2011重庆）在等差数列an中，a2=2，a3=4，则a10=（）A12B14C16D18【考点】等差数列的通项公式菁优网版权所有【专题】计算题【分析】根据所给的等差数列的两项做出等差数列的公差，写出等差数列的第十项的表示式，用第三项加上七倍的公差，代入数值，求出结果【解答】解：等差数列an中，a2=2，a3=4，d=a3a2=42=2，a10=a3+7d=4+14=18故选D【点评】本题考查等差数列的公差求法，考查等差数列的通项公式，这是一个等差数列基本

2、量的运算，是一个数列中最常出现的基础题2（5分）（2011重庆）设U=R，M=a|a22a0，则CUM=（）A0，2B（0，2）C（，0）（2，+）D（，02，+）【考点】补集及其运算菁优网版权所有【专题】计算题【分析】根据已知中M=a|a22a0，我们易求出M，再根据集合补集运算即可得到答案【解答】解：M=a|a22a0=a|a0，或a2，CUM=a|0a2，即CUM=0，2故选A【点评】本题考查的知识点是集合的补集及其运算，在求连续数集的补集时，若子集不包括端点，则补集一定要包括端点3（5分）（2011重庆）曲线y=x3+3x2在点（1，2）处的切线方程为（）Ay=3x1By=3x+5Cy

3、=3x+5Dy=2x【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程菁优网版权所有【专题】计算题【分析】根据导数的几何意义求出函数f（x）在x=1处的导数，从而求出切线的斜率，再用点斜式写出切线方程，化成斜截式即可【解答】解：y=x3+3x2y=3x2+6x，y|x=1=（3x2+6x）|x=1=3，曲线y=x3+3x2在点（1，2）处的切线方程为y2=3（x1），即y=3x1，故选A【点评】本题主要考查了利用导数研究曲线上某点切线方程，属于基础题4（5分）（2011重庆）从一堆苹果中任取10只，称得它们的质量如下（单位：克）125 120 122 105 130 114 116 95 120 134，

4、则样本数据落在114.5，124.5）内的频率为（）A0.2B0.3C0.4D0.5【考点】频率分布表菁优网版权所有【专题】计算题【分析】从所给的十个数字中找出落在所要求的范围中的数字，共有4个，利用这个频数除以样本容量，得到要求的频率【解答】解：在125 120 122 105 130 114 116 95 120 134十个数字中，样本数据落在114.5，124.5）内的有116，120，120，122共有四个，样本数据落在114.5，124.5）内的频率为=0.4，故选C【点评】本题考查频率分布表，频数、频率和样本容量三者之间的关系是知二求一，这种问题会出现在选择和填空中，有的省份也会以

5、大题的形式出现，把它融于统计问题中5（5分）（2011重庆）已知向量=（1，k），=（2，2），且+与共线，那么的值为（）A1B2C3D4【考点】平面向量数量积的运算菁优网版权所有【专题】计算题【分析】利用向量的运算法则求出两个向量的和；利用向量共线的充要条件列出方程求出k；利用向量的数量积公式求出值【解答】解：=（3，k+2）共线k+2=3k解得k=1=（1，1）=12+12=4故选D【点评】本题考查向量的运算法则、考查向量共线的充要条件、考查向量的数量积公式6（5分）（2011重庆）设a=，b=，c=log3，则a，b，c的大小关系是（）AabcBcbaCbacDbca【考点】对数值大小的

6、比较菁优网版权所有【专题】计算题【分析】可先由对数的运算法则，将a和c化为同底的对数，利用对数函数的单调性比较大小；再比较b和c的大小，用对数的换底公式化为同底的对数找关系，结合排除法选出答案即可【解答】解：由对数的运算法则，a=log32c；排除A和C因为b=log231，c=log341=，因为3223，即3，即有log23log2=，则（log23）22，所以log23，所以bc，排除D故选B【点评】本题考查对数值的大小比较，考查对数的运算法则和对数的换底公式，考查运算能力7（5分）（2011重庆）若函数f（x）=x+（x2），在x=a处取最小值，则a=（）A1+B1+C3D4【考点】基

7、本不等式菁优网版权所有【专题】计算题【分析】把函数解析式整理成基本不等式的形式，求得函数的最小值和此时x的取值【解答】解：f（x）=x+=x2+24当x2=1时，即x=3时等号成立x=a处取最小值，a=3故选C【点评】本题主要考查了基本不等式的应用考查了分析问题和解决问题的能力8（5分）（2011重庆）若ABC的内角A，B，C满足6sinA=4sinB=3sinC，则cosB=（）ABCD【考点】三角函数的恒等变换及化简求值菁优网版权所有【专题】三角函数的图像与性质【分析】由题意利用正弦定理，推出a，b，c的关系，然后利用余弦定理求出cosB的值【解答】解：ABC的内角A，B，C满足6sinA

8、=4sinB=3sinC，所以6a=4b=3c，不妨令a=2，b=3，c=4，所以由余弦定理：b2=a2+c22accosB，所以cosB=，故选D【点评】本题是基础题，考查正弦定理，余弦定理的应用，考查计算能力，常考题型9（5分）（2011重庆）设双曲线的左准线与两条渐近线交于A，B两点，左焦点为在以AB为直径的圆内，则该双曲线的离心率的取值范围为（）A（0，）B（1，）C（，1）D（，+）【考点】双曲线的简单性质菁优网版权所有【专题】压轴题【分析】求出渐近线方程及准线方程；求得它们的交点A，B的坐标；利用圆内的点到圆心距离小于半径，列出参数a，b，c满足的不等式，求出离心率的范围【解答】解

9、：渐近线y=x准线x=，求得A（）B（），左焦点为在以AB为直径的圆内，得出 ，ba，c22a2，故选B【点评】本题考查双曲线的准线、渐近线方程形式、考查园内的点满足的不等条件、注意双曲线离心率本身要大于110（5分）（2011重庆）高为的四棱锥SABCD的底面是边长为1的正方形，点S，A，B，C，D均在半径为1的同一球面上，则底面ABCD的中心与顶点S之间的距离为（）ABCD【考点】球内接多面体；点、线、面间的距离计算菁优网版权所有【专题】计算题；压轴题【分析】由题意可知ABCD 是小圆，对角线长为，四棱锥的高为，推出高就是四棱锥的一条侧棱，最长的侧棱就是球的直径，然后利用勾股定理求出底面A

10、BCD的中心与顶点S之间的距离【解答】解：由题意可知ABCD 是小圆，对角线长为，四棱锥的高为，点S，A，B，C，D均在半径为1的同一球面上，球的直径为2，所以四棱锥的一条侧棱垂直底面的一个顶点，最长的侧棱就是直径，所以底面ABCD的中心与顶点S之间的距离为：=故选A【点评】本题是基础题，考查球的内接多面体的知识，能够正确推出四棱锥的一条侧棱垂直底面的一个顶点，最长的侧棱就是直径是本题的关键，考查逻辑推理能力，计算能力二、填空题（共5小题，每小题5分，满分25分）11（5分）（2011重庆）（1+2x）6的展开式中x4的系数是240【考点】二项式系数的性质菁优网版权所有【专题】计算题【分析】利

11、用二项展开式的通项公式求出展开式的通项；令x的指数为4，求出展开式中x4的系数【解答】解：展开式的通项为Tr+1=2rC6rxr令r=4得展开式中x4的系数是24C64=240故答案为：240【点评】本题考查利用二项展开式的通项公式解决二项展开式的特定项问题12（5分）（2011重庆）若cos=，且（，），则tan=【考点】任意角的三角函数的定义菁优网版权所有【专题】三角函数的求值【分析】根据（，），cos=，求出sin，然后求出tan，即可【解答】解：因为（，），cos=，所以sin=，所以tan=故答案为：【点评】本题是基础题，考查任意角的三角函数的定义，注意角所在的象限，三角函数值的符号

12、，是本题解答的关键13（5分）（2011重庆）过原点的直线与圆x2+y22x4y+4=0相交所得的弦长为2，则该直线的方程为2xy=0【考点】直线与圆相交的性质菁优网版权所有【专题】计算题【分析】用配方法将圆的方程转化为标准方程，求出圆心坐标和半径，设直线方程为y=kx，求出圆心到直线的距离，利用直线和圆相交所成的直角三角形知识求解即可【解答】解：直线方程为y=kx，圆x2+y22x4y+4=0即（x1）2+（y2）2=1即圆心坐标为（1，2），半径为r=1因为弦长为2，为直径，故y=kx过圆心，所以k=2所以该直线的方程为：y=2x故答案为：2xy=0【点评】本题考查直线和圆的相交弦长问题，

13、属基础知识的考查注意弦长和半径的关系14（5分）（2011重庆）从甲、乙等10位同学中任选3位去参加某项活动，则所选3位中有甲但没有乙的概率为【考点】排列、组合及简单计数问题；等可能事件的概率菁优网版权所有【专题】计算题；压轴题【分析】根据题意，分析可得从10人中任取3人参加活动的取法数，进而可得“有甲但没有乙”的取法相当于“从除甲乙之外的8人中任取2人”，可得其情况数目，由等可能事件的概率公式，计算可得答案【解答】解：根据题意，从10人中任取3人参加活动，有C103=120种取法；分析可得有甲但没有乙的取法即从除甲乙之外的8人中任取2人即可，则所选3位中有甲但没有乙的情况有C82=28种；则

14、其概率为=；故答案为：【点评】本题考查排列、组合的运用；涉及等可能事件的概率计算，解题时注意排列、组合是解决问题的基本思路与突破口15（5分）（2011重庆）若实数a，b，c满足2a+2b=2a+b，2a+2b+2c=2a+b+c，则c的最大值是2log23【考点】基本不等式在最值问题中的应用菁优网版权所有【专题】计算题；压轴题【分析】由基本不等式得2a+2b，可求出2a+b的范围，再由2a+2b+2c=2a+b+c=2a+b2c=2a+b+2c，2c可用2a+b表达，利用不等式的性质求范围即可【解答】解：由基本不等式得2a+2b，即2a+b，所以2a+b4，令t=2a+b，由2a+2b+2c

15、=2a+b+c可得2a+b+2c=2a+b2c，所以2c=因为t4，所以，即，所以故答案为：2log23【点评】本题考查指数的运算法则，基本不等式求最值、不等式的性质等问题，综合性较强三、解答题（共6小题，满分75分）16（13分）（2011重庆）设an是公比为正数的等比数列a1=2，a3=a2+4（）求an的通项公式；（）设bn是首项为1，公差为2的等差数列，求数列an+bn的前n项和Sn【考点】等比数列的通项公式；数列的求和菁优网版权所有【专题】计算题【分析】（）由an是公比为正数的等比数列，设其公比，然后利用a1=2，a3=a2+4可求得q，即可求得an的通项公式（）由bn是首项为1，公

16、差为2的等差数列 可求得bn=1+（n1）2=2n1，然后利用等比数列与等差数列的前n项和公式即可求得数列an+bn的前n项和Sn【解答】解：（）设an是公比为正数的等比数列设其公比为q，q0a3=a2+4，a1=22q2=2q+4 解得q=2或q=1q0q=2 an的通项公式为an=22n1=2n（）bn是首项为1，公差为2的等差数列bn=1+（n1）2=2n1数列an+bn的前n项和Sn=+=2n+12+n2=2n+1+n22【点评】本题考查了等比数列的通项公式及数列的求和，注意题目条件的应用在用等比数列的前n项和公式时注意辨析q是否为1，只要简单数字运算时不出错，问题可解，是个基础题17

17、（13分）（2011重庆）某市公租房的房源位于A、B、C三个片区，设每位申请人只申请其中一个片区的房源，且申请其中任一个片区的房源是等可能的，求该市的4位申请人中：（I）没有人申请A片区房源的概率；（II）每个片区的房源都有人申请的概率【考点】古典概型及其概率计算公式；等可能事件的概率；n次独立重复试验中恰好发生k次的概率菁优网版权所有【专题】计算题【分析】（）解法一：首先分析所有的可能申请方式的情况数目，再分析没有人申请A片区房源的即所有的都申请BC区的申请方式的情况数目，由古典概型概率公式，计算可得答案；解法二：视为独立重复试验中事件A恰好发生k次的情况，设对每位申请人的观察为一次试验，这

18、是4次独立重复试验，记“申请A片区房源”为事件A，易得P（A），进而由独立重复试验中事件A恰好发生k次的概率计算公式计算可得答案；（）根据题意，分析可得所有的可能申请方式的种数；而“每个片区的房源都有人申请”的申请方式的种数；由古典概型概率公式，计算可得答案【解答】解：（I）由题意知本题是一个等可能事件的概率，解法一：所有的可能申请方式有34种；而“没有人申请A片区房源的”的申请方式有24种；记“没有人申请A片区房源”为事件A，则P（A）=；解法二：设对每位申请人的观察为一次试验，这是4次独立重复试验，记“申请A片区房源”为事件A，则P（A）=；由独立重复试验中事件A恰好发生k次的概率计算公式

19、知：“没有人申请A片区房源”的概率为P4（0）=C30（）0（）4=；（）所有的可能申请方式有34种；而“每个片区的房源都有人申请”的申请方式有C42A33种；记“每个片区的房源都有人申请”为事件B，从而有P（B）=【点评】本题考查等可能事件的概率，注意解题的格式应该规范，先有“记为事件”，进而又公式进行计算18（13分）（2011重庆）设函数f（x）=sinxcosxcos（x+）cosx，（xR）（I）求f（x）的最小正周期；（II）若函数y=f（x）的图象按=（，）平移后得到的函数y=g（x）的图象，求y=g（x）在（0，上的最大值【考点】三角函数的周期性及其求法；函数y=Asin（x+

20、）的图象变换；三角函数的最值菁优网版权所有【专题】计算题；综合题【分析】（I）先利用诱导公式，二倍角公式与和角公式将函数解析式化简整理，然后利用周期公式可求得函数的最小正周期（II）由（I）得函数y=f（x），利用函数图象的变换可得函数y=g（x）的解析式，通过探讨角的范围，即可的函数g（x）的最大值【解答】解：（I）f（x）=sinxcosxcos（x+）cosx=sinxcosx+cosxcosx=sin2x+cos2x+=sin（2x+）+f（x）的最小正周期T=（II）函数y=f（x）的图象按=（，）平移后得到的函数y=g（x）的图象，g（x）=sin（2x+）+=sin（2x）+0x

21、2x，y=g（x）在（0，上的最大值为：【点评】本题考查了三角函数的周期及其求法，函数图象的变换及三角函数的最值，各公式的熟练应用是解决问题的根本，体现了整体意识，是个中档题19（12分）（2011重庆）设f（x）=2x3+ax2+bx+1的导数为f（x），若函数y=f（x）的图象关于直线x=对称，且f（1）=0（）求实数a，b的值（）求函数f（x）的极值【考点】利用导数研究函数的极值；二次函数的性质菁优网版权所有【专题】计算题【分析】（）先对f（x）求导，f（x）的导数为二次函数，由对称性可求得a，再由f（1）=0即可求出b（）对f（x）求导，分别令f（x）大于0和小于0，即可解出f（x）的

22、单调区间，继而确定极值【解答】解：（）因f（x）=2x3+ax2+bx+1，故f（x）=6x2+2ax+b从而f（x）=6y=f（x）关于直线x=对称，从而由条件可知=，解得a=3又由于f（x）=0，即6+2a+b=0，解得b=12（）由（）知f（x）=2x3+3x212x+1f（x）=6x2+6x12=6（x1）（x+2）令f（x）=0，得x=1或x=2当x（，2）时，f（x）0，f（x）在（，2）上是增函数；当x（2，1）时，f（x）0，f（x）在（2，1）上是减函数；当x（1，+）时，f（x）0，f（x）在（1，+）上是增函数从而f（x）在x=2处取到极大值f（2）=21，在x=1处取到

23、极小值f（1）=6【点评】本题考查函数的对称性、函数的单调区间和极值，考查运算能力20（12分）（2011重庆）如图，在四面体ABCD中，平面ABC平面ACD，ABBC，AC=AD=2，BC=CD=1（）求四面体ABCD的体积；（）求二面角CABD的平面角的正切值【考点】与二面角有关的立体几何综合题；二面角的平面角及求法菁优网版权所有【专题】综合题；压轴题；转化思想【分析】法一：几何法，（）过D作DFAC，垂足为F，由平面ABC平面ACD，由面面垂直的性质，可得DF是四面体ABCD的面ABC上的高；设G为边CD的中点，可得AGCD，计算可得AG与DF的长，进而可得SABC，由棱锥体积公式，计算

24、可得答案；（）过F作FEAB，垂足为E，连接DE，分析可得DEF为二面角CABD的平面角，计算可得EF的长，由（）中DF的值，结合正切的定义，可得答案法二：向量法，（）首先建立坐标系，根据题意，设O是AC的中点，过O作OHAC，交AB与H，过O作OMAC，交AD与M；易知OHOM，因此可以以O为原点，以射线OH、OC、OM为x轴、y轴、z轴，建立空间坐标系OXYZ，进而可得B、D的坐标；从而可得ACD边AC的高即棱住的高与底面的面积，计算可得答案；（）设非零向量=（l，m，n）是平面ABD的法向量，由（）易得向量的坐标，同时易得=（0，0，1）是平面ABC的法向量，由向量的夹角公式可得从而co

25、s，进而由同角三角函数的基本关系，可得tan，即可得答案【解答】解：法一（）如图：过D作DFAC，垂足为F，由平面ABC平面ACD，可得DF平面ABC，即DF是四面体ABCD的面ABC上的高；设G为边CD的中点，由AC=AD，可得AGCD，则AG=；由SADC=ACDF=CDAG可得，DF=；在RtABC中，AB=，SABC=ABBC=；故四面体的体积V=SABCDF=；（）如图，过F作FEAB，垂足为E，连接DE，由（）知DF平面ABC，由三垂线定理可得DEAB，故DEF为二面角CABD的平面角，在RtAFD中，AF=；在RtABC中，EFBC，从而，可得EF=；在RtDEF中，tanDEF

26、=则二面角CABD的平面角的正切值为解法二：（）如图（2）设O是AC的中点，过O作OHAB，交AB与H，过O作OMAC，交AD与M；由平面ABC平面ACD，知OHOM，因此以O为原点，以射线OH、OC、OM为x轴、y轴、z轴，建立空间坐标系OXYZ，已知AC=2，故A、C的坐标分别为A（0，1，0），C（0，1，0）；设点B的坐标为（x1，y1，0），由，|=1；有，解可得或（舍）；即B的坐标为（，0），又舍D的坐标为（0，y2，z2），由|=1，|=2，有（y21）2+z22=1且（y2+1）2+z22=1；解可得或（舍），则D的坐标为（0，），从而可得ACD边AC的高为h=|z2|=又|=

27、，|=1；故四面体的体积V=|h=；（）由（）知=（，0），=（0，），设非零向量=（l，m，n）是平面ABD的法向量，则由可得，l+m=0，（1）；由可得，m+n=0，（2）；取m=1，由（1）（2）可得，l=，n=，即=（，1，）显然=（0，0，1）是平面ABC的法向量，从而cos，=；故tan，=；则二面角CABD的平面角的正切值为【点评】本题是立体几何综合题目，此类题目一般有两种思路即几何法与向量法，注意把握两种思路的特点，进行选择性的运用21（12分）（2011重庆）如图，椭圆的中心为原点0，离心率e=，一条准线的方程是x=2（）求椭圆的标准方程；（）设动点P满足：=+2，其中M、N

28、是椭圆上的点，直线OM与ON的斜率之积为，问：是否存在定点F，使得|PF|与点P到直线l：x=2的距离之比为定值；若存在，求F的坐标，若不存在，说明理由【考点】椭圆的简单性质；向量在几何中的应用；椭圆的定义菁优网版权所有【专题】圆锥曲线的定义、性质与方程【分析】（） 由题意得 =，=2，解出a、b 的值，即得椭圆的标准方程（）设动点P（x，y），M（x1，y1 ）、N（x2，y2 ） 由向量间的关系得到 x=x1+2x2，y=y1+2y2，据M、N是椭圆上的点可得 x2+2y2=20+4（x1x2+2y1y2 ）再根据直线OM与ON的斜率之积为，得到点P是椭圆x2+2y2=20 上的点，根据椭

29、圆的第二定义，存在点F（，0），满足条件【解答】解：（） 由题意得 =，=2，a=2，b=，故椭圆的标准方程为 +=1（）设动点P（x，y），M（x1，y1 ）、N（x2，y2 ）动点P满足：=+2，（x，y）=（x1+2x2，y1+2y2 ），x=x1+2x2，y=y1+2y2，M、N是椭圆上的点，x12+2y124=0，x22+2y224=0x2+2y2=（x1+2x2）2+2 （y1+2y2）2=（x12+2y12 ）+4（x22+2y22 ）+4（x1x2+2y1y2 ）=4+44+4（x1x2+2y1y2 ）=20+4（x1x2+2y1y2 ）直线OM与ON的斜率之积为，=，x2+2y2=20，故点P是椭圆 =1 上的点，焦点F（，0），准线l：x=2，离心率为，根据椭圆的第二定义，|PF|与点P到直线l：x=2的距离之比为定值，故存在点F（，0），满足|PF|与点P到直线l：x=2的距离之比为定值【点评】本题考查用待定系数法求椭圆的标准方程，两个向量坐标形式的运算，以及椭圆的第二定义，属于中档题专心-专注-专业