常微分方程教学大纲_2007级doc.doc

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1、1常微分方程教学大纲常微分方程教学大纲 课程名称课程名称：常微分方程 课程类型课程类型：本科生必修课 课程说明课程说明：常微分方程是力学系各专业的重要基础课程。其目的是使学生掌握常微分方程基 本概念、基本解法与基本理论，培养学生运用解析方法分析问题和求解问题的能力，并为后 续的课程提供必要的基础。基本内容包括初等解法，线性微分方程组理论，常系数线性微分 方程和方程组的求解方法，常微分方程一般理论，定性、稳定性概念和基本方法。 参考书参考书： 1 常微分方程，伍卓群，李勇，高等教育出版社，2004。 2 常微分方程，王高雄，高等教育出版社，1984。学时安排学时安排：教学按 15 周计算，每周两

2、次课（4 学时） ，共 30 次课（60 学时） ，其中期中考试 占 1 次课，习题课占 2 次课。 成绩评定方法成绩评定方法：作业、考勤、平时考查加起来占 20 分，期中考试占 30 分，期末考试占 50 分。 先修课先修课：数学分析，线性代数。第一章第一章 初等积分法初等积分法 要求：要求：掌握微分方程解、通解、初值问题等概念。熟练掌握正规形微分方程和方程组与一阶 正规形微分方程组的互化方法。 熟练掌握变量分离、齐次方程及可化为齐次方程的方程、 线性方程、恰当方程的解法，掌握积分因子方法；掌握几种特殊类型的可积的高阶方程的解 法。以及一阶隐式方程的求解方法；了解里卡蒂方程。学时安排：学时安

3、排：6 6 次课（12 学时） 。 第 1 次课： 1 微分方程例子与概念 第 2 次课： 2.1 分离变量法；2.2 齐次方程；2.3 可化为齐次方程的方程 第 3 次课：2.4 一阶线性方程；2.5 伯努利方程 第 4 次课：2.6 恰当方程；积分因子 第 5 次课：3 解题的灵活性； 4.1 一阶隐方程 第 6 次课：4.2 髙阶方程的几种可积类型；4.3 里卡蒂方程第二章第二章 线性微分方程线性微分方程 要求：要求：掌握线性方程与方程组初值问题解存在的条件、特点及证明方法；熟练掌握解空间、 基本矩阵与通解结构定理；了解 Wronsky 行列式的性质及 Liouville 定理；掌握线性

4、方程 组边值问题解存在的条件以及周期系数方程组存在周期解的充要条件；了解幂级数解法；掌 握求解线性微分方程的降阶方法；掌握线性方程（组）复值解与实值解之间的关系。学时安排：学时安排：6 次课（12 学时） 。 第 7 次课：1 引言； 2 存在唯一性定理 第 8 次课：3 齐次线性方程组的通解结构 第 9 次课：4 非齐次线性方程组的通解结构及变动参数法 第 10 次课：5 边值问题与周期解；6 高阶线性方程 第 11 次课：7 线性微分方程的降阶法与幂级数解法2 第 12 次课：8 线性方程的复值解；习题课 第三章第三章 常系数线性微分方程常系数线性微分方程 要求：要求：熟练掌握常系数线性微

5、分方程组和方程解的结构，形式及其求解方法；掌握求解非齐 次方程特解的待定系数法、算子解法以及求解方程组的消去法；了解求解初值问题的拉氏变 换方法；了解第二宇宙速度的计算方法，能够用常系数线性方程的理论和方法分析二阶振动 系统的性质。学时安排：学时安排：6 次课（12 学时） 。 第 13 次课：1 常系数齐次线性方程的解法 第 14 次课：1 常系数非齐次线性方程的待定系数法 第 15 次课：2 常系数齐次线性方程组基本解矩阵的结构 第 16 次课：2 常系数齐次线性方程组的待定系数法 第 17 次课：3 算子解法与拉氏变换方法 第 18 次课：4 机械振动系统和第二宇宙速度的计算第四章第四章

6、 一般理论一般理论 要求：要求：掌握 Picard 存在唯一性定理、Picard 逐次逼近法；了解欧拉折线的构造以及 Peano 定理的证明思路；掌握解延展到边界的意义和解可延展的条件，并能够利用延展定理分析解 存在的区间；熟悉解对初值、参数的连续依赖性定理及实际意义；了解解对初值的可微性定 理；掌握 Bellman 不等式的证明及其应用。学时安排：学时安排：6 6 次课（12 学时） 。 第 19 次课：2 Picard 存在唯一性定理 第 20 次课：2 解的唯一性；奇解 第 21 次课：2 Peano 存在定理 第 22 次课：3 延展定理 第 23 次课：4 解对初值、参数的连续依赖性 第 24 次课：5 解对初值和参数的可微性；6 对于 n 阶方程的推论第五章第五章 定性与稳定性基本理论定性与稳定性基本理论 要求：要求：熟悉稳定性、奇点、轨线和极限环的概念；掌握利用一次近似判定稳定性的方法、 Lyapunov 第二方法以及判定奇点类型的方法；了解环域定理。学时安排：学时安排：3 次课（8 学时） 。 第 25 次课：1.1 Lyapunov 稳定性; 1.2 按一次近似确定稳定性 第 26 次课：1.3 Lyapunov 第二方法 第 27 次课：2 一般定性理论的概念；3 平面动力系统