高数第一章2.pptx

《高数第一章2.pptx》由会员分享，可在线阅读，更多相关《高数第一章2.pptx（46页珍藏版）》请在得力文库 - 分享文档赚钱的网站上搜索。

1、二、极限2.1 极限的定义2.1.1 数列极限截丈问题：截丈问题：“一尺之棰，日截其半，万世不竭一尺之棰，日截其半，万世不竭”;211 X第一天截下的杖长为第一天截下的杖长为;212122 X为为第二天截下的杖长总和第二天截下的杖长总和;2121212nnXn 天截下的杖长总和为天截下的杖长总和为第第nnX211 1第一页，编辑于星期五：二十一点 四十一分。数列的定义例如例如;,2 , 8 , 4 , 2n;,21,81,41,21n2n21n第二页，编辑于星期五：二十一点 四十一分。的的。单单调调减减少少是是则则称称数数列列nx。单单调调数数列列的的数数列列统统称称为为单单调调增增加加的的或

2、或单单调调减减少少的的；单单调调增增加加是是则则称称数数列列nx, 1321nnnxxxxxx满足：满足：若数列若数列, 1321nnnxxxxxx 满满足足：若若数数列列 单调性单调性 第三页，编辑于星期五：二十一点 四十一分。单击任意点开始观察单击任意点开始观察.)1(11时的变化趋势时的变化趋势当当观察数列观察数列 nnn数列的极限观察结束观察结束第四页，编辑于星期五：二十一点 四十一分。. 1)1(1,1无限接近于无限接近于无限增大时无限增大时当当nxnnn 通过上面演示实验的观察通过上面演示实验的观察: :直观定义直观定义当当n无限增大时，无限增大时，xn无限接近于一个确定的常无限接

3、近于一个确定的常数数a，称，称a是数列是数列xn的的极限极限. 或者称数列或者称数列xn 收敛于收敛于a, 记为记为 axnn lim)( naxn或或 发散发散 如果数列没有极限如果数列没有极限, ,就说数列是就说数列是发散发散的的. .说明说明 发散有发散有 不存在不存在( (非无穷大非无穷大) )； ；+； . .第五页，编辑于星期五：二十一点 四十一分。 常用结论公式常用结论公式 1. .常数列的极限等于它本身常数列的极限等于它本身. . 1 , 0lim . 2的常数的常数其中其中 qqnnCCn lim注注 当当 时，时， 不存在不存在.)1(1| qq或或nnq lim., 1l

4、im . 3为正常数为正常数其中其中aann 第六页，编辑于星期五：二十一点 四十一分。1.唯一性唯一性 定理定理1 收敛数列的极限唯一收敛数列的极限唯一.收敛数列的性质2.有界性有界性 第七页，编辑于星期五：二十一点 四十一分。 例如例如 ;1 nnxn数列数列.2nnx 数列数列有界有界无界无界1x2x3x4xnxM Mo(2) 定理定理2 收敛的数列必定有界收敛的数列必定有界. .注意注意逆否命题必成立：逆否命题必成立：无界列必定发散无界列必定发散. .逆命题不成立：逆命题不成立：有界列不一定收敛有界列不一定收敛. .数列数列有界有界是收敛的是收敛的必要条件必要条件( (不充分不充分).

5、).1)1( nnx如如第八页，编辑于星期五：二十一点 四十一分。【数列极限数列极限】axnn 时，时，)(nfxn 整标函数整标函数【函数的极限函数的极限】)(xfy 有有 0 xxx两大类情形两大类情形 0)1(xx 0)2(xxx)3(x)4(2.1.2 函数极限第九页，编辑于星期五：二十一点 四十一分。【直观定义直观定义】在在x时，函数值时，函数值f (x)无限接近于一无限接近于一 个确定的常数个确定的常数A ,称称A为为f (x)当当x时的极限时的极限.记作记作Axfx )(lim)()( xAxf当当或或两种特殊情况Axfx )(limAxfx )(lim第十页，编辑于星期五：二十

6、一点 四十一分。.)(lim)(limAxfAxfxx 且且定理定理 Axfx)(lim例如例如.arctanlim xx 考查极限考查极限.2arctanlim xx.2arctanlim xx. arctanlim 不存在不存在故故xx 第十一页，编辑于星期五：二十一点 四十一分。自变量xx0有限值时,函数 f(x) 的极限1. .【引例引例】 函数函数1)( xxf在在1 x处的极限为处的极限为函数函数11)(2 xxxf在在1 x处的极限为处的极限为函数函数 131112x,x,xx)x(f在在1 x处的极限为处的极限为yAxxx0时函数时函数f( (x) )的极限是否存在的极限是否存

7、在,与与f (x)在在x0处是否有定义并无关系处是否有定义并无关系.结论结论第十二页，编辑于星期五：二十一点 四十一分。2.【直观定义直观定义】在在x x0时，函数值时，函数值f (x)无限接近于一无限接近于一 个确定的常数个确定的常数A ,称称A为为f (x)当当x x0 时的极限时的极限.记为记为).()()(lim00 xxAxfAxfxx 或或3.【单侧极限单侧极限】【例如例如】. 1)(lim :0, 10,1)(02 xfxxxxxfx证明证明设设两种情况分别讨论两种情况分别讨论和和分分00 xx, 0 xx从左侧无限趋近从左侧无限趋近 00 ; 0 xxxx或或记作记作, 0 x

8、x从右侧无限趋近从右侧无限趋近 00 ; 0 xxxx或或记作记作yox1xy 112 xy 右极限右极限左极限左极限第十三页，编辑于星期五：二十一点 四十一分。右极限右极限 当当xx0且且x x0时，函数值时，函数值f (x)无限接近于无限接近于一个确定的常数一个确定的常数A ,称称A为为f (x)当当x x0 时的右极限时的右极限.)0()(lim0)(000AxfAxfxxxx或记作.)0()(lim0)(000AxfAxfxxxx或记作注意注意 函数的函数的左、右极限左、右极限与函数的与函数的极限极限是三个不同的概念是三个不同的概念, 但三者之间有如下但三者之间有如下重要定理重要定理:

9、 左极限左极限 当当xx0且且x x0时，函数值时，函数值f (x)无限接近于无限接近于一个确定的常数一个确定的常数A ,称称A为为f (x)当当x x0 时的左极限时的左极限.第十四页，编辑于星期五：二十一点 四十一分。.)0()0()(lim000AxfxfAxfxx.lim0不存在不存在验证验证xxxyx11 oxxxxxx 00limlim左右极限左右极限存在存在但但不相等不相等, ,.)(lim0不存在不存在xfx例例1证证1)1(lim0 xxxxxxx 00limlim11lim0 x极限存在定理极限存在定理注注 一般而言一般而言, 分段函数的极限要分左右极限考察分段函数的极限要

10、分左右极限考察.第十五页，编辑于星期五：二十一点 四十一分。函数极限的性质1.唯一性唯一性定理定理2 )(lim 0，如果如果Axfxx 00 和和则则 M 0 0，时时使得当使得当 xx . )( Mxf 有有2. 有界性有界性局部局部, 0 , )(lim0 AAxfxx且且若若3. 保号性保号性定理定理30)(,),(, 00 xfxUx时时当当则则 ),0( A或或).0)( xf或或第十六页，编辑于星期五：二十一点 四十一分。2.2 极限运算法则定理定理. 0,)()(lim)3(;)()(lim)2(;)()(lim)1(,)(lim,)(lim BBAxgxfBAxgxfBAxg

11、xfBxgAxf其中其中则则设设第十七页，编辑于星期五：二十一点 四十一分。推论推论1 1).(lim)(lim,)(limxfcxcfcxf 则则为常数为常数而而存在存在如果如果常数因子可以提到极限记号外面常数因子可以提到极限记号外面.)(lim)(lim,)(limnnxfxfnxf 则则是正整数是正整数而而存在存在如果如果推论推论2 2第十八页，编辑于星期五：二十一点 四十一分。2.3 无穷小量与无穷大量定义定义:极限为零的变量称为极限为零的变量称为无穷小无穷小.无穷小第十九页，编辑于星期五：二十一点 四十一分。例如例如, 0sinlim0 xx.0sin时的无穷小时的无穷小是当是当函数

12、函数xx, 01lim xx.1时的无穷小时的无穷小是当是当函数函数 xx, 0)1(lim nnn.)1(时的无穷小时的无穷小是当是当数列数列 nnn注意注意（1）无穷小是变量）无穷小是变量,不能与很小的数混淆不能与很小的数混淆;（2）零是可以作为无穷小的唯一的数）零是可以作为无穷小的唯一的数.第二十页，编辑于星期五：二十一点 四十一分。无穷小与函数极限的关系无穷小与函数极限的关系:意义意义（1）将一般极限问题转化为特殊极限问题）将一般极限问题转化为特殊极限问题(无穷小无穷小);).(,)()(20 xAxfxxf 误差为误差为式式附近的近似表达附近的近似表达在在）给出了函数）给出了函数（

13、无穷小的运算性质无穷小的运算性质:定理定理2 在同一过程中在同一过程中,有限个无穷小的代数和仍是无有限个无穷小的代数和仍是无穷小穷小.第二十一页，编辑于星期五：二十一点 四十一分。注意注意无穷多个无穷小的代数和未必是无穷小无穷多个无穷小的代数和未必是无穷小. .是无穷小，是无穷小，时时例如例如nn1, .11不是无穷小不是无穷小之和为之和为个个但但nn定理定理3 有界函数与无穷小的乘积是无穷小有界函数与无穷小的乘积是无穷小.推论推论1 在同一过程中在同一过程中,有极限的变量与无穷小的乘积是有极限的变量与无穷小的乘积是无穷小无穷小.推论推论2 常数与无穷小的乘积是无穷小常数与无穷小的乘积是无穷小

14、.推论推论3 有限个无穷小的乘积也是无穷小有限个无穷小的乘积也是无穷小.xxxxx1arctan,1sin,0,2时时当当例如例如都是无穷小都是无穷小第二十二页，编辑于星期五：二十一点 四十一分。无穷大定义定义2 2 设设函数函数)(xf在在0 x某某一一去去心心邻域邻域内内有有定定义义 （或或x大大于于某某一一正数正数时时有有定义定义） 如果对于任意给定的正数如果对于任意给定的正数M( (不不论它多么大论它多么大),),总存在正数总存在正数 ( (或正数或正数X),),使得对于适合不使得对于适合不等式等式 00 xx( (或或 xX) )的一切的一切x, ,对应的函数值对应的函数值)(xf总

15、总满足不等式满足不等式 Mxf )(, , 则称函数则称函数)(xf当当0 xx ( (或或 x) )时为无穷大时为无穷大, ,记作记作 ).)(lim()(lim0 xfxfxxx或或 绝对值无限增大的变量称为绝对值无限增大的变量称为无穷大无穷大.第二十三页，编辑于星期五：二十一点 四十一分。特殊情形：正无穷大，负无穷大特殊情形：正无穷大，负无穷大)(lim()(lim)()(00 xfxfxxxxxx或或注意注意（1）无穷大是变量）无穷大是变量,不能与很大的数混淆不能与很大的数混淆;（3）无穷大是一种特殊的无界变量）无穷大是一种特殊的无界变量,但是无但是无界变量未必是无穷大界变量未必是无穷

16、大.)(lim20认为极限存在认为极限存在）切勿将）切勿将（ xfxx第二十四页，编辑于星期五：二十一点 四十一分。无穷小与无穷大的关系定理定理4 4 在同一过程中在同一过程中, ,无穷大的倒数为无穷小无穷大的倒数为无穷小; ;恒恒不为零的无穷小的倒数为无穷大不为零的无穷小的倒数为无穷大. .意义意义 关于无穷大的讨论关于无穷大的讨论,都可归结为关于无穷小的讨都可归结为关于无穷小的讨论论.第二十五页，编辑于星期五：二十一点 四十一分。例如例如,xxx3lim20 xxxsinlim02201sinlimxxxx.1sin,sin,022都是无穷小都是无穷小时时当当xxxxxx 极限不同极限不同

17、, 反映了趋向于零的反映了趋向于零的“快慢快慢”程度不同程度不同.;32要快得多要快得多比比 xx;sin大致相同大致相同与与xx不可比不可比., 0 , 1 xx1sinlim0 .不存在不存在观察各极限观察各极限型）型）（002.3.4 无穷小量的比较第二十六页，编辑于星期五：二十一点 四十一分。；记作记作高阶的无穷小高阶的无穷小是比是比，就说，就说如果如果)(,0lim)1( o定义定义: :. 0, 且且穷小穷小是同一过程中的两个无是同一过程中的两个无设设;, 0lim)3(是同阶的无穷小是同阶的无穷小与与就说就说如果如果 C;, 1lim 记作记作是等价的无穷小是等价的无穷小与与则称

18、则称如果如果特殊地，特殊地，低阶的无穷小低阶的无穷小是比是比，就说，就说如果如果 lim)(第二十七页，编辑于星期五：二十一点 四十一分。意义意义：用等价无穷小可给出函数的近似表达式：用等价无穷小可给出函数的近似表达式例如例如,),(sinxoxx ).(21cos122xoxx ,0时时当当 xxycos1 221yx 常用等价无穷小常用等价无穷小: :,0时时当当 x)0(1)1(,21cos1, 1)1ln(arctanarcsintansin2 aaxxxxexxxxxxxax.21cos1,sin2xxxx 第二十八页，编辑于星期五：二十一点 四十一分。等价无穷小代换等价无穷小代换定

19、理定理( (等价无穷小代换定理等价无穷小代换定理) ).limlim,lim, 则则存在存在且且设设证证 lim)lim( limlimlim.lim 第二十九页，编辑于星期五：二十一点 四十一分。例例.cos12tanlim20 xxx 求求解解.22tan,21cos1,02xxxxx 时时当当22021)2(limxxx 原式原式. 8 若未定式的分子或分母为若干个因子的乘积，则可对若未定式的分子或分母为若干个因子的乘积，则可对其中的任意一个或几个无穷小因子作等价无穷小代换，其中的任意一个或几个无穷小因子作等价无穷小代换，而不会改变原式的极限而不会改变原式的极限第三十页，编辑于星期五：二

20、十一点 四十一分。2.4 极限存在准则1.夹逼准则夹逼准则准准则则 如如果果数数列列nnyx ,及及nz满满足足下下列列条条件件: :,lim,lim)2()3 , 2 , 1()1(azaynzxynnnnnnn 那那末末数数列列nx的的极极限限存存在在, , 且且axnn lim. .第三十一页，编辑于星期五：二十一点 四十一分。注意注意: :.,的极限是容易求的的极限是容易求的与与并且并且与与键是构造出键是构造出利用夹逼准则求极限关利用夹逼准则求极限关nnnnzyzy准则准则 I和和准则准则 I称为称为夹逼准则夹逼准则.第三十二页，编辑于星期五：二十一点 四十一分。例例1 1).1211

21、1(lim222nnnnn 求求解解,11112222 nnnnnnnnnnnnnn111limlim2 又又, 1 22111lim1limnnnnn , 1 由夹逼定理得由夹逼定理得. 1)12111(lim222 nnnnn第三十三页，编辑于星期五：二十一点 四十一分。x1x2x3x1 nxnx2.单调有界准则单调有界准则满足条件满足条件如果数列如果数列nx,121 nnxxxx单调增加单调增加,121 nnxxxx单调减少单调减少单调数列单调数列准准则则 单单调调有有界界数数列列必必有有极极限限.几何解释几何解释:AM第三十四页，编辑于星期五：二十一点 四十一分。2.5 两个重要极限(

22、1)1sinlim0 xxx例例.cos1lim20 xxx 求求解解2202sin2limxxx 原式原式220)2(2sinlim21xxx 20)22sin(lim21xxx 2121 .21 第三十五页，编辑于星期五：二十一点 四十一分。(2)exxx )11(lim对数列有对数列有ennn )11(lim例例.)11(limxxx 求求解解xxx )11(1lim1)11(lim xxx原式原式.1e ; 1sinlim10 某过程某过程.)1(lim210e 某过程某过程,为某过程中的无穷小为某过程中的无穷小设设 小结：小结：第三十六页，编辑于星期五：二十一点 四十一分。2.6 求

23、极限方法举例例例1 1.531lim232 xxxx求求解解)53(lim22 xxx5lim3limlim2222 xxxxx5limlim3)lim(2222 xxxxx52322 , 03 531lim232 xxxx)53(lim1limlim22232 xxxxxx.37 3123 第三十七页，编辑于星期五：二十一点 四十一分。小结小结: :则有则有设设,)(. 1110nnnaxaxaxf nnxxnxxxxaxaxaxf 110)lim()lim()(lim000nnnaxaxa 10100).(0 xf 则有则有且且设设, 0)(,)()()(. 20 xQxQxPxf)(li

24、m)(lim)(lim000 xQxPxfxxxxxx )()(00 xQxP ).(0 xf ., 0)(0则商的法则不能应用则商的法则不能应用若若 xQ第三十八页，编辑于星期五：二十一点 四十一分。解解)32(lim21 xxx, 0 商的法则不能用商的法则不能用)14(lim1 xx又又, 03 1432lim21 xxxx. 030 由无穷小与无穷大的关系由无穷小与无穷大的关系,得得例例2 2.3214lim21 xxxx求求.3214lim21 xxxx第三十九页，编辑于星期五：二十一点 四十一分。解解例例3 3.321lim221 xxxx求求.,1分母的极限都是零分母的极限都是零

25、分子分子时时x.1后再求极限后再求极限因子因子先约去不为零的无穷小先约去不为零的无穷小 x)1)(3()1)(1(lim321lim1221 xxxxxxxxx31lim1 xxx.21 )00(型型(消去零因子法消去零因子法)第四十页，编辑于星期五：二十一点 四十一分。例例4 4.147532lim2323 xxxxx求求解解.,分分母母的的极极限限都都是是无无穷穷大大分分子子时时 x)(型型 .,3再求极限再求极限分出无穷小分出无穷小去除分子分母去除分子分母先用先用x332323147532lim147532limxxxxxxxxxx .72 (无穷小因子分出法无穷小因子分出法)第四十一页

26、，编辑于星期五：二十一点 四十一分。小结小结: :为非负整数时有为非负整数时有和和当当nmba, 0, 000 , 0,lim00110110mnmnmnbabxbxbaxaxannnmmmx当当当当当当无穷小分出法无穷小分出法: :以分母中自变量的最高次幂除分以分母中自变量的最高次幂除分子子,分母分母,以分出无穷小以分出无穷小,然后再求极限然后再求极限.第四十二页，编辑于星期五：二十一点 四十一分。例例5 5).21(lim222nnnnn 求求解解是无限多个无穷小之和是无限多个无穷小之和时时, n222221lim)21(limnnnnnnnn 2)1(21limnnnn )11(21li

27、mnn .21 先变形再求极限先变形再求极限.第四十三页，编辑于星期五：二十一点 四十一分。例例6 6.sinlimxxx 求求解解,1,为无穷小为无穷小时时当当xx .sin 是有界函数是有界函数而而x. 0sinlim xxxxxysin 第四十四页，编辑于星期五：二十一点 四十一分。例例7 7).(lim,0, 10,1)(02xfxxxxxfx 求求设设yox1xy 112 xy解解两个单侧极限为两个单侧极限为是函数的分段点是函数的分段点,0 x)1(lim)(lim00 xxfxx , 1 )1(lim)(lim200 xxfxx, 1 左右极限存在且相等左右极限存在且相等,. 1)(lim0 xfx故故第四十五页，编辑于星期五：二十一点 四十一分。1、极限的四则运算法则及其推论、极限的四则运算法则及其推论;2、极限求法、极限求法;a.多项式与分式函数代入法求极限多项式与分式函数代入法求极限;b.消去零因子法求极限消去零因子法求极限;c.无穷小因子分出法求极限无穷小因子分出法求极限;d.利用无穷小运算性质求极限利用无穷小运算性质求极限;e.利用左右极限求分段函数极限利用左右极限求分段函数极限.3、复合函数的极限运算法则、复合函数的极限运算法则第四十六页，编辑于星期五：二十一点 四十一分。