第一章---矩阵.ppt

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1、第一章第一章 矩阵矩阵v矩阵的概念与运算矩阵的概念与运算v矩阵的行列式矩阵的行列式v矩阵的分块与可逆矩阵矩阵的分块与可逆矩阵v矩阵的初等变换矩阵的初等变换v矩阵的秩与应用矩阵的秩与应用第一页，编辑于星期五：十七点 三十三分。一一. . 矩阵的概念与运算矩阵的概念与运算( (一一) ) 历史点滴历史点滴: :v “矩阵矩阵”一词由英国数学家一词由英国数学家 J.Sylvester(18141897) J.Sylvester(18141897) 约于约于18501850年年首先使用首先使用v18551855年英国数学家年英国数学家 A.Cayley (1821-1895)A.Cayley (182

2、1-1895)创立矩阵的记号创立矩阵的记号( (括括弧弧), ), 并于并于18851885年发表了年发表了 .在该文中他在该文中他定义了矩阵的基本运算定义了矩阵的基本运算, ,并获得矩阵的并获得矩阵的“零化定理零化定理”v“矩阵矩阵”的英文的英文(matrix)(matrix)来自拉丁文的来自拉丁文的“母亲母亲”(mater)(mater)v矩阵产生的背景源于坐标矩阵产生的背景源于坐标( (变量的变量的) )变换变换v矩阵是线性代数的一个重要的数学工具矩阵是线性代数的一个重要的数学工具, ,广泛应用于自广泛应用于自然科学与社会科学的许多领域然科学与社会科学的许多领域第二页，编辑于星期五：十七

3、点 三十三分。 定义定义: :v 数域数域-可进行加、减、乘、除运算的数的集合可进行加、减、乘、除运算的数的集合v 矩阵矩阵-由由m mn n个数排成的个数排成的m m行行n n列的数表列的数表v 对角矩阵对角矩阵- - 除主对角线以外的元全为零的矩阵除主对角线以外的元全为零的矩阵v 数量矩阵数量矩阵-主对角线上的元都相同的对角矩阵主对角线上的元都相同的对角矩阵v 单位矩阵单位矩阵-主对角线上的元都是主对角线上的元都是1 1的数量矩阵的数量矩阵, ,记为记为E.E.v 上上( (下下) )三角形矩阵三角形矩阵- 主对角线左下主对角线左下 ( (右上方右上方) )的元全为零的矩阵的元全为零的矩阵

4、v ( (反反) )对称矩阵对称矩阵-元素关于主对角线是元素关于主对角线是( (反反) )对称的矩阵对称的矩阵第三页，编辑于星期五：十七点 三十三分。( (三三) ) 矩阵的运算矩阵的运算 1. .定义定义: :v加法加法A+B: A,BA+B: A,B同型同型, ,对应元素相加对应元素相加v减法减法A-B: A,BA-B: A,B同型同型, ,对应元素相减对应元素相减v数乘数乘aA: AaA: A均任意均任意,a ,a乘以乘以A A的每个元素的每个元素v乘法乘法AB: AAB: A的列数等于的列数等于B B的行数的行数, , AB AB的第的第i i行第行第j j列元素是列元素是A A的第的

5、第i i行元素与行元素与B B的第的第j j列对应元素的乘积之和列对应元素的乘积之和v转置转置A: A: 将将A A的行与列互换的行与列互换第四页，编辑于星期五：十七点 三十三分。v矩阵的加法满足矩阵的加法满足: (1) A+B=B+A (2) (A+B)+C= A+(B+C) (3) A+0 = A (4) A+(-A) = 0v矩阵的数乘满足矩阵的数乘满足: (1) a(A+B)=aA+aB (2) (a+b)A =aA+bA (3) a(bA)= (ab)A第五页，编辑于星期五：十七点 三十三分。2. 2. 算律算律v矩阵的乘法满足矩阵的乘法满足: : (1) (AB)C = A(BC)

6、 (1) (AB)C = A(BC) (2) A(B+C) = AB+AC (2) A(B+C) = AB+AC (3) (B+C)A = BA+CA (3) (B+C)A = BA+CA (4) k(AB) = (kA)B = A(kB) (4) k(AB) = (kA)B = A(kB)但不满足交换律、消去律和异底指幂律但不满足交换律、消去律和异底指幂律v矩阵的转置满足矩阵的转置满足: : (1) (A) =A (1) (A) =A (2) (A+B) = A+B (2) (A+B) = A+B (3) (aA) = aA (3) (aA) = aA (4) (AB) = BA (4) (

7、AB) = BA第六页，编辑于星期五：十七点 三十三分。 第七页，编辑于星期五：十七点 三十三分。( (一一) ) 历史点滴历史点滴: :v行列式来源于线性方程组的求解行列式来源于线性方程组的求解v16831683年年, ,日本数学家日本数学家关孝和关孝和(Seki Takazu,1642-1768)(Seki Takazu,1642-1768) 在其专著在其专著 中提出了行列式的概念与算法中提出了行列式的概念与算法v17501750年年, ,瑞士数学家瑞士数学家克拉默克拉默(G.Cramer,1704-1752)(G.Cramer,1704-1752) 提出了线性方程组的行列式解法提出了线性

8、方程组的行列式解法 “克拉默法则克拉默法则”v17721772年年, ,法国数学家法国数学家范德蒙德范德蒙德(A.T.Vandermrede,1735 -(A.T.Vandermrede,1735 -1851)1851)首先将行列式理论系统化首先将行列式理论系统化, ,被誉为行列式理论的奠被誉为行列式理论的奠基人基人v现行的行列式的记号是由英国数学家现行的行列式的记号是由英国数学家凯莱凯莱(A.Cayley, (A.Cayley, 1821-1895)1821-1895)于于18411841年引进的年引进的第八页，编辑于星期五：十七点 三十三分。( (二二) )概念概念(1)行列式的行列式的(

9、 (递归法递归法) )定义定义: detA = ai1Ai1 + ai2Ai2 + +ainAin,v 余子式余子式v代数余子式代数余子式 (2)行列式的行列式的( (代数法代数法) )定义定义: : detA = (-1)(-1) a1k1a2k2ankn 其中其中 a a是是n n级排列级排列 k k1 1k k2 2kkn n 的逆序数的逆序数, , 表示对所有表示对所有n n级排列求和级排列求和vn n级排列级排列v逆序数逆序数 第九页，编辑于星期五：十七点 三十三分。( (三三) ) 性质：设性质：设A A为为n n阶矩阵阶矩阵, ,v若若B B为为A A的转置矩阵的转置矩阵, ,

10、则则 |B| = |A|B| = |A|v若交换若交换A A的某两行的某两行( (列列) )得到矩阵得到矩阵C,C,则则 |C|= -|A|C|= -|A| 特例：若特例：若A A的某两行的某两行( (列列) )相同相同, ,则则 |A|=0|A|=0v若用数若用数k k乘乘A A的某一行的某一行( (列列) )得到矩阵得到矩阵D,D,则则 |D|=k|A|D|=k|A| 特例：若特例：若A A的某一行的某一行( (列列) )的元全为的元全为0, 0,则则 |A|=0|A|=0 特例：若特例：若A A的某两行的某两行( (列列) )的元成比例的元成比例, ,则则 |A|=0|A|=0v若若A

11、A的第的第i i行行( (列列) )的元均可写成两个元的和的元均可写成两个元的和, ,则则 |A|=|B|+|C|,|A|=|B|+|C|, 其中其中 B,C B,C 与与A A 的的( (除第除第i i行外行外) )各行均相同各行均相同. .v若若H H是将是将A A的第的第i i行行( (列列) )的的k k倍加到第倍加到第j j行行( (列列) )上所得的矩上所得的矩阵阵, ,则则 |H| = |A|.|H| = |A|.第十页，编辑于星期五：十七点 三十三分。( (四四) ) 定理：定理： (1) (1) 设设A A为为n n阶矩阵，则阶矩阵，则vA A的第的第i i行元与其第行元与其

12、第s s行行(ik)(ik)对应元的代数余对应元的代数余子式的乘积之和等于零子式的乘积之和等于零; ;vA A的第的第j j列元与其第列元与其第t t列列(jt)(jt)对应元的代数余对应元的代数余子式的乘积之和等于零子式的乘积之和等于零. . (2) (2)设设A,BA,B均为均为n n阶矩阵，则阶矩阵，则 |AB| = |A|AB| = |A| |B|.|B|. 第十一页，编辑于星期五：十七点 三十三分。vLaplace(Laplace(拉普拉斯拉普拉斯) )定理定理: : 设设A=(aA=(aij ij) )为为n n阶矩阵阶矩阵, ,在在A A中任意取定中任意取定k k行行(1kn),

13、(1kn),则由这则由这k k行元组成的所有行元组成的所有k k阶子式阶子式MMi i与其代数余子式与其代数余子式B Bi i (i=1,2,t)(i=1,2,t)的乘积之和等于的乘积之和等于 |A|, |A|, 其中其中 t=n(n-1)(n-2)(n-k+1)/k! .t=n(n-1)(n-2)(n-k+1)/k! .第十二页，编辑于星期五：十七点 三十三分。( (五五) ) 行列式的计算方法：行列式的计算方法：v定义法定义法v性质法性质法v消元法消元法( (降阶法降阶法) )v子式法子式法( (拉氏法拉氏法) )v递归法递归法v公式法公式法v升阶法升阶法v赋值法赋值法v乘积法乘积法v微积

14、分法微积分法第十三页，编辑于星期五：十七点 三十三分。( (一一) )矩阵的分块矩阵的分块v意义：矩阵的分块是进行矩阵分析与计算意义：矩阵的分块是进行矩阵分析与计算 的一种技巧的一种技巧v操作：根据研究问题的实际背景或需要操作：根据研究问题的实际背景或需要v运算：与数字矩阵的运算规则类似运算：与数字矩阵的运算规则类似 (1)(1)加法加法: A: A与与B B同型同型, ,且其行和列的分法一致且其行和列的分法一致 (2)(2)数乘数乘: A: A可任意分块可任意分块, kA=(, kA=(kAkAij ij) )s st t (3) (3)乘法乘法: A: A的列数等于的列数等于B B的行数的

15、行数, ,且且A A的列的分法的列的分法 与与B B的行的分法一致的行的分法一致, AB , AB 才有意义才有意义 (4)(4)转置转置: : 行列互换后的各子矩阵都应再转置行列互换后的各子矩阵都应再转置第十四页，编辑于星期五：十七点 三十三分。( (二二) ) 可逆矩阵可逆矩阵( (非奇异非奇异/ /非退化非退化/ /满秩矩阵满秩矩阵) )v定义定义: : 存在矩阵存在矩阵B,B,使得使得 AB=BA=EAB=BA=En n. .v范例范例: : 非零的数量矩阵是可逆矩阵非零的数量矩阵是可逆矩阵v性质性质: : (1) (1) 可逆矩阵与其逆矩阵均为方阵可逆矩阵与其逆矩阵均为方阵 (2)

16、(2) 可逆矩阵的逆矩阵是唯一的可逆矩阵的逆矩阵是唯一的 (3) (3) 可逆矩阵的行列式不等于零可逆矩阵的行列式不等于零第十五页，编辑于星期五：十七点 三十三分。(二) 可逆矩阵(非奇异/非退化/满秩矩阵)vn阶矩阵A为可逆矩阵的充要条件是 |A|0 此时, A = |A| A*,其中 A*是A的伴随矩阵;v设n阶矩阵A,B均为可逆矩阵,则 (1) A的逆矩阵A 是可逆矩阵,且(A ) =A ; (2) A的转置矩阵、伴随矩阵均为可逆矩阵; (3) (kA) = k A ,若k0 ; (4) (AB) = B A .11111111111第十六页，编辑于星期五：十七点 三十三分。v矩阵的矩阵

17、的初等变换：初等变换： (1)(1)互换变换：互换变换： 交换交换A A的某两行的某两行( (列列) ) (2) (2)倍法变换：倍法变换：用一个非零的数用一个非零的数c c乘以乘以A A的某一行的某一行( (列列) )(3)(3)消元变换消元变换: : 将将A A的某一行的某一行( (列列) )的的k k倍加到另一行倍加到另一行( (列列) )上上v初等矩阵初等矩阵： 由由单位矩阵单位矩阵经过经过一次一次初等变换初等变换得到的矩阵得到的矩阵第十七页，编辑于星期五：十七点 三十三分。v初等变换与初等矩阵的初等变换与初等矩阵的关系关系 “行行左左列列右右” 设设A A是一个是一个mn矩阵矩阵,

18、,则则(1)(1)对对A A进行一次进行一次行行初等变换初等变换, ,相当于用一个相当于用一个相相应的应的m阶阶初等矩阵初等矩阵左左乘乘 A;A;(2)(2)对对A A进行一次进行一次列列初等变换初等变换, ,相当于用一个相当于用一个相相应的应的n阶阶初等矩阵初等矩阵右右乘乘 A.A.第十八页，编辑于星期五：十七点 三十三分。v初等矩阵的性质初等矩阵的性质: : (1)(1)初等矩阵均为可逆矩阵初等矩阵均为可逆矩阵,且其逆矩阵仍为同类型的初等矩阵且其逆矩阵仍为同类型的初等矩阵 (2) (2) 初等矩阵的转置矩阵仍为同类型的初等矩阵初等矩阵的转置矩阵仍为同类型的初等矩阵 (3) n(3) n阶矩

19、阵阶矩阵A A为可逆矩阵的充要条件是为可逆矩阵的充要条件是 A A 的等价标准形为的等价标准形为E E (4) n (4) n阶矩阵阶矩阵A A为可逆矩阵的充要条件是为可逆矩阵的充要条件是 A A可以表示为有限个可以表示为有限个 初等矩阵的乘积初等矩阵的乘积 (5) n(5) n阶矩阵阶矩阵A A为可逆矩阵的充要条件是为可逆矩阵的充要条件是 A A可以经有限次可以经有限次行行( (列列) ) 初等变换化为单位矩阵初等变换化为单位矩阵 (6 (6）对于任意）对于任意m mn n矩阵矩阵A A，存在，存在m m阶可逆矩阵阶可逆矩阵P P和和n n阶可逆矩阵阶可逆矩阵 Q Q， 使得使得 PAQ P

20、AQ = . = . 000rE第十九页，编辑于星期五：十七点 三十三分。v定义定义: :若若mn矩阵矩阵A有一个有一个k阶子式不为零阶子式不为零,且其所有的且其所有的k+1阶子式全为零阶子式全为零,则称则称A的秩为的秩为k.v性质性质： (1)(1)对任意对任意mn矩阵矩阵A,总有总有 r(A)= r(A )=r(aA)(ar(A)= r(A )=r(aA)(a0) ) (2)(2) 矩阵的初等变换不改变矩阵的秩矩阵的初等变换不改变矩阵的秩(3)(3) 任意秩为任意秩为r的的mn矩阵矩阵A都可经有限次都可经有限次行行初等变换化为初等变换化为r行非零的行非零的mn梯形矩阵梯形矩阵D(4)(4)

21、任意秩为任意秩为r的的mn矩阵矩阵A都可经有限次初等变换化为都可经有限次初等变换化为 mn等价标准形矩阵等价标准形矩阵(5)(5) n n阶矩阵阶矩阵A A为可逆矩阵的充要条件是为可逆矩阵的充要条件是 r(A)=nr(A)=n000rET第二十页，编辑于星期五：十七点 三十三分。v图论学图论学 - 邻接矩阵邻接矩阵/关联矩阵关联矩阵v气象学气象学 - 转移转移(概率概率)矩阵矩阵v几何学几何学 - 几何变换几何变换/曲面分类曲面分类v计算数学计算数学 - (线性方程组线性方程组/特征值与特征向量特征值与特征向量)迭代法迭代法/最小二乘法最小二乘法v经济学经济学 - 投入产出分析投入产出分析/污

22、染与工业发展污染与工业发展v密码学密码学 - Hill密码的加解密理论密码的加解密理论v生物学生物学 - Leslie模型与矩阵的特征分析模型与矩阵的特征分析v运筹学运筹学 - 线性规划线性规划第二十一页，编辑于星期五：十七点 三十三分。第二十二页，编辑于星期五：十七点 三十三分。vn n阶矩阵阶矩阵A A为可逆矩阵的充分必要条件是为可逆矩阵的充分必要条件是 (1)(1)存在存在n n阶矩阵阶矩阵B,B,使得使得 AB = E . AB = E . 或者或者 (2)(2)存在存在n n阶矩阵阶矩阵C,C,使得使得 CA = E . CA = E . 或者或者 (3)|A|(3)|A| 0. 0

23、. 或或 A A的转置矩阵的转置矩阵A A 为可逆矩阵为可逆矩阵. . 或或 (4)|A(4)|A* *| | 0.0.或或 A A的伴随矩阵的伴随矩阵A A* *为可逆矩阵为可逆矩阵. . 或或 (5) (5) 秩秩(A)= (A)= n . n . 或或A A等价于等价于n n阶单位矩阵阶单位矩阵. . 或或 (6) (6) A A可经有限次行可经有限次行( (列列) )初等变换化为初等变换化为n n阶单位阶单位 矩阵矩阵. . 或或 (7) A(7) A可表示为有限个初等矩阵的乘积可表示为有限个初等矩阵的乘积. . T第二十三页，编辑于星期五：十七点 三十三分。v任一任一 n n阶矩阵阶

24、矩阵A A 均可表为一个均可表为一个 n n阶对称矩阵阶对称矩阵B B与一个与一个 n n阶反对称矩阵阶反对称矩阵C C 的和的和: A=B+C.: A=B+C.v证明证明: :若实数若实数a,b,c,da,b,c,d不全为零不全为零, ,则行列式则行列式 0.0.v与所有与所有n n阶可逆矩阵可交换的阶可逆矩阵可交换的n n阶矩阵必为阶矩阵必为n n阶数量矩阵阶数量矩阵. .v设设A,BA,B与与A+B A+B 均为均为n n阶可逆矩阵阶可逆矩阵, ,证明证明: :A +B A +B 是可逆是可逆 矩阵矩阵, ,且且 (A +B ) =A(A+B) B= B(A+B) A .(A +B ) =A(A+B) B= B(A+B) A .v一个秩为一个秩为r r的矩阵总可以写成的矩阵总可以写成r r个秩为个秩为1 1的矩阵之和的矩阵之和. .v设设A = A = 是是n n阶矩阵阶矩阵, ,试求试求A A的秩的秩. .abcdbadccdabdcba11111111000111000010000011000011第二十四页，编辑于星期五：十七点 三十三分。