轨迹方程交轨法(共4页).doc

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1、精选优质文档-倾情为你奉上 第六讲:轨迹方程.交轨法 21 第六讲:轨迹方程.交轨法 若动点满足的几何条件是两动曲线(曲线方程中含有参数)的交点,此时,要首先分析两动曲线的变化,依赖于哪一个变量？设出这个变量为t,求出两动曲线的方程,然后由这两动曲线方程着力消去参数t,化简整理即得动点的轨迹方程,这种求轨迹方程的方法我们称为交轨法. 一.解析形式例1:(2003年新课程高考试题)己知常数a0,向量c=(0,a),i=(1,0),经过原点O,以c+i为方向向量的直线与经过定点A(0,a),以i-2c为方向向量的直线相交于点P,其中R,试问:是否存在两个定点E、F,使得|PE|+|PF|为定值.若

2、存在,求出E、F的坐标;若不存在,说明理由.解析:()由c=(0,a),i=(1,0)c+i=(,a),i-2c=(1,-2a)直线OP、AP的方程分别为y=ax、y-a=-2ax,消去参数,得点P(x,y)的坐标满足y(y-a)=-2a2x2,即=1.当a=时,点P的轨迹为圆,故不存在满足题意的定点;当a时,点P的轨迹为椭圆,故存在椭圆的两焦点满足题意.类题:1.(2011年安徽高考试题)设直线l1:y=k1x+1,l2:y=k2x-1,其中实数k1,k2满足k1k2+2=0.()证明l1与l2相交;()证明l1与l2的交点在椭圆2x2+y2=1上.2.(2005年全国高中数学联赛安徽预赛试

3、题)己知常数a0,向量p=(1,0),q=(0,a),经过定点M(0,-a),方向向量为p+q的直线与经过定点N(0,a),方向向量为p+2q的直线相交于点R,其中R.()求点R的轨迹方程;()设a=,过F(0,1)的直线l交点R的轨迹于A、B两点,求的取值范围. 二.平几形式例2:(2013年福建高考试题)如图,在正方形OABC中, yO为坐标原点,点A的坐标为(10,0),点C的坐标为(0, C B10),分别将线段OA和AB十等分,分点分别记为A1,A2, Bi,A9和B1,B2,B9,连接OBi,过Ai作x轴的垂线与OBi B1交于点Pi(iN+,1i9). O A1 Ai A x()

4、求证:点Pi(iN+,1i9)都在同一条抛物线上,并求该抛物线E的方程;()过点C作直线l与交抛物线E于不同的两点M、N,若OCM与OCN的面积比为4:1,求直线l的方程.解析:()因Bi(10,i)直线OBi:y=x;直线AiPi:x=iPi(i,)点Pi(iN+,1i9)在抛物线E:x2=10y上;()设M(x1,y1),N(x2,y2),直线l:y=kx+10;由x2-10kx-100=0x1+x2=10k,x1x2=-100;因OCM与OCN的面积比为4:1|x1|=4|x2|(x1x20,在矩形ABCD中,AB=4,BC=4a, yO为AB的中点.点E、F、G分别在BC、CD、DA上

5、移动,且, D F CP为CE与OF的交点(如图)问是否存在两个定点,使P到这两点的距离的 G P E和为定值.若存在,求出这两点的坐标及此定值;若不存在,请说明理由. A O B x 三.解析条件例3:(2004年全国高中数学联赛山东预赛试题)设A1、A2是椭圆+=1(ab0)长轴上的两个顶点,P1P2是垂直于长轴的弦,直线A1P1与A2P2的交点为P.则点P的轨迹的方程是 .解析:设点P1的坐标为(m,n),则有P2(m,-n),A1P1所在直线的方程为y=(x+a),A2P2所在直线的方程为y=(x-a),两式相乘,并利用+=1消去m、n有-=1.类题:1.(1990年上海高考试题)己知

6、点P在直线x=2上移动,直线l过原点且与OP垂直,通过点A(1,0)及点P的直线m与直线l交于点Q,求点Q的轨迹方程,并指出该轨迹的名称和它的焦点坐标.2.(1986年全国高考试题)已知两点P(-2,2),Q(0,2)以及一条直线:L:y=x,设长为的线段AB在直线L上移动,求直线PA和QB的交点M的轨迹方程.(要求把结果写成普通方程). 四.曲线条件例4:(2012年辽宁高考试题)如图,动圆C1:x2+y2=t2,1t0,y00),则+y02=1,矩形ABCD的面积S=4x0y0S2=16x02y02=16x02(1-)=-(x02-)2+36,当x02=时,S取得最大值6,此时,y02=t

7、2=x02+y02=+=5t=;()由A1(-3,0),A2(3,0),设A(a,b),则B(a,-b),且+b2=1;直线AA1:y=(x+3),A2B:y=-(x-3),两式相乘得:y2=-(x2-9)y2=(x2-9)-y2=1;由-3a0,0b1x-3,y0M的轨迹方程:-y2=1(x-3,y1)的两条直线l1和l2与轨迹E都只有一个交点,且l1l2,l1求h的值.2.(2012年江苏高考试题)如图,在平面直角坐标系xOy中,椭圆+=1(ab0)的左、右焦点分别为F1(-c,0),F2(c,0). 第六讲:轨迹方程.交轨法 23 ABPOxy已知(1,e)和(e,)都在椭圆上,其中e为

8、椭圆的离心率.()求椭圆的离心率;()设A,B是椭圆上位于x轴上方的两点,且直线AF1与直线BF2平行,AF2与BF1交于点P.(i)若AF1-BF2=,求直线AF1的斜率;(ii)求证:PF1+PF2是定值. 五.动弦上点例5:(2005年全国高中数学联赛山东预赛试题)如图, y过原点O作抛物线y22px(p0)的两条互相垂直的弦 AOA、OB,再作AOB的平分线交AB于C. O C x求点C的轨迹方程. B解析:设A(2pa2,2pa)(a0),B(2pb2,2pb)(ab0),由OAOBab=-1=|a|3,由OC平分AOB=|a|3=|a|3,设C(x,y),则x-2pa2=a3(2p

9、b2-x),y-2pa=a3(2pb-y)x=,y=a=y1+()3=2p(+1)y(x2+3y2)=2p(x2-y2).类题:1.(2008年北京、安徽春招试题)设点A和B为抛物线y2=4px(p0)上原点以外的两个动点,己知OAOB,OMAB,求点M的轨迹方程,并说明它表示什么曲线.2.(2007年天津高考试题)设椭圆C:=1(ab0)的左、右焦点分别为F1、F2,A是椭圆上一点,AF2F1F2,原点O到直线AF1的距离为|OF1|.()证明:a=b;()设Q1、Q2为椭圆上的两个动点,OQ1OQ2,过原点O作直线Q1Q2的垂线OD,垂足为D,求点D的轨迹方程. 六.动弦交点例6:(201

10、1年全国高中数学联赛安徽初赛试题)设点A(-1,0),B(1,0),C(2,0), y PD在双曲线x2-y2=1的左支上,DA,直线CD交双曲线x2-y2=1的右支于点E,求证:直线AD与BE的交点P在直线x=上. A B C x解析:设D(x1,y1)(x10),直线DE:y=k(x-2); D由(1-k2)x2+4k2x-4k2-1=0(k1)x1+x2=,x1x2=x1+x2=4+=(x1+x2)-1,x1x2=+=(x1+x2)+(x1+x2)-1=(x1+x2)-1;直线AD:y=(x+1)=(x+1),直线BE:y=(x-1)=(x-1)直线AD与BE交点P的横坐标x满足:(x+

11、1)=(x-1)(-)x=-(+ 24 第六讲:轨迹方程.交轨法 )x=-=-=.类题:1.(2011年四川高考试题)(文)过点C(0,1)的椭圆(ab0)的离心率为,椭圆与x轴交于两点A(a,0),B(-a,0),过点C的直线l与椭圆交于另一点 yD,并与x轴交于点P,直线AC与直线BD交于 C点Q.()当直线l过椭圆右焦点时,求线段CD的长; B O P A x()当点P异于点B时,求证:为定值. D Q2.(2011年四川高考试题)(理)椭圆有两顶 y点A(-1,0)、B(1,0),过其焦点F(0,1)的直线l D与椭圆交与C、D两点,并与x轴交于点P.直线 CAC与直线BD交于点Q. A O B P x()当|CD|=时,求直线l的方程;()当点P异于A、B两点时,求证:为定值.专心-专注-专业