九年级数学下册第2章二次函数2.3二次函数的应用2.3.2二次函数与一元二次方程的联系第1课时课件湘教版20200323322.ppt

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1、2.3.2二次函数与一元二次方程的联系(第1课时)1.1.理解二次函数与一元二次方程的关系理解二次函数与一元二次方程的关系, ,知道二次函数与知道二次函数与x x轴交轴交点的横坐标就是方程的解点的横坐标就是方程的解.(.(重点重点) )2.2.理解二次函数与理解二次函数与x x轴交点的个数与一元二次方程的根的个数轴交点的个数与一元二次方程的根的个数之间的关系之间的关系.(.(难点难点) )二次函数二次函数(1)y=x(1)y=x2 2+x-2,(2)y=x+x-2,(2)y=x2 2-6x+9,(3)y=x-6x+9,(3)y=x2 2-x+1-x+1的图象如图的图象如图所示所示, ,观察图象

2、填空观察图象填空. .(1)(1)抛物线抛物线y=xy=x2 2+x-2+x-2与与x x轴有两个公共点轴有两个公共点, ,它们的横坐标是它们的横坐标是_,_;_,_;当当x x取公共点的横坐标时取公共点的横坐标时, ,函数的值是函数的值是_._.由此得出方程由此得出方程x x2 2+x-2=0+x-2=0的根是的根是x x1 1=_,x=_,x2 2=_.=_.(2)(2)抛物线抛物线y=xy=x2 2-6x+9-6x+9与与x x轴有一个公共点轴有一个公共点, ,这点的横坐标是这点的横坐标是_._.当当x=_x=_时时, ,函数的值是函数的值是_._.由此得出方程由此得出方程x x2 2-

3、6x+9=0-6x+9=0有两个相等的实有两个相等的实数根数根_._.(3)(3)抛物线抛物线y=xy=x2 2-x+1-x+1与与x x轴没有公共点轴没有公共点, ,由此可知由此可知, ,方程方程x x2 2-x+1=0-x+1=0_._.-2-21 10 0-2-21 13 33 30 0 x x1 1=x=x2 2=3=3没有实数根没有实数根【总结总结】一般地一般地, ,由二次函数由二次函数y=axy=ax2 2+bx+c(a0)+bx+c(a0)的图象可知的图象可知, ,(1)(1)如果抛物线如果抛物线y=axy=ax2 2+bx+c+bx+c与与x x轴有公共点轴有公共点, ,公共点

4、的横坐标是公共点的横坐标是x x0 0, ,那么当那么当x=xx=x0 0时时, ,函数的值是函数的值是_, ,因此因此x=x=_就是方程就是方程axax2 2+bx+c=0+bx+c=0的一个根的一个根. .(2)(2)抛物线抛物线y=axy=ax2 2+bx+c(a0)+bx+c(a0)和和x x轴的位置关系与一元二次方程轴的位置关系与一元二次方程axax2 2+bx+c=0(a0)+bx+c=0(a0)的根的关系的根的关系: :0 0 x x0 0抛物线抛物线y=axy=ax2 2+bx+bx+c+c与与x x轴的公共点轴的公共点的个数的个数一元二次方程一元二次方程axax2 2+bx+

5、c=0+bx+c=0根的情况根的情况b b2 2-4ac0-4ac0有有_个个有两个不相等的实数根有两个不相等的实数根b b2 2-4ac=0-4ac=0有有_个个有两个相等的实数根有两个相等的实数根b b2 2-4ac0-4ac0.-4ac0.(2)(2)求出点求出点A,BA,B的坐标的坐标, ,计算计算ABAB的长度的长度, ,求出点求出点C C的坐标的坐标, ,根据根据S SABCABC=1,=1,求出求出a.a.求出点求出点D D的坐标的坐标, ,根据根据S SABCABC=S=SABDABD, ,列出方程求列出方程求m.m.【自主解答自主解答】(1)y=a(x-m)(1)y=a(x-

6、m)2 2-a(x-m)=ax-a(x-m)=ax2 2-(2am+a)x+am-(2am+a)x+am2 2+am.+am.因为当因为当a0a0时时,-(2am+a),-(2am+a)2 2-4a(am-4a(am2 2+am)=a+am)=a2 20.0.所以所以, ,方程方程axax2 2-(2am+a)x+am-(2am+a)x+am2 2+am=0+am=0有两个不相等的实数根有两个不相等的实数根. .所以所以, ,不论不论a a与与m m为何值为何值, ,该函数的图象与该函数的图象与x x轴总有两个公共点轴总有两个公共点. .(2)(2)y=a(x-m)y=a(x-m)2 2-a(

7、x-m)-a(x-m)=a(x- )=a(x- )2 2- -所以，点所以，点C C的坐标为的坐标为当当y=0y=0时，时，a(x-m)a(x-m)2 2-a(x-m)=0.-a(x-m)=0.解得解得x x1 1=m=m，x x2 2=m+1.=m+1.所以所以AB=1.AB=1.当当ABCABC的面积等于的面积等于1 1时，时，所以所以a=-8a=-8或或a=8.a=8.2m12a4，2m1a(,).241a1 | 1.24 1a1a1 ()111.2424 所以或当当x=0 x=0时，时，y=amy=am2 2+am+am，所以点，所以点D D的坐标为的坐标为(0, am(0, am2

8、2+am).+am).当当ABCABC的面积与的面积与ABDABD的面积相等时，的面积相等时，2221a11 |1amam .2421a11 ()1amam2421a111amam .24211212mmm.222 所以或所以或或【总结提升】【总结提升】二次函数与一元二次方程关系的两方面二次函数与一元二次方程关系的两方面1.1.从从“数数”的方面看的方面看: :当二次函数当二次函数y=axy=ax2 2+bx+c+bx+c的函数值等于的函数值等于0 0时时, ,相应的自变量的值为一元二次方程相应的自变量的值为一元二次方程axax2 2+bx+c=0+bx+c=0的解的解. .2.2.从从“形形

9、”的方面看的方面看: :二次函数二次函数y=axy=ax2 2+bx+c+bx+c与与x x轴交点的横坐标轴交点的横坐标为一元二次方程为一元二次方程axax2 2+bx+c=0+bx+c=0的解的解. .题组题组: :二次函数与一元二次方程的关系二次函数与一元二次方程的关系1.1.关于关于x x的一元二次方程的一元二次方程x x2 2-x-n=0-x-n=0没有实数根没有实数根, ,则抛物线则抛物线y=xy=x2 2-x-x-n n的顶点在的顶点在( () )A.A.第一象限第一象限 B.B.第二象限第二象限C.C.第三象限第三象限 D.D.第四象限第四象限【解析解析】选选A.A.抛物线抛物线

10、y=xy=x2 2-x-n-x-n的顶点横坐标为的顶点横坐标为 , ,且该抛物线且该抛物线开口向上开口向上, ,又因为一元二次方程又因为一元二次方程x x2 2-x-n=0-x-n=0没有实数根没有实数根, ,即抛物线即抛物线y=xy=x2 2-x-n-x-n与与x x轴没有交点轴没有交点, ,因此因此, ,它的顶点只能在第一象限它的顶点只能在第一象限. .122.2.根据下表中的二次函数根据下表中的二次函数y=axy=ax2 2+bx+c+bx+c的自变量的自变量x x与函数与函数y y的对应的对应值值, ,可判断该二次函数的图象与可判断该二次函数的图象与x x轴轴( () )x x-1-1

11、0 01 12 2y y-1-1-2-27474A.A.只有一个交点只有一个交点B.B.有两个交点有两个交点, ,且它们分别在且它们分别在y y轴两侧轴两侧C.C.有两个交点有两个交点, ,且它们均在且它们均在y y轴同侧轴同侧D.D.无交点无交点【解析解析】选选B.B.根据表中的二次函数根据表中的二次函数y=axy=ax2 2+bx+c+bx+c的自变量的自变量x x与函与函数数y y的对应值的对应值, ,可以发现当可以发现当x=0,x=2x=0,x=2时时,y,y的值都等于的值都等于 0,0,bA.a0,b2 2-4ac0-4ac0B.a0,bB.a0,b2 2-4ac0-4ac0C.a0

12、,bC.a0,b2 2-4ac0-4ac0D.a0,bD.a0,b2 2-4ac0-4ac0【解析解析】选选D.D.由题意可知由题意可知, ,抛物线开口向下抛物线开口向下, ,且与且与x x轴无公共点轴无公共点, ,即即a0,ba0,b2 2-4ac0.-4ac0a0时时,b,b2 2-4ac0,-4ac0,顶点在顶点在x x轴下方轴下方;b;b2 2-4ac=0,-4ac=0,顶点在顶点在x x轴上轴上;b;b2 2- -4ac0,4ac0,ba=10,b2 2-4ac=(-2m)-4ac=(-2m)2 2-4(m-4(m2 2-1)=40,-1)=40,所以选所以选A.A.5.5.已知一元

13、二次方程已知一元二次方程axax2 2+bx+c=0(a0)+bx+c=0(a0)的两个实数根的两个实数根x x1 1,x,x2 2满足满足x x1 1+x+x2 2=4=4和和x x1 1x x2 2=3,=3,那么二次函数那么二次函数y=axy=ax2 2+bx+c(a0)+bx+c(a0)的图象有可的图象有可能是能是( () )【解析解析】选选C.C.根据二次函数与一元二次方程之间的关系可知根据二次函数与一元二次方程之间的关系可知,A,A错误错误; ;又因为两根之积为正数又因为两根之积为正数, ,所以两根同号所以两根同号,D,D错误错误; ;由由x x1 1+x+x2 2=4=4可知两根

14、都为正数可知两根都为正数, ,所以所以B B错误错误. .6.(20136.(2013常州中考常州中考) )二次函数二次函数y=axy=ax2 2+bx+c(a,b,c+bx+c(a,b,c为常数且为常数且a0)a0)中的中的x x与与y y的部分对应值如下表的部分对应值如下表: :x x-3-3-2-2-1-10 01 12 23 34 45 5y y12125 50 0-3-3-4-4-3-30 05 51212给出下列结论给出下列结论: :(1)(1)二次函数二次函数y=axy=ax2 2+bx+c+bx+c有最小值有最小值, ,最小值为最小值为-3.-3.(2)(2)当当- x2- x

15、2时时,y0.,y0.(3)(3)二次函数二次函数y=axy=ax2 2+bx+c+bx+c的图象与的图象与x x轴有两个交点轴有两个交点, ,且它们分别且它们分别在在y y轴两侧轴两侧. .12则其中正确结论的个数是则其中正确结论的个数是( () )A.3A.3B.2B.2C.1C.1D.0D.0【解析解析】选选B.B.由表格可知由表格可知, ,抛物线与抛物线与x x轴交点坐标为轴交点坐标为(-1,0)(-1,0)和和(3,0),(3,0),所以抛物线对称轴为直线所以抛物线对称轴为直线x=1,x=1,顶点坐标为顶点坐标为(1,-4),(1,-4),所以所以二次函数二次函数y=axy=ax2

16、2+bx+c+bx+c有最小值有最小值, ,最小值为最小值为-4;-4;由表可知抛物线与由表可知抛物线与x x轴的交点为轴的交点为(-1,0)(-1,0)和和(3,0),(3,0),开口向上开口向上, ,所以当所以当-1x3-1x3时时y0,y0,所所以当以当- x2- x2时时,y0,y0正确正确,(3),(3)也正确也正确. .即正确的有即正确的有(2)(3)(2)(3)两个两个. .127.7.二次函数二次函数y=xy=x2 2+x-c+x-c的图象与的图象与x x轴交点的横坐标是轴交点的横坐标是2 2和和-3,-3,则方则方程程x x2 2+x-c=0+x-c=0的解是的解是. .【解

17、析解析】二次函数二次函数y=xy=x2 2+x-c+x-c的图象与的图象与x x轴交点的横坐标是轴交点的横坐标是2 2和和-3,-3,当当y=0y=0时时, ,一元二次方程一元二次方程x x2 2+x-c=0+x-c=0的两个根为的两个根为x x1 1=2,x=2,x2 2=-3.=-3.答案答案: :x x1 1=2,x=2,x2 2=-3=-38.8.二次函数二次函数y = xy = x2 2-2(m+1)x+4m-2(m+1)x+4m的图象与的图象与x x轴有轴有个交点个交点. .【解析解析】根据根据b b2 2-4ac=-2(m+1)-4ac=-2(m+1)2 2-4-41 14m=4

18、(m-1)4m=4(m-1)2 20,0,所以所以抛物线与抛物线与x x轴有一个或两个交点轴有一个或两个交点. .答案答案: :一或两一或两9.m9.m为何值时为何值时, ,抛物线抛物线y=(m-1)xy=(m-1)x2 2+2mx+m-1+2mx+m-1与与x x轴没有交点轴没有交点? ?【解析解析】抛物线抛物线y=(m-1)xy=(m-1)x2 2+2mx+m-1+2mx+m-1与与x x轴无交点轴无交点, ,当当m m 时时, ,抛物线抛物线y=(m-1)xy=(m-1)x2 2+2mx+m-1+2mx+m-1与与x x轴无交点轴无交点. .22m 101m.2(2m)4 m 10 ，解

19、得，1210.10.已知抛物线已知抛物线y=xy=x2 2-2x-8.-2x-8.(1)(1)试说明该抛物线与试说明该抛物线与x x轴一定有两个交点轴一定有两个交点. .(2)(2)若该抛物线与若该抛物线与x x轴的两个交点分别为轴的两个交点分别为A,B(AA,B(A在在B B的左边的左边),),且它且它的顶点为的顶点为P,P,求求ABPABP的面积的面积. .【解析解析】(1)(1)解方程解方程x x2 2-2x-8=0,-2x-8=0,得得x x1 1=-2,x=-2,x2 2=4.=4.故抛物线故抛物线y=xy=x2 2-2x-8-2x-8与与x x轴有两个交点轴有两个交点. .(2)(

20、2)由由(1)(1)得得A(-2,0),B(4,0),A(-2,0),B(4,0),故故AB=6.AB=6.由由y=xy=x2 2-2x-8=x-2x-8=x2 2-2x+1-9=(x-1)-2x+1-9=(x-1)2 2-9,-9,故故P P点坐标为点坐标为(1,-9);(1,-9);过过P P作作PCxPCx轴于轴于C,C,则则PC=9,PC=9,SSABPABP= AB= ABPC= PC= 6 69=27.9=27.1212【想一想错在哪？想一想错在哪？】已知已知:y:y关于关于x x的函数的函数y=(k-1)xy=(k-1)x2 2-2kx+k+2-2kx+k+2的的图象与图象与x x轴有交点轴有交点, ,求求k k的取值范围的取值范围. .提示提示: :此函数为一次函数时此函数为一次函数时, ,与与x x轴也有一个交点轴也有一个交点. .