2020_2021学年高中数学第四章圆与方程4.1.1圆的标准方程课件新人教A版必修2.ppt

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1、第四章 圆 与 方 程4.1圆 的 方 程4.1.1圆的标准方程圆的标准方程圆的标准方程圆心为圆心为C(xC(x0 0,y,y0 0),),半径为半径为r r的圆的标准方程为的圆的标准方程为(x-x(x-x0 0) )2 2+ + (y-y(y-y0 0) )2 2=r=r2 2, ,特别地特别地, ,圆心在原点时圆心在原点时, ,圆的标准方程为圆的标准方程为x x2 2+y+y2 2=r=r2 2. .【思考思考】(1)(1)如果圆的标准方程为如果圆的标准方程为(x+x(x+x0 0) )2 2+(y+y+(y+y0 0) )2 2=a=a2 2(a0),(a0),那那么圆的圆心、半径分别是

2、什么么圆的圆心、半径分别是什么? ?提示提示: :圆心为圆心为(-x(-x0 0,-y,-y0 0),),半径为半径为|a|.|a|.(2)(2)如果点如果点P(xP(x0 0,y,y0 0) )在圆在圆x x2 2+y+y2 2=r=r2 2上上, ,那么那么 =r=r2 2, ,若若点点P P在圆内呢在圆内呢? ?圆外呢圆外呢? ?提示提示: :若点若点P P在圆内在圆内, ,则则 rrr2 2. .2200 xy2200 xy2200 xy【素养小测素养小测】1.1.思维辨析思维辨析( (对的打对的打“”“”, ,错的打错的打“”)”)(1)(1)圆的标准方程由圆心、半径确定圆的标准方程

3、由圆心、半径确定. .( () )(2)(2)方程方程(x-a)(x-a)2 2+(y-b)+(y-b)2 2=m=m2 2一定表示圆一定表示圆. .( () )(3)(3)原点在圆原点在圆(x-x(x-x0 0) )2 2+(y-y+(y-y0 0) )2 2=r=r2 2上上, ,则则 =r=r2 2.(.() )2200 xy提示提示: :(1).(1).如果圆的圆心位置、半径确定如果圆的圆心位置、半径确定, ,圆的标准圆的标准方程是确定的方程是确定的. .(2)(2). .当当m=0m=0时时, ,表示点表示点(a,b).(a,b).(3).(3).原点在圆上原点在圆上, ,则则(0-

4、x(0-x0 0) )2 2+(0-y+(0-y0 0) )2 2=r=r2 2, ,即即 =r=r2 2. .2200 xy2.2.以以C(2,-3)C(2,-3)为圆心为圆心, ,且过点且过点B(5,-1)B(5,-1)的圆的方程的圆的方程为为( () )A.(x-2)A.(x-2)2 2+(y+3)+(y+3)2 2=25=25B.(x+2)B.(x+2)2 2+(y-3)+(y-3)2 2=65=65C.(x+2)C.(x+2)2 2+(y-3)+(y-3)2 2=53=53D.(x-2)D.(x-2)2 2+(y+3)+(y+3)2 2=13=13【解析解析】选选D.D.半径半径r=

5、 r= 则以则以C(2,-3)C(2,-3)为圆心的圆的标准方程为为圆心的圆的标准方程为(x-2)(x-2)2 2+ + (y+3)(y+3)2 2=13.=13.2222521 33294 13，3.3.下列各点在圆下列各点在圆x x2 2+(y-2)+(y-2)2 2=1=1上的是上的是( () )A.(1,0)A.(1,0) B.(1,1)B.(1,1)C.(1,2)C.(1,2)D.(1,3)D.(1,3)【解析解析】选选C.C.由于由于1 12 2+(0-2)+(0-2)2 2=51,=51,故排除故排除A;A;由于由于1 12 2+(1-2)+(1-2)2 2=21,=21,故排除

6、故排除B;B;由于由于1 12 2+(2-2)+(2-2)2 2=1,=1,故选项故选项C C满足条件满足条件; ;由于由于1 12 2+(3-2)+(3-2)2 2=21,=21,故排除故排除D.D.类型一圆的标准方程求法类型一圆的标准方程求法角度角度1 1直接法直接法【典例典例】(2019(2019淮南高一检测淮南高一检测) )圆心在圆心在y y轴上轴上, ,半径为半径为1,1,且过点且过点(1,3)(1,3)的圆的方程是的圆的方程是( () )A.xA.x2 2+(y-2)+(y-2)2 2=1=1B.xB.x2 2+(y+2)+(y+2)2 2=1=1C.xC.x2 2+(y-3)+(

7、y-3)2 2=1=1D.xD.x2 2+(y+3)+(y+3)2 2=1=1【思维思维引引】根据圆心在根据圆心在y y轴设出方程轴设出方程, ,求未知数求未知数. .【解析解析】选选C.C.由题意由题意, ,设圆的标准方程为设圆的标准方程为x x2 2+(y-b)+(y-b)2 2=1,=1,由于圆过点由于圆过点(1,3),(1,3),可得可得1+(3-b)1+(3-b)2 2=1,=1,解得解得b=3,b=3,所以所求所以所求圆的方程为圆的方程为x x2 2+(y-3)+(y-3)2 2=1.=1.角度角度2 2待定系数法待定系数法【典例典例】若圆经过点若圆经过点(2,0),(0,4),(

8、0,2),(2,0),(0,4),(0,2),求圆的标准求圆的标准方程方程. .【思维思维引引】设出圆的标准方程设出圆的标准方程, ,列方程组求系数列方程组求系数. .【解析解析】设圆的标准方程为设圆的标准方程为(x-a)(x-a)2 2+(y-b)+(y-b)2 2=r=r2 2, ,圆经过圆经过点点(2,0),(0,4),(0,2),(2,0),(0,4),(0,2),将已知点代入方程得将已知点代入方程得: : 解得解得 所以圆的标准方程为所以圆的标准方程为(x-3)(x-3)2 2+(y-3)+(y-3)2 2=10.=10.2222222222a0br ,0a4br0a2br ,，a3

9、,b3,r10,【素养素养探探】在求圆的标准方程过程中在求圆的标准方程过程中, ,常常用到核心素养中的数学常常用到核心素养中的数学运算运算, ,通过列、解方程组求出圆心、半径后得到圆的标通过列、解方程组求出圆心、半径后得到圆的标准方程准方程. .将本例中的三个点改为将本例中的三个点改为(0,0),(1,1),(4,2),(0,0),(1,1),(4,2),求圆的标求圆的标准方程准方程. .【解析解析】设圆的标准方程为设圆的标准方程为(x-a)(x-a)2 2+(y-b)+(y-b)2 2=r=r2 2, ,则有则有 解得解得 所以圆的标准方程为所以圆的标准方程为(x-4)(x-4)2 2+(y

10、+3)+(y+3)2 2=25.=25.222222222abr(1a)1 br4a2br ， ，（），a4 b3r5. ，角度角度3 3几何性质法几何性质法【典例典例】1.(20191.(2019合肥高一检测合肥高一检测) )已知圆已知圆C:(x-6)C:(x-6)2 2+ + (y-8)(y-8)2 2=4,O=4,O为坐标原点为坐标原点, ,则以则以OCOC为直径的圆的方程为直径的圆的方程为为( () )A.(x-3)A.(x-3)2 2+(y+4)+(y+4)2 2=100=100B.(x+3)B.(x+3)2 2+(y-4)+(y-4)2 2=100=100C.(x-3)C.(x-3

11、)2 2+(y-4)+(y-4)2 2=25=25D.(x+3)D.(x+3)2 2+(y-4)+(y-4)2 2=25=252.(20192.(2019武邑高一检测武邑高一检测) )已知圆已知圆C C的圆心在直线的圆心在直线x-2y-x-2y-3=03=0上上, ,并且经过并且经过A(2,-3)A(2,-3)和和B(-2,-5),B(-2,-5),求圆求圆C C的标准方程的标准方程. .【思维思维引引】1.1.求出圆心求出圆心C C的坐标的坐标, ,再分别求出要求圆再分别求出要求圆的圆心的圆心, ,半径后写出圆的标准方程半径后写出圆的标准方程. .2.2.圆心在已知直线、弦圆心在已知直线、弦

12、ABAB的垂直平分线上的垂直平分线上, ,求出圆心后求出圆心后求半径求半径. .【解析解析】1.1.选选C.C.圆圆C C的圆心坐标的圆心坐标C(6,8),C(6,8),则则OCOC的中点坐的中点坐标为标为E(3,4),E(3,4),半径半径|OE|= =5,|OE|= =5,则以则以OCOC为直径的圆的为直径的圆的方程为方程为(x-3)(x-3)2 2+(y-4)+(y-4)2 2=25.=25.22342.2.由已知得线段由已知得线段ABAB的中垂线所在直线与直线的中垂线所在直线与直线x-2y-3=0 x-2y-3=0的交点即为圆的交点即为圆C C的圆心的圆心. .线段线段ABAB的斜率为

13、的斜率为:k:kABAB= = 所以线段所以线段ABAB的中垂线所在直线的斜率为的中垂线所在直线的斜率为- =-2,- =-2,又因又因为线段为线段ABAB的中点为的中点为(0,-4),(0,-4),所以线段所以线段ABAB的中垂线所在直的中垂线所在直线方程为线方程为:y+4=-2x,:y+4=-2x,即即2x+y+4=0.2x+y+4=0.351222 ，AB1k由由 求得求得 所以圆所以圆C C的圆心坐标为的圆心坐标为(-1,-2),(-1,-2),所以圆所以圆C C的半径的半径r r满足满足:r:r2 2=(2+1)=(2+1)2 2+(-3+2)+(-3+2)2 2=10,=10,所以

14、圆所以圆C C的标准方程为的标准方程为(x+1)(x+1)2 2+(y+2)+(y+2)2 2=10.=10.x2y30,2xy40，x1,y2 ，【类题类题通通】1.1.直接法求圆的方程直接法求圆的方程圆的方程由圆心、半径决定圆的方程由圆心、半径决定, ,因此求出圆心和半径即可因此求出圆心和半径即可写出圆的标准方程写出圆的标准方程. .2.2.待定系数法待定系数法, ,圆心圆心(a,b)(a,b)、半径为、半径为r,r,特殊位置特殊位置标准方程标准方程圆心在圆心在x x轴上轴上(x-a)(x-a)2 2+y+y2 2=r=r2 2圆心在圆心在y y轴上轴上x x2 2+(y-b)+(y-b)

15、2 2=r=r2 2与与x x轴相切轴相切(x-a)(x-a)2 2+(y-b)+(y-b)2 2=b=b2 2与与y y轴相切轴相切(x-a)(x-a)2 2+(y-b)+(y-b)2 2=a=a2 23.3.利用圆的性质求方程利用圆的性质求方程求圆的方程时求圆的方程时, ,可以利用圆的性质求圆心、半径可以利用圆的性质求圆心、半径, ,如弦如弦的垂直平分线过圆心的垂直平分线过圆心, ,过切点垂直于切线的直线过圆心过切点垂直于切线的直线过圆心等等. .【习练习练破破】1.1.已知圆心在点已知圆心在点P(-2,3),P(-2,3),并且与并且与y y轴相切轴相切, ,则该圆的方则该圆的方程是程是

16、 ( () )A.(x-2)A.(x-2)2 2+(y+3)+(y+3)2 2=4=4B.(x+2)B.(x+2)2 2+(y-3)+(y-3)2 2=4=4C.(x-2)C.(x-2)2 2+(y+3)+(y+3)2 2=9=9D.(x+2)D.(x+2)2 2+(y-3)+(y-3)2 2=9=9【解析解析】选选B.B.因为圆心点因为圆心点P(-2,3)P(-2,3)到到y y轴的距离为轴的距离为|-2| |-2| =2,=2,且圆与且圆与y y轴相切轴相切, ,所以圆的半径为所以圆的半径为2,2,则该圆的标准方则该圆的标准方程为程为(x+2)(x+2)2 2+(y-3)+(y-3)2 2

17、=4.=4.2.(20192.(2019张家界高一检测张家界高一检测) )圆圆C C的圆心为点的圆心为点(8,3),(8,3),且经且经过点过点A(5,1),A(5,1),则圆则圆C C的方程为的方程为_._.【解析解析】因为圆因为圆C C的圆心为点的圆心为点(8,3),(8,3),且经过点且经过点A(5,1),A(5,1),所以半径为所以半径为 所以圆所以圆C C的方程为的方程为(x-8)(x-8)2 2+(y-3)+(y-3)2 2=13.=13.答案答案: :(x-8)(x-8)2 2+(y-3)+(y-3)2 2=13=1322853 113（）（），3.(20193.(2019牡丹江

18、高一检测牡丹江高一检测) )已知圆经过已知圆经过A(2,4),B(3,5)A(2,4),B(3,5)两点两点, ,且圆心且圆心C C在直线在直线2x-y-2=02x-y-2=0上上, ,求圆求圆C C的方程的方程. .【解析解析】因为圆因为圆C C经过经过A(2,4),B(3,5)A(2,4),B(3,5)两点两点, ,所以圆心所以圆心C C在线段在线段ABAB的垂直平分线的垂直平分线y=-x+7y=-x+7上上, ,又因为圆心又因为圆心C C在直线在直线2x-y-2=02x-y-2=0上上, ,所以联立所以联立 解得解得C(3,4),C(3,4),圆圆C C的的半径半径r=|AC|= =1,

19、r=|AC|= =1,所以圆所以圆C C的方程是的方程是(x-(x-3)3)2 2+(y-4)+(y-4)2 2=1.=1.yx72xy20 ，222344【加练加练固固】1.1.已知一圆的圆心为点已知一圆的圆心为点(2,-3),(2,-3),一条直径的两个端点分一条直径的两个端点分别在别在x x轴和轴和y y轴上轴上, ,则此圆的方程是则此圆的方程是( () )A.(x-2)A.(x-2)2 2+(y+3)+(y+3)2 2=13=13B.(x+2)B.(x+2)2 2+(y-3)+(y-3)2 2=13=13C.(x-2)C.(x-2)2 2+(y+3)+(y+3)2 2=52=52D.(

20、x+2)D.(x+2)2 2+(y-3)+(y-3)2 2=52=52【解析解析】选选A.A.设此直径两端点分别为设此直径两端点分别为(a,0),(0,b),(a,0),(0,b),由由于圆心坐标为于圆心坐标为(2,-3),(2,-3),所以所以a=4,b=-6,a=4,b=-6,所以圆的半径所以圆的半径r=r= 从而所求圆的方程是从而所求圆的方程是(x-2)(x-2)2 2+(y+(y+3)3)2 2=13.=13.22420313，2.(20192.(2019潍坊高一检测潍坊高一检测) )经过经过A(4,0),B(2,0)A(4,0),B(2,0)两点两点, ,且且圆心在直线圆心在直线x-

21、y+1=0 x-y+1=0上的圆的方程为上的圆的方程为( () )A.(x-3)A.(x-3)2 2+(y-4)+(y-4)2 2=17=17B.(x-4)B.(x-4)2 2+(y-5)+(y-5)2 2=25=25C.(x-3)C.(x-3)2 2+(y+4)+(y+4)2 2=17=17D.(x+4)D.(x+4)2 2+(y+5)+(y+5)2 2=25=25【解析解析】选选A.A.过过A(4,0),B(2,0)A(4,0),B(2,0)两点的中垂线的方程为两点的中垂线的方程为x=3,x=3,联立联立 解得解得 所以圆心坐标为所以圆心坐标为(3,4),(3,4),半径半径r= r= 所

22、以所求圆的方程为所以所求圆的方程为(x-(x-3)3)2 2+(y-4)+(y-4)2 2=17.=17.x3xy 10 ，x3 y4，22344017（）（），类型二点与圆的位置关系类型二点与圆的位置关系【典例典例】1.(20191.(2019赣州高一检测赣州高一检测) )已知圆的方程是已知圆的方程是(x-(x-2)2)2 2+(y-3)+(y-3)2 2=4,=4,则点则点P(3,2)P(3,2)满足满足( () )A.A.是圆心是圆心 B.B.在圆上在圆上C.C.在圆内在圆内D.D.在圆外在圆外2.(20192.(2019慈溪高一检测慈溪高一检测) )点点P(5a+1,12a)P(5a+

23、1,12a)在圆在圆(x-1)(x-1)2 2 +y+y2 2=1=1的内部的内部, ,则则a a的取值范围是的取值范围是( () )A.-1a1A.-1a1B.a B.a C.- a C.- a D.- a D.- a 1131131131515【思维思维引引】1.1.代入点的坐标代入点的坐标, ,判断不等号的方向判断不等号的方向. .2.2.代入点的坐标代入点的坐标, ,解不等式求范围解不等式求范围. .【解析解析】1.1.选选C.C.因为因为(3-2)(3-2)2 2+(2-3)+(2-3)2 2=24,=24,所以点所以点P(3,2)P(3,2)在圆内在圆内. .2.2.选选D.D.由

24、圆由圆(x-1)(x-1)2 2+y+y2 2=1,=1,得到圆心坐标为得到圆心坐标为(1,0),(1,0),半径半径r=1,r=1,点点P P在圆在圆(x-1)(x-1)2 2+y+y2 2=1=1的内部的内部, ,所以所以(5a+1-1)(5a+1-1)2 2+ +(12a)(12a)2 211|a| ,|a| ,所以所以- a .- arr2 2; ;当点当点P P在圆在圆内时内时,(x,(x0 0-a)-a)2 2+(y+(y0 0-b)-b)2 2r5,=65,所以所以P P3 3(3,-4)(3,-4)在圆外在圆外. .221 314 223344 【加练加练固固】(2019(2019东安高一检测东安高一检测) )点点(2a,a-1)(2a,a-1)在圆在圆x x2 2+(y-1)+(y-1)2 2=5=5的的内部内部, ,则则a a的取值范围是的取值范围是 ( () )A.(-1,1)A.(-1,1)B.(0,1)B.(0,1)C. C. D. D. 1( 1)5 ，1(,1)5【解析解析】选选D.D.因为点因为点(2a,a-1)(2a,a-1)在圆的内部在圆的内部, ,所以所以解得解得- a1,- a1,所以所以a a的取值范围是的取值范围是 22222d2aa24aa4a45a4a45（），151(,1)5