大学自主招生数学讲义：【精品讲义】解析几何.doc

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1、20172017 年自招与三位一体专题年自招与三位一体专题第十五讲第十五讲 解析几何一解析几何一在近年自主招生试题中，解析几何是高中数学内容的一个重要组成部分，在近年自主招生试题中，解析几何是高中数学内容的一个重要组成部分， 也是高考与自主招生常见新颖题的板块，各种解题方法在解析几何这里得到了也是高考与自主招生常见新颖题的板块，各种解题方法在解析几何这里得到了 充分的展示，尤其是平面向量与解析几何的融合，提高了综合性，形成了题目充分的展示，尤其是平面向量与解析几何的融合，提高了综合性，形成了题目 多变、解法灵活的特色。多变、解法灵活的特色。一、知识精讲一、知识精讲1.点到直线的距离 ：(点,直

2、线 ：).0022|AxByCd AB 00(,)P xyl0AxByC2.圆的四种方程（1）圆的标准方程 .222()()xaybr（2）圆的一般方程 (0).220xyDxEyF224DEF（3）圆的参数方程 .cossinxarybr （4）圆的直径式方程 1212()()()()0xxxxyyyy(圆的直径的端点是、).11( ,)A x y22(,)B xy3.点与圆的位置关系点与圆的位置关系有三种若00(,)P xy222)()(rbyax，则22 00()()daxby点在圆外;点在圆上;点在圆内.drPdrPdrP4.直线与圆的位置关系直线与圆的位置关系有三种:0CByAx22

3、2)()(rbyax;0交交rd;0dr 相切.0交交rd其中. 22BACBbAad 5.椭圆的参数方程是.22221(0)xyababcossinxayb 6.双曲线的方程与渐近线方程的关系(1）若双曲线方程为渐近线方程：12222 by ax22220xy ab.xaby(2)若渐近线方程为双曲线可设为.xaby0by ax2222by ax(3)若双曲线与有公共渐近线，可设为12222 by ax（，焦点在轴上，2222by ax0x0焦点在轴上）.来源:学科网 ZXXKy7.直线与圆锥曲线相交的弦长公式或22 1212()()ABxxyy（2222 211212(1)()| 1tan

4、| 1tABkxxxxyyco1122( ,), (,)A x yB xy1.三角形四心的坐标设三边的长度分别为 a,b,c，三个顶点 A、B、C 的坐标分别记为ABC、，则重心 G、内心 I、垂心 H、外心 O 坐标分别为(,)AAxy(,)BBxy(,)CCxy、,33AAxyG ,AAaxayIaa coscos,coscosAAaxay AAHaa AA 。sin2sin2,sin2sin2AAxAyAOAA 2.直线系若直线与直线相交于 P，则它们的1111:0la xb yc2222:0la xb yc线性组合（，且不全为 0） （*）表111222()()0a xb yca xb

5、 yc,R 示过 P 点的直线系。当参数为一组确定的值时， （*）表示一条过 P 点的直, 线。特别的，当时， （*）式即；当时， （*）式即为02220a xb yc0。对于以外的直线，我们往往只在（*）式中保留一个参数，1110a xb yc12,l l而使另一个为 1.又若 与平行，这时（*）式表示所有与 平行的直线。1l2l1l3.3.圆幂定理：圆幂定理：过一定点作两条直线与圆相交，则定点到每条直线与圆的交点的两条线段的积相等，即它们的积为定值.备注：备注：切线可以看作割线的特殊情形，切点看作是两个重合的交点.若定点到圆心的距离为，圆半径为 ，则这个定值为.dr22dr当定点在圆内时，

6、等于过定点的最小弦的一半的平220dr22dr方；当定点在圆上时，；22=0dr当定点在圆外时，等于从定点向圆所引切线长的平220dr22dr方.特别地，我们把称为定点对于圆的幂.22dr4.4.两圆的两圆的“根轴根轴”：到两圆等幂的点的轨迹是与此二圆的连心线垂直的一条直线；如果此二圆相交，那么该轨迹是此二圆的公共弦所在直线这条直线称为两圆的“根轴” 对于根轴我们有如下结论：对于根轴我们有如下结论：三个圆两两的根轴如果不互相平行，那么它们交于一点，这一点称为三圆的“根心” 三个圆的根心对于三个圆等幂当三个圆两两相交时，三条公共弦(就是两两的根轴)所在直线交于一点5.5.各曲线的定义：各曲线的定

7、义：PFPFPHPlPH=1， 为定点， 是到定直线的距离，（1）椭圆：；121212222P PFPFaaFFFFa， ，、为定点， 为正常数，（2）双曲线：；121212-222P PFPFaaFFFFa， ，、为定点， 为正常数，（3）抛物线：PFPFPHPlPH=1， 为定点， 是到定直线的距离，6.6.圆锥曲线的统一定义：圆锥曲线的统一定义：平面上，到一个定点的距离与到一条定直线 的距Fl离之比为一个常数 的点的轨迹叫做圆锥曲线（椭圆、双曲线、抛物线） e当时，曲线是椭圆；当时，曲线是双曲线；当时，曲线是01e1e1e 抛物线这个定点叫做曲线的焦点，定直线 叫做曲线的准线，定点到定F

8、lF直线的距离叫做焦参数来源:Z&xx&k.ComP7.7.圆锥曲线的标准方程：圆锥曲线的标准方程：（1）椭圆：，；22221(0)xyabab22221(0)yxabab（2）双曲线：，（） ；22221xy ab22221xy ab0ab0，（3）抛物线：，（） 22ypx22ypx 22xpy22xpy p0备注：备注：比值 叫圆锥曲线的离心率，其中。ecea3 3、典例精讲典例精讲例例 1 1 （2011 复旦）椭圆上的点到圆上的点的距离的22 12516xy22(6)1xy最大值是（ ） 。（A）11 （B） （C） （D）745 59分析与解答：分析与解答：由平面几何知识，椭圆上的

9、点到圆上22 12516xy22(6)1xy的点的距离最大值=椭圆上的动点到圆心的最大距离+圆的半径。设圆圆心为，是椭圆上的点，则22(6)1xyO(5cos ,4sin )P22222|(5cos )(4sin6)25cos16sin48sin369sin48sin61PO（当时取等号） 。故所22889 sin125911251033 sin1 求距离最大值为 11.注：注：或者考虑与的相交情况，用判别式法解决。222(6)xyk22 12516xy例例 2 2 （2012“卓越联盟” ）抛物线，为抛物线的焦点，22ypx(0)p F是抛物线上两点，线段的中垂线交轴于，,A BABx( ,

10、0)D a0a 。|mAFBF （1）证明：是的等差中项；a, p m（2）若， 为平行于轴的直线，其被以 AD 为直径的圆所截得的弦长3mply为定值，求直线 的方程。l 分析与解答：分析与解答：（1）设，由抛物线定义知1122( ,), (,)A x yB xy。来源:学科网1212|22ppAFBFxxxxp 又中垂线交轴于，故ABx( ,0)D a22222 112212122()()(2 )()xayxayxxa xxy，因为，所以，故2 1212 ()yp xx21xx1222xxap 1222xxap|mAFBF ，是的等差中项。122,2mpxxpap aa, p m（2）因为

11、，所以。设，。圆心3mp2ap2(2,2)Aptpt(2 ,0)Dp。设直线 的方程为。由于弦长为定值，故为定值，2(,)O pptptlxn22Rd这里R 为圆的半径，d 为圆心到 的距离。Ol22222222222222 21(22 )(2) ()(1)()34Rdptpptpptnpttpptnp t 。2222222(23)(2)npnptnnpp tnpn令，即时，为定值，故这样的2230npp3 2np22Rd22293344ppp直线 的方程为。l3 2xp例例 3 3 （2006 复旦）已知抛物线，直线都过点且互相垂直。若2yax12,l l(1, 2)抛物线与直线中至少有一条

12、相交，求实数的取值范围。12,l la分析与解答：分析与解答：先看的情形，如图 13-8，显然，无论在抛物线形内，还是在0a (1, 2)2yax形外。与始终至少有一条相交，故符合题意。2yax12,l l0a 若，过作抛物线的切线，设这两条切线的张角为。若0a (1, 2)2yax，则我们总可以找出两条互相垂直的直线，使这两条直线与不相0902yax交， （如图 13-9） ；若，则过的两条直线中，必有一条与相090(1, 2)2yax交（如图 13-10） 。图 13-8 图 13-9 图 13-10于是，原问题转化为如下一个问题：过作抛物线的切线，这(1, 2)2yax两条切线对抛物线的

13、张角。090设过的切线方程为，由，知(1, 2)(1)2yk x2,(1)2yax yk x。220axkxk令。设方程两根为，则。由韦2480kaka 12,k k0 12901k k 达定理，故。81a 1 8a 综上，的取值范围是。a1(,0)0,8a 例例 4 4设，常数，定义运算“”：，定义运12xx R、0a 2 1212()xxxx算“”： ；对于两点、，定义2 1212()xxxx11( ,)A xy22(,)B xy.12()d AByy(1)若，求动点的轨迹；0x ,()()P xxaxaC(2)已知直线与(1)中轨迹交于、两点，若11:12lyxC11( ,)A xy22

14、(,)B xy，试求的值；1212()()8 15xxyya(3)在(2)中条件下，若直线不过原点且与轴交于点S，与轴交于点T，并2lyx且与(1)中轨迹交于不同两点P、Q , 试求的取值范围。C| ()| ()| | ()| ()|d STd ST d SPd SQ分析与解答：分析与解答：(1)设()()yxaxa则 2()()yxaxa22()()4xaxaax又由0 可得()()yxaxaP(,)的轨迹方程为，轨迹C为顶点在x()()xaxa24(0)yax y原点，焦点为的抛物线在 轴上及第一象限的内的部分 ( ,0)ax(2) 由已知可得 , 整理得,24 112yaxyx2(4 1

15、6 )40xa x由 ,得， 2(4 16 )160a 102aa或0a 1 2a 222212 1212121212()()()()()()2xxxxyyxxyyxx, 22 121255()4(4 16 )168 1522xxx xa解得或(舍) ； 2a 3 2a 2a(3)1212()|d AByyyyOxyPSTQQ1P1| ()| ()| | ()| ()|d STd STSTST d SPd SQSPSQ设直线,依题意,，则,分别过P、Q作PP1y轴，2:lxmyc0m 0c ( ,0)T cQQ1y轴，垂足分别为P1、Q1，则| | SQST SPST11| |PQOTOTcc

16、 PPQQxx由消去y得28yxxmyc222(28)0xcmxc|11|()|PQSTSTcSPSQxx12| |PQcx x 212|2cc、取不相等的正数，取等的条件不成立PxQx的取值范围是（2，+） | ()| ()| | ()| ()|d STd ST d SPd SQ例例 5 5 （2011“华约” ）抛物线的焦点为，弦24yxF过，原点为，抛物线准线与轴交于点，ABFOxC，求。0135OFAtanACB分析与解答：分析与解答：解法一：设，分别过 A、B 作 x 轴的1122( ,), (,)A x yB xy垂线，垂足分别为，依抛物线定义知,A B，所以，所以1|1AFx0

17、11| (1)sin45 ,| 1AAxCAx |tan|AAACACA。2sin452o同理，所以。2tan2BCBtan2 2ACB解法二：AB：代入抛物线中，1yx2 1610,32 2xxx ，所以232 2x 。所以又(32 2,22 2), (32 2,22 2)BA( 1,0),4CCA CB ，| | 12CACB ，所以。1cos3ACBtan2 2ACB例例 6 6 （2012“北约” ）已知点，若点 C 是圆上的( 2,0), (0,2)AB2220xxy动点，求面积的最小值。ABC分析与分析与解答：解答：圆的方程。设到 AB：的距离为 d，22(1)1xy(1 cos

18、,sin )C20xy则。|1 cossin2|cossin3| 22d因为。cossin2cos2,24 所以，所以min32 2d。当 C 点的min132()2 23222ABCS坐标取时，的面积有最小值。221,22ABC32例例 7.7.（2010 五校联考）如图，在上，ABCD、24xy关于抛物线对称轴对称。过点作切线，切线，AD、D/ /BC点到距离分别为，。DABAC、12,d d122 |ddAD（1）试问：是锐角、钝角还是直角三角形？ABC （2）若的面积是 240，求的坐标和的方程。ABCABC分析与解答：分析与解答：（1）对求导，。设，由导数的几何意义知 BC 的斜24

19、xy12yx2 001,4D xx率。由题意知，设，则01 2BCkx2 001,4Axx2 111,4C xx2 221,4B xx22 12120 1211 1144()42BCxx kxxxxx 。从而。12020122xxxxxx2 010112,(2)4Bxxxx，22 1010 101()14()4ACxx kxxxx ，22 010010101 0100111(2)(3)()144()234ABxxxxxxx kxxxxxxx ，再结合知12ACABkkDACDABdd 122 |ddAD，故是直角三角形。045DACDAB ABC（2）由（1） ，不妨设 C 在 AD 上方，A

20、B 的方程为。由2 001()4yxxx 得到另一个交点。2 0021(),4 4yxxxxy 2 0014,(4)4B xxAC 方程为，由得到另一个交点2 001 4yxxx22 004, 1 4yxyxxx。2 0014,(4)4C xx，000|2 |(4)()|2 |24|ABxxx ，000|2 |4()|2 |24|ACxxx 所以，解得，故或。0012|24| |24| 2402Sxx08x (8,16)A( 8,16)时，BC 的方程为。08x (4,4),(12,36)BC412yx时，BC 的方程为。08x ( 12,36),( 4,4)BC412yx 注：此题的关键是证

21、明。12dd 来源来源: :学科网学科网 ZXXKZXXK4 4、真题训练真题训练1.（2001 复旦）抛物线的准线方程为（ ）24(1)yx （A） （B） （C） （D）1x 2x 3x 4x 2.对于直角坐标平面内任意两点、，定义它们之间的一种“新11( ,)A x y22(,)B xy距离”： .给出下列三个命题：2121ABxxyy若点在线段上. 则 ；CABACBCAB在中，若,则；ABC90C222ACCBAB在中，。ABCACCBAB其中的真命题为 ( )A. B. C. D. 3.（2012 复旦）极坐标方程为常数）所表示的曲线是2(02 cos1kkkk （ ） 。 （A）

22、圆或直线 （B）抛物线或双曲线 （C）双曲线或椭圆 （D）抛物线或椭圆4.（2010 复旦）参数方程所表示的函数是（ (sin ),(0)(1 cos )xa ttayat( )yf x） 。 （A）图像关于原点对称 （B）图像关于直线对称x （C）周期为的周期函数 （D）周期为的周期函数2a25.在平面直角坐标系中，定义点之间的“直角距离”为),(),(2211yxQyxP。若到点的“直角距离”相等，|),(2121yyxxQPd),(yxC)9 , 6(),3 , 1 (BA其中实数满足，则所有满足条件的点的轨迹的长度之yx,93 ,100yxC和为。_6.在平面直角坐标系中，为坐标原点。

23、定义、两点之xOyO11( ,)P x y22(,)Q xy间的“直角距离”为。已知，点为直线1212( ,)d P Qxxyy(1,1)BM上的动点， 则的最小值为 。40xy( ,)d B M7.（2012“卓越联盟” ）如图，是圆的直径，于，且ABOCDABH，是圆的切线，交于。来源:学科网10,8,4ABCDDEEFBFHDG（1）求；GH （2）连结，判断与的关系。并加以证明。FDFDABOGHDEACF来源:学科网8.（2011“北约” ）求过两抛物线交点的直线方22221,523yxxyxx 程。9.（2010 同济）如图，已知动直线 经过点，交抛物线于l(4,0)P22(0)y

24、ax a两点，坐标原点是的中点，设直线的斜率分别为。AB、OPQAQBQ、,AQBQkk（1）证明：；0AQBQkk（2）当时，是否存在垂直于 x 轴的直线，被以为直径的圆截得的弦2a lAP 长为定值？若存在，请求出直线的方程，若不存在，请说明理由。 l来源:Z.xx.k.Com10.（2009 上海交大）是圆与上的点，求的最PQ、22(3)1xy2yx|PQ小值。5 5、真题训练答案真题训练答案1.【答案】B【分析与解答】：令则原抛物线方程为，其准线方程为1,xxyy 24 yx ，故原抛物线的准线方程为。1x 12xx 2.【答案】C 3.【答案】D 【分析与解答】：由知识拓展圆锥曲线的

25、统一极坐标方程知：，。故为椭圆或抛物线（当2221 22 cos11cos1k kk kkk k22011kek且仅当时取抛物线） 。1k 4.【答案】C【分析与解答】：，2(2sin(2 )(sin )2ttxxa tta tta，2(1 cos(2 )(1 cos )0ttyyatat即，故是以为周期的周期函数。来源:Z|xx|k.Com( )(2)yf xf xa( )f x2a5.【答案】：) 12(56.【答案】：4 7.【分析与解答】：（1）连结 AF、OF，则 A、F、G、H 四点共圆。且由 EF 是 切线知，。所以OFEF ，且（弦切角等于弦所对的圆周角）FGEBAF EFGB

26、AF 所以。FGEEFGEFEG 22222222222238548OHHEOFEFOEEFOHHEOF。所以。4 3,84 3EFEGGHEHEG（2）FD 与 AB 不平行（即相交） ，用反证法。 如图，以 O 为坐标原点，AB 所在直线为 y 轴建立一个平面直角坐标系。若，则 D 点的横坐标等于 F 点的横坐标，即 4.从而。又/ /FDAB(4,3)F，所以 EF 的斜率为。而。(8, 3)E333 842 33 39,142 48OFEFOFkkk 这与是圆的切线矛盾！EF8.【分析与解答】：设交点为，则 1122( ,),(,)x yxy2 1112 211221,523yxxyx

27、x 5+2 有，11761yx 同理：。所以都在直线上，而过两点22761yx 1122( ,),(,)x yxy6710xy 的直线方程是唯一的。所以所求直线方程为。6710xy 9.【分析与解答】：（1）解法一：设。直线 AQ 交抛物线于1122( ,), (,)A x yB xy，则直线 AQ：33(,)C xy，直线 AB：，先将代入中14xk y24xk y14xk y22yax来源:Z,xx,k.Com2 12 (4)ya k y。所以，同理。所以。所以 B2 1280yak ya128y ya 138y ya23yy 与 C 关于 x 轴对称即与关于 x 轴对称。所以。AQlBQ

28、l0AQBQkk解法二：设 AB：代入中，4xky22yax2280yakya12122,8yyaky ya 11(8,),QAkyy ，22(8,)QBkyy 121212121228() 88(8)(8)QAQByyky yyykkkykykyky。1216160(8)(8)akak kyky（2）因为，所以抛物线为：。那么可设，又，并2a 24yx2 ,4yAy (4,0)P可得 A、P 中点，O， （如图）则圆的半径。再设直线216,82yyO 22216|484yyrO P存在且为：。那么要使被以 AP 为直径的圆截得的弦长为定值 C；则 lxt2 22(, )2Crd O l221648y2222222 22221616333448244244244yyCyCtCttttyytt 来源:Zxxk.Com即。所以直线存在，为。3t l3x 10.【分析与解答】：设圆的圆心为，则。22(3)1xyO(0,3)O再设 Q 点坐标为，则2( ,)t t22242|(3)59Q Qtttt，2 251111 242t从而，等号成立，且三点共线，11| |12PQO QO P25 2t, ,O P Q即且三点共线。10 5,22Q, ,O P Q故的最小值为。|PQ1112