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1、,4.1 定积分的概念与性质,4.3 积分的基本公式,第四章 积分及其应用,4.4 换元积分法,4.2 不定积分的概念与性质,4.5 分部积分法,4.6 无限区间上的反常积分,4.7 积分学的应用,学习目标,教学建议,一. 不定积分的基本公式,4.3 积分的基本公式,二. 定积分的基本公式,一. 不定积分的基本公式,如下不定积分的基本积分公式:,根据导数 基本公式,练习1,求下列不定积分:,(1),解(1),由不定积分的运算性质,由不定积分的基本积分公式,直接 积分,直接利用基本积分公式和不定积分的运算性质,有时须先将被积函数进行恒等变形,便可求得一些函数的不定积分.,练习1,求下列不定积分:
2、,(2),解(2),由不定积分的运算性质,原式=,练习1,求下列不定积分:,解(3),由不定积分的运算性质和基本积分公式,(3),练习1,求下列不定积分:,解(4),由不定积分的运算性质和基本积分公式,(4),但这种方法只能求出极少数函数的定积分,而且对于不同的被积函数要用不同的技巧.因此,这种方法远不能解决定积分的计算问题.,这里通过揭示导数与定积分的关系,引出计算定积分的基本公式:,把求定积分的问题转化为求被积函数的原函数问题.,牛顿莱布尼茨公式,二. 定积分的基本公式,定理(微积分基本公式),牛顿莱布尼茨公式,若函数 在闭区间 上连续,是 在 上的一个原函数,则,牛顿 莱布尼茨公式,是 在 上的一个原函数,则,该公式阐明了定积分与原函数之间的关系:,被积函数的任一个原函数在积分上限与 积分下限的函数值之差.,定积分的值,=,要求已知函数 在区间 上的定积分,只需求出 在区间 上的一个原函数 ,并计算出它由端点 到端点 的改变量 即可.这样就使定积分的计算大大简化了.,练习2,求下列定积分:,解(1),由牛顿莱布尼茨公式,(1),因 的一个原函数是,练习2,求下列定积分:,解(2),由牛顿莱布尼茨公式,(2),由定积分的性质,练习2,求下列定积分:,解(3),由定积分对区间的可加性,(3),由于,因 的一个原函数是 由牛顿莱布尼茨公式,有,
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