Hamilton-Cayley定理的计算应用及幂等变换的性质特征.ppt

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1、Hamilton-Cayley定理的计算应用及幂等变换的性质特征,集美大学理学院 朱荣坤2006.3,传统的高等代数教材，在介绍完Hamilton-Cayley定理（即：方阵A的特征多项式是A的零化多项式）之后，利用该定理对“线性空间的直和分解”和“最小多项式”理论推导了相关结论，但未涉及它在计算方面的应用。以下简单考虑该定理在矩阵计算方面的两个应用，旨在抛砖引玉。,1.求矩阵大方幂,一般地，矩阵大方幂的求法有二：一是寻找规律，利用数学归纳法；二是该矩阵可以对角化，从而转化为对角矩阵的方幂运算。利用Hamilton-cayley定理也不失为一个有效的方法，值得在教学过程中加以介绍。,例,，求,

2、解：特征多项式,，由带余除法可设,令,，得,；令,，得,又,是三重根，故有,，得,最后有,利用,定理即得：,2.求逆矩阵,例 可逆矩阵,的逆矩阵,与伴随矩阵,都可表示为,的多项式,利用,证 设特征多项式,定理，,则有,而,可逆，得,从而,以及,证毕。,利用该结论即可做具体的求逆计算,幂等变换是一类较为常见的线性变换，它有着良好的性质特征，并且涉及了线性变换的诸多内容，对训练学生融会贯通“线性变换”知识点有较好的作用。以下对幂等变换的良好性质作归纳整理，供教学上参考。,A,3.值域A,对应于特征值1的特征子空间,核A1（0）=对应于特征值0的特征子空间,4.,A,A1（0），且A是平行于核在值域上的投影；,考虑,A,+(E-A),易证,5. 值域A,与核A1（0）对,的线性变换B不变的充要条件是A,B可,交换；,6. E+A为可逆变换； 逆为E-A/2,7. 秩（A）秩（E-A）,；,A1（0）,A,=（E-A）,已知A,与A1（0）,的维数和,8. A必可对角化,且关于,某个基的矩阵为,设A是,维线性空间,的幂等变换(A2=A)，则有以下结论：,1.A的特征值只能是1或0；2.A只有特征值0当且仅当A是零变换；,