第四节 几种特殊类型函数的积分.ppt

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1、,一、六个基本积分,二、待定系数法举例,三、小结,第四节 有理函数的积分,有理函数的定义：,两个多项式的商表示的函数称之为有理函数.,一、六个基本积分,定义,假定分子与分母之间没有公因式,这有理函数是真分式；,这有理函数是假分式；,利用多项式除法, 假分式可以化成一个多项式和一个真分式之和.,例,难点,将有理函数化为部分分式之和.,理论上，任何一个有理函数(真分式)都可分为以下六个类型的基本积分的代数和:,1.,2.,3.,4.,5.,6.,可用递推法求出,（1）分母中若有因式 ，则分解后为,有理函数化为部分分式之和的一般规律：,特殊地：,分解后为,二、待定系数法举例,特殊地：,分解后为,真分

2、式化为部分分式之和的待定系数法,例1,代入特殊值来确定系数,取,取,取,并将 值代入,例2,例3,整理得,例4 求积分,解,例5 求积分,解,例6 求积分,解,令,说明,将有理函数化为部分分式之和后，只出现三类情况：,多项式；,讨论积分,令,则,记,这三类积分均可积出, 且原函数都是初等函数.,结论：有理函数都可积，且积分结果可能的形式为有理函数、反正切函数、对数函数及它们之间的组合。,有理式分解成部分分式之和的积分.,（注意：必须化成真分式）,三、小结,思考题,任何有理函数都有原函数吗？任何初等函数都有原函数吗？都能求出其原函数吗？,思考题解答,任何有理函数都有初等原函数，任何初等函数在其连续区间内也有原函数，但并不是所有连续的初等函数都有初等原函数，如：,即有些初等函数是不可积的。,练习题,4.有理函数的原函数都是_ .,练习题答案,